طوبولوجيا التقسيم

في الرياضيات ، تُعرف طوبولوجيا التقسيم بأنها طوبولوجيا يمكن استنتاجها على أي مجموعة${\displaystyle X}$عن طريق التقسيم${\displaystyle X}$إلى مجموعات فرعية منفصلة${\displaystyle P;}$تشكل هذه المجموعات الفرعية أساسًا للطوبولوجيا. وهناك مثالان مهمان لهما اسمان خاصان بهما:

• التُعرف طوبولوجيا الزوجي والفردي بأنها الطوبولوجيا التي${\displaystyle X=\mathbb {N} }$و${\displaystyle P={\left\{~\{2k-1,2k\}:k\in \mathbb {N} \right\}}.}$وبعبارة أخرى،${\displaystyle P=\{~\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ldots \}.}$
• اليتم تعريف طوبولوجيا الأعداد الصحيحة المحذوفة عن طريق وضع${\displaystyle X={\begin{matrix}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(n-1,n)\subseteq \mathbb {R} \end{matrix}}}$و${\displaystyle P={\left\{(0,1),(1,2),(2,3),\ldots \right\}}.}$

تؤدي التقسيمات البسيطة إلى الطوبولوجيا المنفصلة (كل نقطة من${\displaystyle X}$هي مجموعة في${\displaystyle P,}$لذا${\displaystyle P=\{~\{x\}~:~x\in X~\}}$) أو الطوبولوجيا غير المنفصلة (المجموعة الكاملة${\displaystyle X}$هو في${\displaystyle P,}$لذا${\displaystyle P=\{X\}}$).

أي مجموعة${\displaystyle X}$مع طوبولوجيا تقسيم تم إنشاؤها بواسطة تقسيم${\displaystyle P}$يمكن اعتبارها فضاءً شبه متري ذي شبه متري معطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x{\text{ و }}y{\text{ في نفس عنصر التقسيم}}\\1&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$$

هذا ليس مقياسًا إلا إذا${\displaystyle P}$ينتج عنه الطوبولوجيا المنفصلة.

تُقدّم طوبولوجيا التقسيم مثالاً هاماً على استقلالية مختلف بديهيات الفصل . إلا إذا${\displaystyle P}$أمر تافه، على الأقل مجموعة واحدة في${\displaystyle P}$تحتوي على أكثر من نقطة واحدة، وعناصر هذه المجموعة غير قابلة للتمييز طوبولوجيًا : فالطوبولوجيا لا تفصل النقاط. وبالتالي${\displaystyle X}$ليست فضاء كولموغوروف ، ولا فضاء T1 ، ولا فضاء هاوسدورف ، ولا فضاء أوريسون . في طوبولوجيا التقسيم _، يكون مكمل كل مجموعة مفتوحة مفتوحًا أيضًا، وبالتالي تكون المجموعة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مغلقة. لذلك،${\displaystyle X}$منتظم ، منتظم تمامًا ، طبيعي ، وطبيعي تمامًا .${\displaystyle X/P}$هي الطوبولوجيا المنفصلة.

• قائمة الطوبولوجيات – قائمة الطوبولوجيات الملموسة والفضاءات الطوبولوجية 

• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1995) [1978]، أمثلة مضادة في الطوبولوجيا ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من  طبعة 1978)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-486-68735-3، MR 0507446