توزيع بواسون ذو الحدين

يمكن كتابة احتمال الحصول على k محاولة ناجحة من أصل n محاولة على أنه المجموع ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$

أين${\displaystyle F_{k}}$هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من k عدد صحيح التي يمكن اختيارها من${\displaystyle \{1,2,3,...,n\}}$على سبيل المثال، إذا كان n  =  3، فإن${\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}}$.${\displaystyle A^{c}}$هو مكمل لـ${\displaystyle A}$، أي${\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\smallsetminus A}$.

${\displaystyle F_{k}}$سيحتوي${\displaystyle n!/((nk)!k!)}$العناصر التي يصعب حساب مجموعها عمليًا إلا إذا كان عدد المحاولات n صغيرًا (على سبيل المثال، إذا كان n  =  30،${\displaystyle F_{15}}$يحتوي على أكثر من ¹⁰²⁰ عنصرًا). ومع ذلك، توجد طرق أخرى أكثر كفاءة للحساب${\displaystyle \Pr(K=k)}$.

طالما أن احتمالات النجاح لا تساوي واحدًا، يمكن للمرء حساب احتمال k من النجاحات باستخدام الصيغة المتكررة ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=ki)T(i)&k>0\\\end{cases}}}$

أين

${\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.}$

الصيغة التكرارية غير مستقرة عدديًا ، ويجب تجنبها إذا${\displaystyle n}$أكبر من 20 تقريبًا.

ثمة بديل آخر وهو استخدام خوارزمية فرق تسد : إذا افترضنا${\displaystyle n=2^{b}}$هي قوة العدد اثنين، وتدل على ذلك بواسطة${\displaystyle f(p_{i:j})}$توزيع بواسون ذو الحدين لـ${\displaystyle p_{i},\dots ,p_{j}}$و${\displaystyle *}$لدينا عامل الالتفاف${\displaystyle f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})}$.

وبشكل أعم، يمكن التعبير عن دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون ذي الحدين على أنها التفاف المتجهات${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$أين${\displaystyle P_{i}=[1-p_{i},p_{i}]}$تؤدي هذه الملاحظة إلى خوارزمية الالتفاف المباشر (DC) لحساب${\displaystyle \Pr(K=0)}$خلال${\displaystyle \Pr(K=n)}$:

// تبدأ دالة PMF و nextPMF من الفهرس 0 DC (${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$) يكون قم بتعريف مصفوفة PMF جديدة بحجم 1 PMF[0] = [1] من أجل i = 1 إلى${\displaystyle n}$يفعل أعلن عن مصفوفة nextPMF جديدة بحجم i + 1 nextPMF[0] = (1 -${\displaystyle p_{i}}$) * PMF[0] nextPMF[i] =${\displaystyle p_{i}}$* PMF[i - 1] for k = 1 to i - 1 do nextPMF[k] =${\displaystyle p_{i}}$* PMF[k - 1] + (1 -${\displaystyle p_{i}}$) * PMF[k] تكرار PMF = nextPMF كرر إرجاع PMF نهاية الدالة

${\displaystyle \Pr(K=k)}$سيتم العثور عليها في PMF[k]. خوارزمية DC مستقرة عدديًا ودقيقة، وعند تنفيذها كبرنامج، تكون سريعة للغاية بالنسبة لـ${\displaystyle n\leq 2000}$ويمكن أن يكون سريعًا جدًا أيضًا بالنسبة للأحجام الأكبر${\displaystyle n}$، وذلك تبعاً لتوزيع${\displaystyle p_{i}}$[ ^{4 ]​}

ثمة احتمال آخر يتمثل في استخدام تحويل فورييه المنفصل . ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum _{\ell =0}^{n}C^{-lk}\prod _{m=1}^{n}\left(1+(C^{\ell }-1)p_{m}\right)}$

أين${\displaystyle C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)}$و${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$.

كما تم وصف طرق أخرى في "التطبيقات الإحصائية لتوزيعات بواسون ذات الحدين وتوزيعات برنولي الشرطية" بواسطة تشين وليو ^{[ 6 ]} وفي "طريقة بسيطة وسريعة لحساب دالة توزيع بواسون ذات الحدين" بواسطة بيسكاري وآخرون ^{[ 4 ] .}

يمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي (CDF) على النحو التالي :

${\displaystyle \Pr(K\leq k)=\sum _{\ell =0}^{k}\sum _{A\in F_{\ell }}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}$

أين${\displaystyle F_{\ell }}$هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية ذات الحجم${\displaystyle \ell }$يمكن الاختيار من بينها${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$.

يمكن حساب ذلك عن طريق استدعاء دالة DC المذكورة أعلاه، ثم إضافة العناصر${\displaystyle 0}$خلال${\displaystyle k}$من مصفوفة PMF المُعادة.

بما أن المتغير الموزع وفقًا لتوزيع بواسون ذي الحدين هو مجموع n من المتغيرات المستقلة الموزعة وفقًا لتوزيع برنولي، فإن متوسطه وتباينه سيكونان ببساطة مجموع متوسط ​​وتباين توزيعات برنولي n :

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$

لا توجد صيغة بسيطة لحساب إنتروبيا توزيع بواسون ذي الحدين، ولكن إنتروبيا هذا التوزيع محدودة من الأعلى بإنتروبيا توزيع ذي الحدين له نفس المعامل العددي ونفس المتوسط. وبالتالي، فإن إنتروبيا هذا التوزيع محدودة أيضًا من الأعلى بإنتروبيا توزيع بواسون له نفس المتوسط. ^{[ 7 ]}

تنص فرضية شيب-أولكين للتقعر، التي وضعها لورانس شيب وإنجرام أولكين في عام 1981، على أن إنتروبيا توزيع بواسون ذي الحدين هي دالة مقعرة لاحتمالات النجاح${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$[ ^{٨ ]} وقد أثبت إروان هيليون وأوليفر جونسون هذه الفرضية في عام ٢٠١٥. ^{[ ٩ ] وتنص فرضية شيب-أولكين للرتابة، الواردة} أيضًا في نفس الورقة البحثية لعام ١٩٨١، على أن الإنتروبيا تتزايد بشكل رتيب في${\displaystyle p_{i}}$، إن كان كل${\displaystyle p_{i}\leq 1/2}$وقد تم إثبات هذه الفرضية أيضًا من قبل هيليون وجونسون في عام 2019. ^{[ 10 ]}

يمكن تحديد احتمالية أن يصبح توزيع بواسون ذو الحدين كبيرًا باستخدام دالة توليد العزوم الخاصة به كما يلي (صحيح عندما${\displaystyle s\geq \mu }$ولأي${\displaystyle t>0}$):

$\begin{aligned}\Pr[S\geq s]&\leq \exp(-st)\operatorname {E} \left[\exp \left[t\sum _{i}X_{i}\right]\right]\\&=\exp(-st)\prod _{i}(1-p_{i}+e^{t}p_{i})\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(p_{i}(e^{t}-1)+1\right)\right)\\&\leq \exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(\exp(p_{i}(e^{t}-1))\right)\right)\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}p_{i}(e^{t}-1)\right)\\&=\exp \left(s-\mu -s\log {\frac {s}{\mu }}\right),\end{aligned}}}$

حيث أخذنا${\textstyle t=\log \left(s/\mu \right)}$وهذا يشبه حدود ذيل التوزيع ذي الحدين .

توزيع بواسون ذو الحدين${\displaystyle PB}$يمكن تقريبها بتوزيع ذي الحدين${\displaystyle B}$أين${\displaystyle \mu }$، متوسط${\displaystyle p_{i}}$، هي احتمالية نجاح${\displaystyle B}$تباينات${\displaystyle PB}$و${\displaystyle B}$ترتبط هذه العلاقات بالصيغة التالية

${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\operatorname {Var} (B)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}$

كما هو واضح، كلما اقتربت${\displaystyle p_{i}}$من${\displaystyle \mu }$أي كلما زاد${\displaystyle p_{i}}$يميل إلى التجانس، كلما كان أكبر${\displaystyle PB}$تباين. عندما يكون كل${\displaystyle p_{i}}$يساوي${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle PB}$يصبح${\displaystyle B}$،${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\operatorname {Var} (B)}$ويكون التباين في أقصى حد له. ^{[ 1 ]}

حدد إهم حدود مسافة التباين الكلي لـ${\displaystyle PB}$و${\displaystyle B}$وبالتالي، فإنه يوفر فعلياً حدوداً للخطأ الناتج عند التقريب${\displaystyle PB}$مع${\displaystyle B}$. يترك${\displaystyle \nu =1-\mu }$و${\displaystyle d(PB,B)}$لتكن مسافة التباين الكلية لـ${\displaystyle PB}$و${\displaystyle B}$. ثم

${\displaystyle d(PB,B)\leq (1-\mu ^{n+1}-\nu ^{n+1}){\frac {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}{((n+1)\mu \nu )}}}$

${\displaystyle d(PB,B)\geq C\min \left\{\,1,{\frac {1}{n\mu \nu }}\,\right\}\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}$

أين${\displaystyle C\geq {\frac {1}{124}}}$.

${\displaystyle d(PB,B)}$يقترب من الصفر إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)/\operatorname {Var} (B)}$يميل إلى 1. ^{[ 11 ]}

توزيع بواسون ذو الحدين${\displaystyle PB}$ويمكن تقريبها أيضًا بتوزيع بواسون${\displaystyle Po}$مع المتوسط${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$وقد أظهر باربور وهول أن

${\displaystyle {\frac {1}{32}}\min \left\{\,{\frac {1}{\lambda }},1\,\right\}\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\leq d(PB,Po)\leq {\frac {1-e^{-\lambda }}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$

أين${\displaystyle d(PB,B)}$هي مسافة التباين الكلية لـ${\displaystyle PB}$و${\displaystyle Po}$[ ^{12 ]} يمكن ملاحظة أنه كلما صغر ^حجم${\displaystyle p_{i}}$كلما كان ذلك أفضل${\displaystyle Po}$تقريبي${\displaystyle PB}$.

مثل${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)=\lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$و${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}-\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$،${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)\operatorname {Var} (PB)}$لذا فإن تباين توزيع بواسون ذي الحدين يكون محدودًا من الأعلى بتوزيع بواسون ذي ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$وكلما صغر حجمها${\displaystyle p_{i}}$كلما اقتربت${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)}$سيكون لـ${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)}$.