شفرة الالتفاف الكمومي

تُعدّ رموز الكتل الكمومية مفيدة في الحوسبة الكمومية والاتصالات الكمومية . عادةً ما تتميز دائرة التشفير لرمز كتلة كبير بتعقيد عالٍ، على الرغم من أن دوائر التشفير للرموز الحديثة تتميز بتعقيد أقل.

تقدم نظرية الترميز التلافيفي الكمومي نموذجًا مختلفًا لترميز المعلومات الكمومية. يُعدّ الهيكل التلافيفي مفيدًا في سيناريو الاتصال الكمومي حيث يمتلك المرسل سلسلة من الكيوبتات لإرسالها إلى المستقبل. تتميز دائرة الترميز للترميز التلافيفي الكمومي بتعقيد أقل بكثير من دائرة الترميز اللازمة لترميز الكتل الكبيرة. كما أنها تتميز بنمط متكرر يسمح لنفس الأجهزة المادية أو نفس الإجراءات بمعالجة سلسلة المعلومات الكمومية.

تستوحي رموز التثبيت الكمومية التلافيفية بشكل كبير من بنية نظيراتها الكلاسيكية . تتشابه الرموز الكمومية التلافيفية مع نظيراتها الكلاسيكية لأن بعض الكيوبتات تُغذّي وحدة ترميز متكررة، مما يمنح الرمز بنية ذاكرة مشابهة لتلك الموجودة في الرموز التلافيفية الكلاسيكية. تتميز الرموز الكمومية بالترميز وفك الترميز الفوري للكيوبتات. هذه الميزة تُكسب الرموز الكمومية التلافيفية انخفاضًا في تعقيد الترميز وفك الترميز، بالإضافة إلى قدرتها على تصحيح مجموعة أكبر من الأخطاء مقارنةً برمز الكتلة ذي المعايير المماثلة.

يعمل رمز مثبت الالتفاف الكمي على فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ وهو حاصل ضرب موتر لانهائي قابل للعد لفضاءات هيلبرت ثنائية الأبعاد للكيوبتات، مفهرسة على الأعداد الصحيحة ≥ 0 ${\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ {\mathcal {H}}_{i}.}$

تسلسل ${\displaystyle \mathbf {A} }$من مصفوفات باولي${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$، أين

${\displaystyle \mathbf {A} ={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ A_{i},}$

يمكن أن تتخذ إجراءات ضد الولايات في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. يترك${\displaystyle \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$لنرمز إلى مجموعة جميع متتابعات باولي. الدعم supp${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$من سلسلة باولي${\displaystyle \mathbf {A} }$هي مجموعة مؤشرات الإدخالات في${\displaystyle \mathbf {A} }$التي لا تساوي العنصر المحايد. وزن المتتالية${\displaystyle \mathbf {A} }$الحجم${\displaystyle \left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert }$من دعمها. التأخير del${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$من تسلسل${\displaystyle \mathbf {A} }$هو أصغر دليل لمدخل لا يساوي العنصر المحايد. الدرجة deg${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$من تسلسل${\displaystyle \mathbf {A} }$هو أكبر فهرس لعنصر لا يساوي العنصر المحايد. على سبيل المثال، متتالية باولي التالية

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}I&X&I&Y&Z&I&I&\cdots \end{array}},}$

يحظى بدعم${\displaystyle \left\{1,3,4\right\}}$، وزن ثلاثة، تأخير واحد، ودرجة أربعة. يكون للمتتالية دعم محدود إذا كان وزنها محدودًا. ليكن ${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$لنرمز إلى مجموعة متتابعات باولي ذات الدعم المحدود. يستخدم التعريف التالي لرمز الالتفاف الكمومي هذه المجموعة.${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$في وصفها.

معدل${\displaystyle k/n}$-كود مُثبِّت الالتفاف مع${\displaystyle 0\leq k\leq n}$هي مجموعة تنقل${\displaystyle {\mathcal {G}}}$من بين الجميع${\displaystyle n}$إزاحات الكيوبت لمجموعة مولدات أساسية${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$مجموعة المولدات الأساسية${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$لديه ${\displaystyle nk}$متواليات باولي ذات الدعم المحدود:

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{\mathbf {G} _{i}\in F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}):1\leq i\leq nk\right\}.}$

طول القيد${\displaystyle \nu }$يمثل الحد الأقصى لدرجة المولدات في الكود${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$يتكون إطار الكود من${\displaystyle n}$الكيوبتات.

يُتيح رمز الالتفاف الكمومي تعريفًا مكافئًا من حيث تحويل التأخير أو${\displaystyle D}$-تحويل. الـ${\displaystyle D}$- تحويل التقاطات تحولات مجموعة المولدات الأساسية${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$لنُعرّف${\displaystyle n}$عامل تأخير الكيوبت${\displaystyle D}$العمل على أي تسلسل باولي${\displaystyle \mathbf {A} \in \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$على النحو التالي:

${\displaystyle D\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes n}\otimes \mathbf {A.} }$

يمكننا الكتابة${\displaystyle j}$التطبيقات المتكررة لـ${\displaystyle D}$كقوة من${\displaystyle D}$:

${\displaystyle D^{j}\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes jn}\otimes \mathbf {A.} }$

يترك${\displaystyle D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right)}$لتكن مجموعة تحولات عناصر${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$بواسطة${\displaystyle j}$ثم المثبت الكامل${\displaystyle {\mathcal {G}}}$بالنسبة لرمز مُثبِّت الشبكة الالتفافية،

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\textstyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} ^{+}}}D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right).}$

يعمل رمز التثبيت التلافيفي كما يلي: يبدأ البروتوكول بقيام المرسل بتشفير سلسلة من الكيوبتات باستخدام دائرة تشفير متصلة بالإنترنت، كما هو موضح في (Grassl and Roetteler 2006). تكون دائرة التشفير متصلة بالإنترنت إذا كانت تعمل على بضع مجموعات من الكيوبتات في كل مرة. يرسل المرسل مجموعة من الكيوبتات بمجرد انتهاء الوحدة الأولى من معالجتها. يقيس المستقبل جميع المولدات في${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ويقوم بتصحيح الأخطاء أثناء استقباله للكيوبتات المشفرة عبر الإنترنت. ثم يقوم بفك تشفير الكيوبتات المشفرة باستخدام دائرة فك التشفير. يجب أن تكون الكيوبتات التي تم فك تشفيرها من خلال هذه العملية الالتفافية خالية من الأخطاء وجاهزة للحوسبة الكمومية عند الطرف المستقبل.

تقوم دائرة ذات عمق محدود بتحويل متتالية باولي ذات وزن محدود إلى متتالية أخرى ذات وزن محدود (أوليفييه وتيليش، 2004). ولا تقوم بتحويل متتالية باولي ذات وزن محدود إلى متتالية ذات وزن غير محدود. هذه الخاصية مهمة لأننا لا نريد أن تنقل دائرة فك التشفير الأخطاء غير المصححة إلى تدفق الكيوبتات المعلوماتية (يوهانسون وزيغانغيروف، 1999). دائرة فك تشفير ذات عمق محدود تُقابل المُثبِّت .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$موجود بواسطة الخوارزمية الواردة في (Grassl and Roetteler 2006).

قدّم فورني وآخرون مثالًا على رمز التفاف كمومي بمعدل 1/3 من خلال استيراد رمز التفاف رباعي كلاسيكي مُحدد (فورني وغوها، 2005). وحدّد غراسل وروتلر دارة ترميز غير كارثية لرمز التفاف الكمومي بمعدل 1/3 الذي قدّمه فورني وآخرون (غراسل وروتلر، 2006). وفيما يلي المُثبِّت الأساسي وإزاحته الأولى:

${\displaystyle \cdots {\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I\\\end{array}}\cdots }$

يتألف الكود من جميع إزاحات الكيوبتات الثلاثة للمولدات المذكورة أعلاه. تمثل الخطوط الرأسية وسيلة بصرية لتوضيح إزاحات الكيوبتات الثلاثة للمولدات الأساسية. يستطيع الكود تصحيح أي خطأ في كيوبت واحد في كل إطار ثانٍ.

قام وايلد وبرون بدمج نظرية رموز التثبيت المدعومة بالتشابك ورموز الالتفاف الكمومي في سلسلة من المقالات (وايلد وبرون 2007أ، 2007ب، 2008، 2009) لتشكيل نظرية ترميز الالتفاف الكمومي المدعوم بالتشابك. تفترض هذه النظرية أن المرسل والمستقبل يتشاركان تشابكًا ثنائيًا خاليًا من التشويش يمكنهما استغلاله لحماية تدفق المعلومات الكمومية.

(Wilde 2009)، استنادًا إلى عمل (Ollivier وTillich 2004) و(Grassl وRoetteler 2006)، أظهر أيضًا كيفية ترميز هذه الرموز باستخدام دوائر مسجل الإزاحة الكمومية، وهو امتداد طبيعي لنظرية دوائر مسجل الإزاحة الكلاسيكية .

• أوليفييه، هارولد؛ تيليش، جان بيير (2003). "وصف لرمز التفاف كمي". رسائل المراجعة الفيزيائية . 91 (17) 177902. arXiv : quant-ph/0304189 . Bibcode : 2003PhRvL..91q7902O . doi : 10.1103/ PhysRevLett.91.177902 . PMID 14611378. S2CID 17261900 .  
• أوليفييه، هـ.؛ تيليش، ج. -ب. (2004). "الرموز الالتفافية الكمومية: الأساسيات". arXiv : quant-ph/0401134 . Bibcode : 2004quant.ph..1134O .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
• فورني، جي. ديفيد (2005). "رموز تصحيح الأخطاء الكمومية البسيطة ذات معدل 1/3 والالتفافية وتقنية قطع الذيل". وقائع الندوة الدولية لنظرية المعلومات، 2005. ISIT 2005. الصفحات 1028-1032 . arXiv : quant-ph/0501099 . doi : 10.1109/ISIT.2005.1523495 . ISBN  0-7803-9151-9. S2CID 14484674 . 
• ديفيد فورني، جي. ديفيد؛ غراسل، ماركوس؛ غوها، سايكات (2007). "رموز تصحيح الأخطاء الكمومية الالتفافية ورموز تصحيح الأخطاء ذات الذيل". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 53 (3): 865-880 . arXiv : quant-ph/0511016 . Bibcode : 2007ITIT...53..865F . doi : 10.1109/TIT.2006.890698 . S2CID 546490 . 
• م. غراسل وم. روتيلر، "رموز الالتفاف الكمومي: المشفرات والخصائص الهيكلية"، في المؤتمر السنوي الرابع والأربعين لأليرتون، 2006. متاح على الرابط التالي: http://www.csl.illinois.edu/allerton/archives/allerton06/PDFs/papers/0285.pdf
• غراسل، ماركوس؛ روتيلر، مارتن (2006). "المشفرات غير الكارثية ومعكوسات المشفرات لرموز الالتفاف الكمومي". ندوة IEEE الدولية لنظرية المعلومات لعام 2006. الصفحات 1109-1113 . arXiv : quant-ph/0602129 . doi : 10.1109/ISIT.2006.261956 . ISBN  1-4244-0505-X. S2CID 1442 . 
• R. Johannesson and KS Zigangirov, Fundamentals of Convolutional Coding . Wiley-IEEE Press, 1999.
• وايلد، مارك م.؛ كروفي، هاري؛ برون، تود أ. (2010). "تقطير التشابك التلافيفي". ندوة IEEE الدولية لنظرية المعلومات لعام 2010. الصفحات 2657-2661. arXiv : 0708.3699 . doi : 10.1109 /ISIT.2010.5513666 . ISBN  978-1-4244-7892-7. S2CID 2409176 . 
• وايلد، مارك م.؛ برون، تود أ. (2010). "الترميز الكمي التلافيفي المدعوم بالتشابك". مجلة Physical Review A. 81 ( 4) 042333. arXiv : 0712.2223 . Bibcode : 2010PhRvA..81d2333W . doi : 10.1103/PhysRevA.81.042333 . S2CID 8410654 . 
• وايلد، مارك م.؛ برون، تود أ. (2010). "الترميز التلافيفي الكمومي مع التشابك المشترك: البنية العامة". معالجة المعلومات الكمومية . 9 (5): 509-540 . arXiv : 0807.3803 . Bibcode : 2010QuIP....9..509W . doi : 10.1007/s11128-010-0179-9 . S2CID 18185704 . 
• وايلد، مارك م. (2008). "الترميز الكمي باستخدام التشابك". arXiv : 0806.4214 .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
• وايلد، مارك م.؛ برون، تود أ. (2009). "التشابك المشترك الإضافي يقلل من متطلبات الذاكرة في الترميز التلافيفي الكمومي". مجلة Physical Review A. 79 ( 3) 032313. arXiv : 0812.4449 . Bibcode : 2009PhRvA..79c2313W . doi : 10.1103/PhysRevA.79.032313 . S2CID 67826844 . 
• وايلد، مارك م. (2009). "دوائر مسجلات الإزاحة الكمومية". مجلة Physical Review A. 79 ( 6) 062325. arXiv : 0903.3894 . Bibcode : 2009PhRvA..79f2325W . doi : 10.1103/PhysRevA.79.062325 . S2CID 56351003 .