خريطة مثالية

في الرياضيات ، وخاصة في علم الطوبولوجيا ، يُعدّ التطبيق الكامل نوعًا خاصًا من الدوال المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية . التطبيقات الكاملة أضعف من التشاكلات الموضعية ، لكنها قوية بما يكفي للحفاظ على بعض الخصائص الطوبولوجية، مثل التراص الموضعي ، التي لا تحافظ عليها التطبيقات المتصلة دائمًا.

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لتكن فضاءات طوبولوجية ولتكن${\displaystyle p}$كن خريطة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$أي أنها متصلة ، ومغلقة ، وشاملة ، بحيث يكون كل ليف${\displaystyle p^{-1}(y)}$مضغوطة نسبياً​${\displaystyle X}$لكل${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$. ثم${\displaystyle p}$تُعرف باسم الخريطة المثالية.

1. لو${\displaystyle p\colon X\to Y}$إنها خريطة مثالية و${\displaystyle Y}$إذا كان مضغوطًا ، فـ${\displaystyle X}$صغير الحجم.
2. لو${\displaystyle p\colon X\to Y}$إنها خريطة مثالية و${\displaystyle X}$إذا كان منتظمًا ، فـ${\displaystyle Y}$منتظم. (إذا)${\displaystyle p}$إذا كان الأمر مجرد اتصال، فحتى لو${\displaystyle X}$منتظم،${\displaystyle Y}$ليس بالضرورة أن يكون منتظمًا. مثال على ذلك هو إذا${\displaystyle X}$مساحة عادية و${\displaystyle Y}$(مجموعة لانهائية في الطوبولوجيا غير المنفصلة.)
3. لو${\displaystyle p\colon X\to Y}$إنها خريطة مثالية، وإذا${\displaystyle X}$إذا كانت متراصة محليًا ،${\displaystyle Y}$مضغوطة محلياً.
4. لو${\displaystyle p\colon X\to Y}$إنها خريطة مثالية، وإذا${\displaystyle X}$إذا كان الثاني قابلاً للعد، فإن${\displaystyle Y}$هو الثاني المعدود .
5. كل تطبيق تام أحادي هو تطبيق تماثلي . وينتج هذا من حقيقة أن التطبيق المغلق التقابلي له معكوس متصل.
6. لو${\displaystyle p\colon X\to Y}$إنها خريطة مثالية، وإذا${\displaystyle Y}$إذا كان متصلاً ، فـ${\displaystyle X}$ليس بالضرورة أن تكون متصلة. على سبيل المثال، الدالة الثابتة من فضاء مضغوط غير متصل إلى فضاء أحادي هي دالة مثالية.
7. لا يشترط أن تكون الخريطة المثالية مفتوحة. في الواقع، تأمل الخريطة${\displaystyle p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]}$مقدم من${\displaystyle p(x)=x}$لو${\displaystyle x\in [1,2]}$و${\displaystyle p(x)=x-1}$لو${\displaystyle x\in {}[3,4]}$هذه الدالة مغلقة، ومتصلة (بحسب نظرية اللصق )، وشاملة، وبالتالي فهي دالة مثالية (الشرط الآخر مُتحقق بشكل بديهي). مع ذلك، فإن p ليست دالة مفتوحة، لأن صورة الفترة [1, 2] تحت تأثير p هي [1, 2] ، وهي ليست مفتوحة بالنسبة للفترة [1, 3] (مدى p ). لاحظ أن هذه الدالة هي دالة قسمة، وعملية القسمة هي "لصق" فترتين معًا.
8. لاحظ كيف أنه للحفاظ على خصائص مثل الاتصال المحلي ، والعد الثاني، والتراص المحلي ، وما إلى ذلك، يجب أن تكون الخريطة متصلة ومفتوحة في آن واحد. لا يشترط أن تكون الخريطة الكاملة مفتوحة (انظر المثال السابق)، ولكن هذه الخصائص تبقى محفوظة في الخرائط الكاملة.
9. كل تماثل شكلي هو تطبيق كامل. وينتج هذا من حقيقة أن التطبيق المفتوح التقابلي يكون مغلقًا، ولأن التماثل الشكلي يكون حقنيًا، فإن معكوس كل عنصر من عناصر المدى يجب أن يكون محدودًا في المجال (في الواقع، يجب أن يحتوي المعكوس على عنصر واحد فقط).
10. كل دالة مثالية هي دالة خارج القسمة. وينتج هذا من حقيقة أن الدالة المغلقة والمتصلة والشاملة هي دائمًا دالة خارج القسمة.
11. ليكن G زمرة طوبولوجية متراصة تعمل بشكل مستمر على X. عندئذٍ يكون تطبيق القسمة من X إلى X / G تطبيقًا مثاليًا.
12. الخرائط المثالية هي خرائط مناسبة . الخرائط المناسبة الشاملة مثالية، بشرط أن تكون طوبولوجيا Y هاوسدورف ومولدة بشكل مضغوط. ^{[ 1 ]}

• الخرائط المفتوحة والمغلقة – دوال ترسل مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة) إلى مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة) 
• فضاء القسمة – بناء الفضاء الطوبولوجي 
• الخريطة المناسبة – خريطة رياضية بين الفضاءات الطوبولوجية 

• مونكرز، جيمس (1999). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). برنتيس هول . ISBN 0-13-181629-2.