الحد الكمي

يُستخدم مقياس التداخل لقياس المسافات بين المرايا للكشف عن موجات الجاذبية . بالنسبة لمرآة كتلتها${\displaystyle m}$تمت ملاحظته لـ${\displaystyle \tau }$ستكون الثواني محدودة بالشكوك الكمومية بمقدار معين $${\displaystyle \Delta z_{\textrm {QL}}={\sqrt {2\hbar \tau /m}}.}$$ لمرآة الكتلة1 × 10 ⁵  جم تم قياسها على ستكون دقة 2 × 10⁻³ ثانية ^{محدودة إلى}6 × 10 ⁻¹⁸  سم . ^{[ 4 ]}

لنفترض مخطط قياس بسيط للغاية، ولكنه مع ذلك يجسد جميع السمات الرئيسية لقياس الموضع العام . في المخطط الموضح في الشكل، تُستخدم سلسلة من نبضات الضوء القصيرة جدًا لمراقبة إزاحة جسم المجس.${\displaystyle M}$المنصب${\displaystyle x}$ل${\displaystyle M}$يتم فحصها دوريًا بفواصل زمنية${\displaystyle \vartheta }$نفترض وجود كتلة${\displaystyle M}$كبيرة بما يكفي لإهمال الإزاحة التي تسببها نبضات ضغط الإشعاع العادي (الكلاسيكي) أثناء عملية القياس.

ثم كل${\displaystyle j}$النبضة رقم -، عند انعكاسها، تحمل إزاحة طور تتناسب مع قيمة موضع كتلة الاختبار${\displaystyle x(t_{j})}$في لحظة التأمل:

${\displaystyle {\hat {\phi}}_{j}^{\mathrm {refl} }={\hat {\phi }}_{j}-2k_{p}{\hat {x}}(t_{j})\,,}$

1

أين${\displaystyle k_{p}=\أوميغا _{p}/c}$،${\displaystyle \omega _{p}}$هو تردد الضوء،${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$هو رقم النبض و${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$هي المرحلة الأولية (العشوائية) من${\displaystyle j}$النبضة رقم -th. نفترض أن متوسط ​​قيمة جميع هذه الأطوار يساوي صفرًا.${\displaystyle \langle {\hat {\phi}} _ {j}\rangle =0}$وعدم اليقين في الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS)${\displaystyle (\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$يساوي${\displaystyle \Delta \phi }$.

يتم الكشف عن النبضات المنعكسة بواسطة جهاز حساس للطور ( كاشف الطور ). ويمكن تنفيذ كاشف الطور البصري باستخدام مخططات الكشف المتجانسة أو غير المتجانسة (انظر القسم 2.3 في ^{[ 2 ]} والمراجع الواردة فيه)، أو تقنيات قراءة أخرى مماثلة.

في هذا المثال، طور نبضة الضوء${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$يُستخدم كقراءة قابلة للملاحظة${\displaystyle {\mathcal {O}}}$من العداد. ثم نفترض أن الطور${\displaystyle {\hat {\phi}}_{j}^{\mathrm {refl} }}$خطأ القياس الناتج عن الكاشف أصغر بكثير من عدم اليقين الأولي للأطوار${\displaystyle \Delta \phi }$في هذه الحالة، سيكون عدم اليقين الأولي هو المصدر الوحيد لخطأ قياس الموضع:

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }={\frac {\Delta \phi }{2k_{p}}}\,.}$

2

ولتسهيل الأمر، نعيد تطبيع المعادلة ( 1 ) على أنها إزاحة كتلة الاختبار المكافئة:

$//$

3

أين

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

هي القيم العشوائية المستقلة مع عدم اليقين RMS المعطى بواسطة المعادلة ( 2 ).

عند انعكاس الضوء، تدفع كل نبضة ضوئية كتلة الاختبار، ناقلةً إليها زخمًا عكسيًا يساوي

${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }-{\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }={\frac {2}{c}}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}\,,}$

4

أين${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$و${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$تمثل قيم زخم كتلة الاختبار قبل وبعد انعكاس نبضة الضوء مباشرة، و${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$هي طاقة${\displaystyle j}$النبضة رقم -th، التي تلعب دور الحركة العكسية القابلة للملاحظة${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$من المتر. يُعزى الجزء الأكبر من هذا الاضطراب إلى ضغط الإشعاع الكلاسيكي:

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

مع${\displaystyle {\mathcal {W}}}$متوسط ​​طاقة النبضات. لذلك، يمكن إهمال تأثيره، إذ يمكن طرحه من نتيجة القياس أو تعويضه بواسطة مُشغِّل. أما الجزء العشوائي، الذي لا يمكن تعويضه، فيتناسب طرديًا مع انحراف طاقة النبضة.

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

وعدم اليقين في جذر متوسط ​​المربعات يساوي

${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }={\frac {2\Delta {\mathcal {W}}}{c}}\,,}$

5

مع${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$عدم اليقين RMS لطاقة النبضة.

بافتراض أن المرآة حرة (وهو تقريب معقول إذا كانت الفترة الزمنية بين النبضات أقصر بكثير من فترة تذبذبات المرآة المعلقة،${\displaystyle \vartheta \ll T}$ويمكن تقدير إزاحة إضافية ناتجة عن التأثير العكسي لـ${\displaystyle j}$النبضة رقم - التي ستساهم في عدم اليقين في القياس اللاحق بواسطة${\displaystyle j+1}$زمن النبض${\displaystyle \vartheta }$لاحقاً:

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

إن عدم اليقين سيكون ببساطة

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

إذا أردنا الآن تقدير مقدار حركة المرآة بين ${\displaystyle j}$ و ${\displaystyle j+1}$النبضات ، أي إزاحتها${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$، وسيتعين علينا التعامل مع ثلاثة عوامل عدم يقين إضافية تحد من دقة تقديرنا:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

حيث افترضنا أن جميع المساهمات في عدم اليقين في القياس مستقلة إحصائيًا، وبالتالي حصلنا على مجموع عدم اليقين عن طريق جمع الانحرافات المعيارية. إذا افترضنا أيضًا أن جميع نبضات الضوء متشابهة ولها نفس عدم اليقين في الطور، فعندئذٍ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$.

الآن، ما هو الحد الأدنى لهذا المجموع، وما هو الحد الأدنى للخطأ الذي يمكن الحصول عليه في هذا التقدير البسيط؟ يُستدل على ذلك من ميكانيكا الكم، إذا تذكرنا أن الطاقة وطور كل نبضة هما كميتان مترافقتان بشكل أساسي، وبالتالي تخضعان لعلاقة عدم اليقين التالية:

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

وبالتالي، يتبين من المعادلتين ( 2 و 5 ) أن خطأ قياس الموضع${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$واضطراب الزخم${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$بسبب رد الفعل العكسي، يتم أيضًا تلبية علاقة عدم اليقين:

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

مع الأخذ في الاعتبار هذه العلاقة، فإن الحد الأدنى من عدم اليقين،${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$يجب أن تكون قيمة نبضة الضوء مساوية لـ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$الاستسلام لكلا الطرفين${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$وبالتالي، فإن الحد الأدنى لخطأ قياس الإزاحة الذي تحدده ميكانيكا الكم هو:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

هذا هو الحد الكمي القياسي لإجراء من هذا النوع يتكون من نبضتين. من حيث المبدأ، إذا اقتصرنا قياسنا على نبضتين فقط ولم نكترث بتأثير تغيير موضع المرآة لاحقًا، فإن عدم اليقين في قياس النبضة الثانية،${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$يمكن، نظرياً، اختزالها إلى صفر (سيؤدي ذلك، بالطبع، إلى${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$) وسيتقلص حد خطأ قياس الإزاحة إلى:

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

وهو ما يُعرف باسم الحد الكمي القياسي لقياس إزاحة الكتلة الحرة.

يمثل هذا المثال حالة خاصة بسيطة للقياس الخطي . يمكن وصف هذه الفئة من مخططات القياس بشكل كامل بواسطة معادلتين خطيتين من الشكل ( 3 ) و( 4 )، بشرط أن يكون كل من عدم اليقين في القياس واضطراب رد فعل الجسم (${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$و${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$(في هذه الحالة) مستقلة إحصائيا عن الحالة الكمومية الأولية للكائن المختبر وتفي بنفس علاقة عدم اليقين مثل المتغير القابل للملاحظة المقاس ونظيره المترافق بشكل قانوني (موضع الكائن وزخمه في هذه الحالة).

في سياق قياس التداخل أو القياسات البصرية الأخرى، يشير الحد الكمي القياسي عادةً إلى الحد الأدنى لمستوى الضوضاء الكمية التي يمكن الحصول عليها دون حالات مضغوطة . ^{[ 5 ]}

بالإضافة إلى ذلك، هناك حد كمي لضوضاء الطور ، لا يمكن الوصول إليه إلا بواسطة الليزر عند ترددات الضوضاء العالية.

في علم الأطياف ، يُطلق على أقصر طول موجي في طيف الأشعة السينية اسم الحد الكمي. ^{[ 6 ]}