مجموعة التبديلات الأولية

في الرياضيات ، تُسمى زمرة التبديلات G التي تؤثر على مجموعة منتهية غير فارغة X زمرة أولية إذا كانت G تؤثر بشكل متعدٍ على X، وكانت التقسيمات الوحيدة التي يحافظ عليها تأثير G هي التقسيمات التافهة إما إلى مجموعة واحدة أو إلى | X | مجموعة أحادية. أما إذا كانت G متعدية، وحافظت G على تقسيم غير تافه، فتُسمى G زمرة غير أولية .

بينما تكون زمر التبديلات الأولية متعدية، إلا أن ليس كل زمر تبديلات متعدية أولية. أبسط مثال على ذلك هو زمرة كلاين الرباعية التي تؤثر على رؤوس مربع، والتي تحافظ على التقسيم إلى أقطار. من ناحية أخرى، إذا حافظت زمرة التبديلات على التقسيمات التافهة فقط، فإنها تكون متعدية، باستثناء حالة الزمرة التافهة التي تؤثر على مجموعة مكونة من عنصرين. وذلك لأنه بالنسبة لفعل غير متعدي، إما أن تشكل مدارات G تقسيمًا غير تافه محفوظًا بواسطة G ، أو أن فعل الزمرة تافه، وفي هذه الحالة، تُحفظ جميع التقسيمات غير التافهة لـ X (الموجودة عندما يكون | X | ≥ 3 ) بواسطة G.

تم تقديم هذا المصطلح من قبل إيفاريست غالوا في رسالته الأخيرة، حيث استخدم المصطلح الفرنسي équation primitive للمعادلة التي تكون مجموعة غالوا الخاصة بها أولية. ^{[ 1 ]}

وفي نفس الرسالة التي قدم فيها مصطلح "بدائي"، ذكر غالوا النظرية التالية: ^{[ 2 ]}

إذا كانت G زمرة أولية قابلة للحل تؤثر على مجموعة منتهية X ، فإن رتبة X هي قوة لعدد أولي p . علاوة على ذلك، يمكن تعريف X على أنها فضاء أفيني فوق الحقل المنتهي ذي p عنصر، وتؤثر G على X كزمرة جزئية من الزمرة الأفينية .

إذا كانت المجموعة X التي تعمل عليها G منتهية ، فإن عدد عناصرها يسمى درجة G.

من نتائج غالوا هذه أنه إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا، فإن رتبة زمرة متعدية قابلة للحل من الدرجة p هي قاسم لـ${\displaystyle p(p-1).}$في الواقع، كل زمرة متعدية ذات درجة أولية هي زمرة أولية (لأن عدد عناصر التقسيم المحدد بواسطة G يجب أن يكون قاسمًا للعدد p )، و${\displaystyle p(p-1)}$هي عدد عناصر المجموعة الأفينية لفضاء أفيني يحتوي على p عنصرًا.

ويترتب على ذلك أنه إذا كان p عددًا أوليًا أكبر من 3، فإن المجموعة المتناظرة والمجموعة المتناوبة من الدرجة p غير قابلتين للحل، لأن رتبتهما أكبر من${\displaystyle p(p-1).}$تنتج نظرية أبيل-روفيني من هذا ومن حقيقة وجود كثيرات حدود ذات مجموعة غالوا متناظرة.

يعتمد تعريف مكافئ للبدائية على حقيقة أن كل فعل متعدٍّ لمجموعة G متماثل مع فعل ناشئ عن الفعل القانوني لـ G على مجموعة المشاركات G / H ، حيث H مجموعة جزئية من G. يكون فعل المجموعة بدائيًا إذا كان متماثلًا مع G / H لمجموعة جزئية عظمى H من G ، وغير بدائي في غير ذلك (أي إذا وُجدت مجموعة جزئية فعلية K من G تكون H مجموعة جزئية فعلية منها ). تُعدّ هذه الأفعال غير البدائية أمثلة على التمثيلات المستحثة .

تم تحديد أعداد المجموعات البدائية ذات الدرجة الصغيرة من قبل روبرت كارمايكل في عام 1937:

هناك عدد كبير من المجموعات الأولية من الدرجة 16. وكما يشير كارمايكل، فإن جميع هذه المجموعات، باستثناء المجموعة المتناظرة والمتناوبة ، هي مجموعات فرعية من المجموعة الأفينية على الفضاء رباعي الأبعاد فوق الحقل المنتهي ذي العنصرين .

• لنعتبر المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{3}}$التمثيل في موقع التصوير${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$والتباديل

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

كلاهما${\displaystyle S_{3}}$والمجموعة التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle \eta }$بدائية.

• والآن لننظر إلى المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{4}}$التمثيل في موقع التصوير${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$والتباديل

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

المجموعة التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle \sigma }$ليست بدائية، لأن التقسيم${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$أين${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$و${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$يتم الحفاظ عليه بموجب${\displaystyle \sigma }$، أي${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$و${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$.

• كل مجموعة متعدية من الدرجة الأولية هي مجموعة أولية
• المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$التمثيل في موقع التصوير${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$هي بدائية لكل n ومجموعة التناوب${\displaystyle A_{n}}$التمثيل في موقع التصوير${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$تكون أولية لكل n > 2.   

• الكتلة (نظرية مجموعة التبديلات)
• نظرية جوردان (المجموعة المتناظرة)
• نظرية أونان-سكوت ، تصنيف للمجموعات الأولية المنتهية إلى أنواع مختلفة

• Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of grade less than 2500 , Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154 – 183.
• مكتبة بيانات GAP "مجموعات التبديل الأولية " .
• كارمايكل، روبرت د.، مقدمة في نظرية الزمر ذات الرتبة المحدودة. جين، بوسطن، 1937. أعيد طبعه بواسطة منشورات دوفر، نيويورك، 1956.
• تود رولاند. "فعل المجموعة البدائية" . عالم الرياضيات .