كرة الفوتون

تنشأ كرة الفوتونات ، أو حلقة الفوتونات ^{[ 1 ]} أو دائرة الفوتونات ^{[ 2 ]،} في جوار أفق الحدث للثقب الأسود، حيث تكون الجاذبية قوية لدرجة أن الفوتونات المنبعثة لا تنحني حول الثقب الأسود فحسب، بل تعود أيضًا إلى نقطة انبعاثها، وبالتالي تُظهر خصائص تشبه ارتداد الفوتونات. [ ^{2 ] عندما} يسقط مصدر الفوتونات في مجال الجاذبية باتجاه أفق الحدث، يتغير شكل مسار كل فوتون مرتد، مائلًا إلى شكل دائري أكثر. عند قيمة حرجة للمسافة القطرية من نقطة التفرد، يتخذ مسار الفوتون المرتد شكل مدار دائري غير مستقر، مُشكلاً بذلك دائرة فوتونات، ومن ثم كرة فوتونات. يُقال إن مدار الفوتون الدائري هو مدار الفوتون الأخير . ^{[ 3 ]} نصف قطر كرة الفوتونات، وهو أيضًا الحد الأدنى لأي مدار دائري ، بالنسبة لثقب شوارزشيلد الأسود ، هو

${\displaystyle r={\frac {3GM}{c^{2}}}={\frac {3r_{\text{s}}}{2}},}$

حيث G هو ثابت الجاذبية ، وM هي كتلة الثقب الأسود ، وc هي سرعة الضوء في الفراغ، و r _s هو نصف قطر شوارزشيلد (نصف قطر أفق الحدث )؛ انظر أدناه لاشتقاق هذه النتيجة.

تستلزم هذه المعادلة أن كرات الفوتون لا يمكن أن توجد إلا في الفضاء المحيط بجسم مضغوط للغاية ( ثقب أسود أو ربما نجم نيوتروني "مضغوط للغاية" ^{[ 4 ]} ).

تقع كرة الفوتونات على مسافة أبعد من مركز الثقب الأسود مقارنةً بأفق الحدث. داخل كرة الفوتونات، يمكن تخيل فوتون ينبعث (أو ينعكس) من مؤخرة رأس شخص ما، ويتبع مدارًا حول الثقب الأسود، ثم تستقبله عين الشخص، مما يسمح له برؤية مؤخرة رأسه (وإن كانت مشوهة للغاية)، انظر على سبيل المثال ^{[ 2 ].}

بالنسبة للثقوب السوداء غير الدوارة، تُعرَّف كرة الفوتون بأنها كرة نصف قطرها 3/2 r _s . لا توجد مدارات سقوط حر مستقرة داخل كرة الفوتون أو تعبرها. أي مدار سقوط حر يعبرها من الخارج يتجه حلزونيًا نحو الثقب الأسود. أما أي مدار يعبرها من الداخل، فإنه يفلت إلى اللانهاية أو يسقط عائدًا إلى الداخل ويتجه حلزونيًا نحو الثقب الأسود. لا يمكن وجود مدار غير متسارع بنصف محور رئيسي أقل من هذه المسافة، ولكن داخل كرة الفوتون، يسمح التسارع الثابت لمركبة فضائية أو مسبار بالتحليق فوق أفق الحدث. 

من خصائص كرة الفوتون انعكاس قوة الطرد المركزي (وليس قوة الجذب المركزي ). ^{[ 5 ]} خارج كرة الفوتون، كلما زادت سرعة دوران الجسم، زادت قوة الطرد المركزي المؤثرة عليه. تتلاشى قوة الطرد المركزي داخل كرة الفوتون، بما في ذلك المدارات غير الحرة مهما كانت السرعة، أي أن وزن الجسم ثابت بغض النظر عن سرعة دورانه، وتصبح سالبة داخلها. داخل كرة الفوتون، تؤدي زيادة سرعة الدوران إلى زيادة الوزن أو قوة الطرد المركزي. وهذا له آثار بالغة على ديناميكيات الموائع، وتحديدًا تدفق الموائع نحو الداخل.

يحتوي الثقب الأسود الدوار على العديد من "كرات" الفوتونات، أو بالأحرى أشكال كروية مفلطحة (أشكال بيضاوية مسطحة عند القطبين، حسب اتجاه اقتراب الفوتون). أثناء دوران الثقب الأسود، يسحب معه الفضاء. في المدار القطبي ، توجد كرة فوتونية واحدة فقط. وذلك لأنه عند الاقتراب من اتجاه موازٍ لمحور الدوران، لا توجد إمكانية للتحرك مع الدوران أو عكسه. بدلاً من ذلك، يتسبب الدوران في ترنح المدار . [ ^{6 ] كرات} الفوتونات الأخرى الأقرب إلى الثقب الأسود من كرة المدار القطبي لها نفس دوران الثقب الأسود، بينما تلك الأبعد لها دوران معاكس. كلما زادت السرعة الزاوية لدوران الثقب الأسود، زادت المسافة بين أقرب وأبعد كرات الفوتونات. إذا كانت الفوتونات تقترب من الثقب الأسود باتجاه خط الاستواء، فإن كرات الفوتونات تتحول إلى دوائر في المستوى الاستوائي.

بما أن الثقب الأسود شوارزشيلد له تناظر كروي، فإن جميع المحاور الممكنة لمدار الفوتون الدائري متكافئة، وجميع المدارات الدائرية لها نفس نصف القطر.

يتضمن هذا الاشتقاق استخدام مقياس شوارزشيلد ، المعطى بواسطة

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+d\theta ^{2}).}$

بالنسبة لفوتون يتحرك بنصف قطر ثابت r (أي في اتجاه الإحداثي φ )،${\displaystyle dr=0}$بما أنه فوتون،${\displaystyle ds=0}$(فترة شبيهة بالضوء). يمكننا دائمًا تدوير نظام الإحداثيات بحيث${\displaystyle \theta }$ثابت،${\displaystyle d\theta =0}$(على سبيل المثال،${\displaystyle \theta =\pi /2}$).

بوضع قيم ds و dr و dθ مساوية للصفر، نحصل على

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}=r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

إعادة الترتيب تعطي

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r\sin \theta }}{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}.}$

للمضي قدماً، نحتاج إلى العلاقة${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}}$لإيجادها، نستخدم معادلة الجيوديسية الشعاعية

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.}$

غير متلاشٍ${\displaystyle \Gamma }$معاملات الاتصال هي

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {c^{2}BB'}{2}},\quad \Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {B^{-1}B'}{2}},\quad \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-rB,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta ,}$

أين${\displaystyle B'={\frac {dB}{dr}},\ B=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$.

نتعامل مع الجيوديسيات الشعاعية للفوتون ذات نصف القطر الثابت r و${\displaystyle \theta }$، لذلك

${\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}={\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}={\frac {d\theta }{d\tau }}=0.}$

وبإدخال كل ذلك في معادلة الجيوديسية الشعاعية (معادلة الجيوديسية التي يكون فيها الإحداثي الشعاعي هو المتغير التابع)، نحصل على

${\displaystyle \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}.}$

وبمقارنته بما تم الحصول عليه سابقاً، لدينا

${\displaystyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}},}$

حيث قمنا بإدراج${\displaystyle \theta =\pi /2}$الراديان (تخيل أن الكتلة المركزية، التي يدور حولها الفوتون، تقع في مركز محاور الإحداثيات. ثم، بينما يتحرك الفوتون على طول${\displaystyle \phi }$بالنسبة لخط الإحداثيات، لكي تقع الكتلة مباشرة في مركز مدار الفوتون، يجب أن يكون لدينا${\displaystyle \theta =\pi /2}$(راديان).

وبالتالي، فإن إعادة ترتيب هذا التعبير النهائي يعطي

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}r_{\text{s}},}$

وهي النتيجة التي شرعنا في إثباتها.

على عكس ثقب شوارزشيلد الأسود، لا يمتلك ثقب كير الأسود (الدوار) تناظرًا كرويًا، بل محور تناظر فقط، مما يؤثر بشكل كبير على مدارات الفوتونات. انظر على سبيل المثال إلى كرامر ^{[ 2 ]} للاطلاع على التفاصيل ومحاكاة مدارات الفوتونات ودوائرها. توجد أربعة مدارات دائرية للفوتونات في المستوى الاستوائي، بنصف قطر بوير-ليندكويست مختلف .

${\displaystyle r_{0}=0}$(حلقة متفردة بنصف قطر ديكارتي |a|، مدار أمامي مستقر)،

${\displaystyle r_{1}=2r_{s}\left[\sin ^{2}\left({\frac {1}{3}}\arcsin {\frac {|a|}{m}}\right)\right]}$(مدار أمامي غير مستقر)،

${\displaystyle r_{2}=r_{s}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {-|a|}{m}}\right)\right]}$(مدار أمامي غير مستقر)،

${\displaystyle r_{3}=r_{s}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {|a|}{m}}\right)\right]}$(مدار رجعي غير مستقر)،

مع${\displaystyle 0<r_{1}\leq {m}\leq r_{2}\leq 3{m}\leq r_{3}\leq 4{m}}$،

أين${\displaystyle m={\frac {GM}{c^{2}}}={\frac {r_{s}}{2}}}$و${\displaystyle a={\frac {J}{cM}}}$مع${\displaystyle J}$الزخم الزاوي الدوراني للثقب الأسود ^{[ 7 ]} و${\displaystyle |a|\leq m}$.

ملحوظة:${\displaystyle r_{2}}$و ${\displaystyle r_{3}}$تتوافق على التوالي مع الكرات (المتدهورة) ذات أقصر نصف قطر${\displaystyle \geq {m}}$وأكبر نصف قطر. كلما زاد دوران الثقب الأسود، زادت الفجوة بين${\displaystyle r_{2}}$و ${\displaystyle r_{3}}$. ${\displaystyle r_{1}}$يكون داخل الأفق الداخلي عندما${\displaystyle |a|<m}$ويتزامن مع كلا الأفقين عندما${\displaystyle |a|=m}$^{[ 8 ]} (ثقب أسود كير المتطرف).

يوجد مدار فوتون قطبي واحد (يعبر القطبين ويتم سحبه مع دوران الثقب الأسود) بنصف قطر بوير-ليندكويست:

${\displaystyle r_{p}=r_{s}\left[{\frac {1}{2}}+{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{3m^{2}}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1-{\frac {a^{2}}{m^{2}}}}{\left(1-{\frac {a^{2}}{3m^{2}}}\right)^{3/2}}}\right)\right]}$^{[ 7 ]} (مدار غير مستقر)،

مع${\displaystyle (1+{\sqrt {2}}){m}\leq r_{p}\leq 3{m}}$.

يمثل هذا المدار الحد الفاصل بين المدارات التقدمية والتراجعية.

عندما يكون نصف قطر المدار أقل من${\displaystyle r_{stab}=m\left(1-\left(1-a^{2}/m^{2}\right)^{1/3}\right)}$يكون المدار مستقرًا في ظل الاضطراب الشعاعي، وإلا فإنه يكون غير مستقر.

متى${\displaystyle a=0}$(ثقب شوارزشيلد الأسود)، تؤدي الصيغ المذكورة أعلاه إلى المدار الوحيد ${\displaystyle r_{2}=r_{3}=r_{p}={\frac {3}{2}}r_{s}}$كما هو موضح في القسم السابق، و${\displaystyle r_{stab}=0}$.

متى${\displaystyle a\neq 0}$توجد مدارات أخرى ذات نصف قطر ثابت، لكن مساراتها أكثر تعقيدًا وتتذبذب في خط العرض حول خط الاستواء، ^{[ 7 ]} وباستثناء${\displaystyle |a|=m}$(الثقب الأسود كير المتطرف)، لا يوجد تعريف تحليلي بسيط معروف حتى الآن لنصف قطرها.

على عكس الثقب الأسود شوارزشيلد، يمكن توليد كرة فوتونية حول ثقب أسود كير عن طريق مدار فوتون واحد.

أُبلغ عن أول محاولة لرصد حلقة فوتونية في أغسطس 2022 من قِبل أفيري برودريك وزملاؤه، وهم فريق فرعي من فريق تلسكوب أفق الحدث (EHT). استخدموا خوارزمية تصوير بديلة على بيانات EHT لعام 2017 للثقب الأسود فائق الكتلة في مركز مجرة ​​مسييه 87 لعزل واستخراج صورة زعموا أنها حلقة فوتونية حول الثقب الأسود فائق الكتلة M87* . ^{[ 9 ]} وُجهت انتقادات لهذا الزعم لأن الحلقة الفوتونية المزعومة كانت أكثر سطوعًا من المتوقع؛ كما أن تحليلًا مستقلًا مماثلًا لبيانات EHT لعام 2017، مع وضع قيود على سطوع الحلقة الفوتونية المزعومة، لم يُسفر عن أي دليل على رصد حلقة فوتونية. ^{[ 10 ]}

• خطوة بخطوة إلى داخل ثقب أسود
• رحلات افتراضية إلى الثقوب السوداء والنجوم النيوترونية
• دليل الثقوب السوداء
• مدارات الفوتونات الكروية حول ثقب كير الأسود