بنية الانتظام

توفر نظرية مارتن هايرر لهياكل الانتظام إطارًا لدراسة فئة واسعة من المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية المكافئة دون الحرجة الناشئة عن نظرية الحقل الكمومي . ^{[ 1 ]} يشمل هذا الإطار معادلة كاردار-باريسي-تشانغ ، و${\displaystyle \Phi _{3}^{4}}$المعادلة ونموذج أندرسون المكافئ، وكلها تتطلب إعادة التطبيع من أجل الحصول على مفهوم محدد جيدًا للحل.

تتمثل إحدى المزايا الرئيسية لهياكل الانتظام مقارنةً بالأساليب السابقة في قدرتها على صياغة حل المعادلات العشوائية غير الخطية الشاذة بدلالة وسيطات النقطة الثابتة في فضاء "التوزيعات المتحكم بها" ضمن هيكل انتظام ثابت. يقع فضاء التوزيعات المتحكم بها ضمن فضاء تحليلي/جبري مُصمم لترميز الخصائص الأساسية للمعادلات قيد الدراسة. وكما هو الحال في العديد من المناهج المشابهة، يُطرح وجود هذه النقطة الثابتة أولًا كمشكلة مماثلة حيث يتم تنظيم حد الضوضاء. بعد ذلك، يُزال التنظيم كعملية حدية. وتكمن الصعوبة الرئيسية في هذه المسائل في إثبات أن الكائنات العشوائية المرتبطة بهذه المعادلات تتقارب عند إزالة هذا التنظيم.

فاز هايرر بجائزة الاختراق في الرياضيات لعام 2021 لتقديمه هياكل الانتظام. ^{[ 2 ]}

بنية الانتظام هي ثلاثية${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$يتكون من:

• مجموعة فرعية${\displaystyle A}$(مجموعة الفهرس) من${\displaystyle \mathbb {R} }$أي أنها محدودة من الأسفل وليس لها نقاط تراكم ؛
• فضاء النموذج: فضاء متجه متدرج${\displaystyle T=\oplus _{\alpha \in A}T_{\alpha }}$حيث كل${\displaystyle T_{\alpha }}$هو فضاء باناخ ؛ و
• مجموعة البنية: مجموعة${\displaystyle G}$من المؤثرات الخطية المستمرة${\displaystyle \Gamma \colon T\to T}$بحيث يكون لكل${\displaystyle \alpha \in A}$وكل${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$لدينا${\displaystyle (\Gamma -1)\tau \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta }}$.

ومن المفاهيم الأساسية الأخرى في نظرية هياكل الانتظام مفهوم نموذج هيكل الانتظام، وهو طريقة ملموسة للربط بأي${\displaystyle \tau \in T}$و${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$متعددة حدود تايلور، مقرها في${\displaystyle x_{0}}$ويمثلها${\displaystyle \tau }$مع مراعاة بعض متطلبات الاتساق. وبشكل أدق، نموذج لـ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$، مع${\displaystyle d\geq 1}$يتكون من خريطتين

${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathrm {Lin} (T;{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d}))}$،

${\displaystyle \Gamma \colon \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to G}$.

هكذا،${\displaystyle \Pi }$يُخصص لكل نقطة${\displaystyle x}$خريطة خطية${\displaystyle \Pi _{x}}$، وهو تحويل خطي من${\displaystyle T}$في فضاء التوزيعات على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$؛ ${\displaystyle \Gamma }$يُخصص لأي نقطتين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$مؤثر محدود${\displaystyle \Gamma _{xy}}$، والتي تتمثل مهمتها في تحويل التوسع القائم على${\displaystyle y}$إلى مقر واحد في${\displaystyle x}$هذه الخرائط${\displaystyle \Pi }$و${\displaystyle \Gamma }$يجب أن تستوفي الشروط الجبرية

${\displaystyle \Gamma _{xy}\Gamma _{yz}=\Gamma _{xz}}$،

${\displaystyle \Pi _{x}\Gamma _{xy}=\Pi _{y}}$،

والشروط التحليلية التي، بالنظر إلى أي${\displaystyle r>|\inf A|}$أي مجموعة صغيرة الحجم${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$وأي${\displaystyle \gamma >0}$يوجد ثابت${\displaystyle C>0}$بحيث تكون الحدود

${\displaystyle |(\Pi _{x}\tau )\varphi _{x}^{\lambda }|\leq C\lambda ^{|\tau |}\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$،

$\displaystyle \|\Gamma _{xy}\tau \|_{T_{\beta }}\leq C|xy|^{\alpha -\beta }\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$،

تطبيق موحد على الجميع${\displaystyle r}$دوال اختبار قابلة للتفاضل باستمرار - مرات${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$مع الوحدة${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$المعيار، المدعوم في كرة الوحدة حول الأصل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$، لجميع النقاط${\displaystyle x,y\in K}$، الجميع${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$وكل شيء${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$مع${\displaystyle \beta <\alpha \leq \gamma }$. هنا${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$يشير إلى النسخة المُزاحة والمُقاسة من${\displaystyle \varphi }$مقدم من

${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }(y)=\lambda ^{-d}\varphi \left({\frac {y-x}{\lambda }}\right)}$.