الفضاء متعدد الأوجه

الفضاء متعدد السطوح هو نوع من الفضاءات المترية . الفضاء متعدد السطوح ( الإقليدي ) هو مُركّب تبسيطي (عادةً ما يكون محدودًا) حيث يمتلك كل مُبسط فيه مقياسًا مسطحًا . (من الفضاءات الأخرى ذات الأهمية الفضاءات متعددة السطوح الكروية والزائدية، حيث يمتلك كل مُبسط فيها مقياسًا ذا انحناء ثابت موجب أو سالب). فيما يلي، سنعتبر جميع الفضاءات متعددة السطوح فضاءات إقليدية.

جميع الفضاءات متعددة السطوح أحادية البعد هي مجرد رسوم بيانية مترية . وتُعدّ التثليثات للأسطح ثنائية الأبعاد مصدرًا جيدًا للأمثلة ثنائية الأبعاد. سطح متعدد السطوح المحدب في${\displaystyle R^{3}}$هو فضاء متعدد السطوح ثنائي الأبعاد.

أي فضاء متعدد الأوجه من نوع PL (وهو في جوهره نفس الفضاء التبسيطي ، مع بعض الافتراضات التقنية للتسهيل) يُعد مثالاً على الفضاء متعدد الأوجه. في الواقع، يمكن النظر في الفضاءات الزائفة ، مع أن التركيز على الفضاءات العادية أكثر منطقية.

في دراسة الفضاءات متعددة السطوح (وخاصةً تلك التي تُعدّ أيضًا فضاءات طوبولوجية )، تلعب النقاط المتفردة المترية دورًا محوريًا. لنفترض أن الفضاء متعدد السطوح هو فضاء متعدد الأبعاد ذو n بُعد. إذا لم يكن لنقطة في هذا الفضاء، الذي يُمثّل فضاءً طوبولوجيًا ذا n بُعد، جوار متساوي القياس مع جوار إقليدي في R^n، تُسمى هذه النقطة نقطة متفردة مترية. وتُسمى نقطة متفردة ذات بُعد مشترك k إذا كان لها جوار متساوي القياس مع R^{nk} بمخروط متري . أما النقاط المتفردة ذات البُعد المشترك 2 فهي ذات أهمية بالغة؛ إذ تتميز برقم واحد، هو الزاوية المخروطية.

يمكن أيضًا دراسة النقاط الشاذة طوبولوجيًا. فعلى سبيل المثال، لا توجد نقاط شاذة طوبولوجية ذات بُعد مشترك 2. في فضاء متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد بدون حدود (أي أن الأوجه غير ملتصقة ببعضها)، تمتلك أي نقطة جوارًا متماثلًا طوبولوجيًا إما مع كرة مفتوحة أو مع مخروط فوق المستوى الإسقاطي . في الحالة الأولى، تكون النقطة بالضرورة نقطة شاذة مترية ذات بُعد مشترك 3. لا تزال المشكلة العامة لتصنيف النقاط الشاذة طوبولوجيًا في الفضاءات متعددة السطوح غير محلولة إلى حد كبير (باستثناء بعض العبارات البسيطة، مثل أن أي نقطة شاذة هي محليًا مخروط فوق فضاء متعدد السطوح كروي ذي بُعد أقل، ويمكننا دراسة النقاط الشاذة هناك).

من المثير للاهتمام دراسة انحناء الفضاءات متعددة السطوح (الانحناء بمفهوم فضاءات ألكسندروف )، وتحديدًا الفضاءات متعددة السطوح ذات الانحناء غير السالب وغير الموجب. الانحناء غير السالب على النقاط الشاذة ذات البعد المشترك 2 يستلزم انحناءً غير سالب إجمالًا. مع ذلك، هذا غير صحيح بالنسبة للانحناء غير الموجب. على سبيل المثال، لنفترض R³ بعد إزالة ثُمن واحد. عندئذٍ، يكون الانحناء غير موجب على حواف هذا الثُمن (النقاط الشاذة ذات البعد المشترك 2) (بسبب تفرع الخطوط الجيوديسية)، لكن هذا ليس هو الحال عند نقطة الأصل (نقطة شاذة ذات بعد مشترك 3)، حيث يكون للمثلث (0,0,e)، (0,e,0)، (e,0,0) متوسط ​​أطول مما سيكون عليه في المستوى الإقليدي، وهو ما يميز الانحناء غير السالب.

يمكن تطبيق العديد من مفاهيم الهندسة الريمانية . يوجد مفهوم واحد واضح للنقل المتوازي ، ورابط طبيعي واحد فقط . مفهوم التماثل بسيط للغاية في هذه الحالة. زمرة التماثل المقيدة تافهة، وبالتالي يوجد تشاكل من الزمرة الأساسية إلى زمرة التماثل . قد يكون من المفيد بشكل خاص إزالة جميع النقاط الشاذة للحصول على فضاء ذي مقياس ريماني مسطح، ودراسة التماثلات فيه. من بين المفاهيم الناشئة عن ذلك، مشعبات كاهلر متعددة السطوح، عندما تكون التماثلات محصورة في زمرة، مترافقة مع المصفوفات الوحدوية . في هذه الحالة، تحافظ التماثلات أيضًا على شكل تماثلي ، إلى جانب بنية معقدة على هذا الفضاء متعدد السطوح (المشعب) بعد إزالة النقاط الشاذة. يتم تعديل جميع المفاهيم، مثل الشكل التفاضلي ، والشكل التفاضلي L2 ، وما إلى ذلك، وفقًا لذلك.

ومن بين اتجاهات البحث الأخرى تطوير البلياردو الديناميكي في الفضاءات متعددة السطوح، مثل البلياردو ذي الانحناء غير الموجب (البلياردو الزائدي). كما تنشأ الفضاءات متعددة السطوح ذات الانحناء الموجب أيضًا كروابط بين النقاط (عادةً ما تكون نقاطًا مفردة مترية) في الفضاءات متعددة السطوح الإقليدية.

بشكل عام، تم تعريف الفضاءات متعددة السطوح لأول مرة بواسطة ميلكا ^{[ 1 ]}

• بوراجو, ديمتري ; بوراغو, يوري ; إيفانوف، سيرجي (2001/06/12) [1984].دورة في الهندسة المتريةالجمعية الأمريكية للرياضيات (الناشر). 417 صفحة . رقم ISBN  0-8218-2129-6(طبعة 2001).
• ديمتري بانوف. "مشعبات كاهلر متعددة الأوجه"