تجارب تشتت رذرفورد

كان النموذج السائد لبنية الذرة قبل تجارب رذرفورد من ابتكار ج. ج. طومسون . ^{[ 2 ] : 123} اكتشف طومسون الإلكترون من خلال عمله على أشعة الكاثود ^{[ 3 ]} ، واقترح وجوده داخل الذرات، وأن التيار الكهربائي عبارة عن إلكترونات تنتقل من ذرة إلى أخرى مجاورة لها في سلسلة. منطقيًا، كان لا بد من وجود كمية متناسبة من الشحنة الموجبة لموازنة الشحنة السالبة للإلكترونات والحفاظ على ترابطها. ولعدم معرفته بمصدر هذه الشحنة الموجبة، اقترح مبدئيًا أن الشحنة الموجبة موجودة في كل مكان في الذرة، متخذةً شكلًا كرويًا للتبسيط. ^{[ 2 ] : 123 [ 4 ]} تخيل طومسون أن توازن القوى الكهروستاتيكية سيوزع الإلكترونات في جميع أنحاء هذه الكرة بشكل متساوٍ تقريبًا. كما اعتقد طومسون أن الإلكترونات يمكنها التحرك داخل هذه الكرة، وفي هذا الصدد، شبّه مادة الكرة بسائل. ^{[ 5 ]} كانت الكرة الموجبة أقرب إلى التجريد منها إلى أي شيء مادي. لم يقترح جسيمًا دون ذري موجب الشحنة ؛ نظيرًا للإلكترون.

لم يتمكن طومسون قط من تطوير نموذج كامل ومستقر قادر على التنبؤ بأي من الخصائص الأخرى المعروفة للذرة، مثل أطياف الانبعاث والتكافؤات. ^{[ 6 ]} رفض العالم الياباني هانتارو ناغاوكا نموذج طومسون على أساس أن الشحنات المتعاكسة لا يمكنها اختراق بعضها البعض. ^{[ 7 ]} واقترح بدلاً من ذلك أن الإلكترونات تدور حول الشحنة الموجبة مثل الحلقات المحيطة بكوكب زحل . ^{[ 8 ]} ومع ذلك، كان من المعروف أيضًا أن هذا النموذج غير مستقر. ^{[ 9 ] : 303}

جسيم ألفا هو جسيم موجب الشحنة ينبعث تلقائيًا من بعض العناصر المشعة. جسيمات ألفا متناهية الصغر لدرجة أنها غير مرئية، ولكن يمكن رصدها باستخدام الشاشات الفسفورية أو الألواح الفوتوغرافية أو الأقطاب الكهربائية. اكتشفها رذرفورد عام 1899. ^{[ 10 ]} وفي عام 1906، من خلال دراسة كيفية انحراف حزم جسيمات ألفا بفعل المجالات المغناطيسية والكهربائية، استنتج أنها في الأساس ذرات هيليوم منزوعة إلكترونين. ^{[ 11 ]} لم يكن لدى طومسون ورذرفورد أي معلومات عن التركيب الداخلي لجسيمات ألفا. في ذلك الوقت، لم يكن العلماء يعرفون بدقة عدد الإلكترونات في ذرة الهيليوم (ولا في ذرات العناصر الأخرى)، لذا فإن ذرة الهيليوم التي فقدت إلكترونين قد تحتوي على عشرة إلكترونات أو نحو ذلك، على حد علمهم. ^{[ 9 ] : 280}

كان نموذج طومسون متوافقًا مع الأدلة التجريبية المتاحة آنذاك. درس طومسون تشتت جسيمات بيتا ، والذي أظهر انحرافات بزوايا صغيرة نُسِخَت على أنها تفاعلات الجسيم مع العديد من الذرات على التوالي. كل تفاعل للجسيم مع إلكترونات الذرة والكرة الخلفية الموجبة يؤدي إلى انحراف طفيف، ولكن العديد من هذه التصادمات يمكن أن تتراكم. ^{[ 9 ] : 274} كان من المتوقع أن يكون تشتت جسيمات ألفا مشابهًا. ^{[ 9 ] : 281} سيُظهر فريق رذرفورد أن نموذج التشتت المتعدد غير ضروري: التشتت الفردي من شحنة مضغوطة في مركز الذرة يُفسر جميع بيانات التشتت. ^{[ 9 ] : 289}

إرنست رذرفورد

هانز جايجر

إرنست مارسدن

كان إرنست رذرفورد أستاذًا لعلم الفيزياء في جامعة فيكتوريا بمانشستر ^{[ 12 ] : 188} ( جامعة مانشستر حاليًا ). وقد نال العديد من الجوائز تقديرًا لأبحاثه في مجال الإشعاع. اكتشف وجود أشعة ألفا ، وأشعة بيتا ، وأشعة غاما ، وأثبت أنها ناتجة عن تفكك الذرات . في عام 1906، زاره الفيزيائي الألماني هانز غايغر ، وأُعجب به لدرجة أنه طلب من غايغر البقاء ومساعدته في أبحاثه. كان إرنست مارسدن طالبًا جامعيًا في الفيزياء يدرس على يد غايغر. ^{[ 13 ]}

في عام ١٩٠٨، سعى رذرفورد إلى تحديد شحنة وكتلة جسيمات ألفا بشكل مستقل. ولتحقيق ذلك، أراد عدّ جسيمات ألفا وقياس شحنتها الكلية؛ إذ تُعطي النسبة بينهما شحنة جسيم ألفا واحد. جسيمات ألفا متناهية الصغر بحيث لا تُرى بالعين المجردة، لكن رذرفورد كان على دراية بتفريغ تاونسند ، وهو تأثير متسلسل ناتج عن التأين يؤدي إلى نبضة من التيار الكهربائي. بناءً على هذا المبدأ، صمّم رذرفورد وجايجر جهاز عدّ بسيطًا يتكون من قطبين كهربائيين داخل أنبوب زجاجي يحتوي على غاز منخفض الضغط. (انظر تجربة ١٩٠٨ ). كل جسيم ألفا يمر عبر الغاز يُولّد نبضة من التيار الكهربائي يمكن رصدها وعدّها. كان هذا الجهاز بمثابة النواة الأولى لعداد جايجر-مولر . ^{[ ٩ ] : ٢٦١}

أثبت العداد الذي بناه جايجر وراذرفورد عدم موثوقيته، إذ كانت جسيمات ألفا تنحرف بشدة نتيجة اصطدامها بجزيئات الهواء داخل حجرة الكشف. ونظرًا لاختلاف مسارات جسيمات ألفا بشكل كبير، لم تُنتج جميعها العدد نفسه من الأيونات أثناء مرورها عبر الغاز، مما أدى إلى قراءات غير منتظمة. أثار هذا الأمر حيرة راذرفورد، لأنه كان يعتقد أن جسيمات ألفا أثقل من أن تنحرف بهذه الشدة. طلب ​​راذرفورد من جايجر التحقق من مدى قدرة المادة على تشتيت أشعة ألفا. ^{[ 14 ]}

تضمنت التجارب التي صمموها قذف رقائق معدنية بحزمة من جسيمات ألفا لمراقبة كيفية تشتتها تبعًا لسمكها ونوع مادتها. استخدموا شاشة فسفورية لقياس مسارات الجسيمات. كل اصطدام لجسيم ألفا بالشاشة أنتج وميضًا ضوئيًا ضئيلًا. عمل جايجر في مختبر مظلم لساعات طويلة، يعدّ هذه الومضات الضئيلة باستخدام المجهر. ^{[ 15 ]} بالنسبة للرقائق المعدنية، اختبروا مجموعة متنوعة من المعادن، لكنهم فضلوا الذهب لأنه يمكنهم جعل الرقائق رقيقة جدًا، فالذهب هو أكثر المعادن قابلية للطرق. ^{[ 16 ] : 127} أما بالنسبة لمصدر جسيمات ألفا، فقد اختار رذرفورد الراديوم ، وهو أكثر إشعاعًا بآلاف المرات من اليورانيوم. ^{[ 17 ]}

في تجربة أجريت عام 1909، اكتشف جايجر ومارسدن أن الرقائق المعدنية قادرة على تشتيت بعض جسيمات ألفا في جميع الاتجاهات، وأحيانًا بزاوية تزيد عن 90 درجة. ^{[ 18 ] : 4} كان من المفترض أن يكون هذا مستحيلاً وفقًا لنموذج طومسون. ^{[ 18 ] : 4} وفقًا لنموذج طومسون، كان من المفترض أن تمر جميع جسيمات ألفا بشكل مستقيم.

في نموذج طومسون للذرة، تُعتبر كرة الشحنة الموجبة التي تملأ الذرة وتحيط بالإلكترونات نفاذة؛ فالإلكترونات قادرة على الحركة داخلها. لذا، يُفترض أن جسيم ألفا قادر على المرور عبر هذه الكرة إذا سمحت بذلك القوى الكهروستاتيكية الموجودة بداخلها. لم يدرس طومسون نفسه كيفية تشتت جسيم ألفا في مثل هذا التصادم مع الذرة، لكنه درس تشتت جسيم بيتا . ^{[ 9 ] : 277} وقد حسب أن جسيم بيتا سينحرف انحرافًا طفيفًا جدًا عند مروره عبر الذرة، ^{[ 19 ]} وحتى بعد مروره عبر العديد من الذرات المتتالية، يجب أن يظل الانحراف الكلي أقل من درجة واحدة. ^{[ 20 ]} عادةً ما تمتلك جسيمات ألفا زخمًا أكبر بكثير من جسيمات بيتا، وبالتالي يُفترض أن تنحرف انحرافًا طفيفًا للغاية أيضًا. ^{[ 21 ]}

أجبر التشتت الشديد الملحوظ رذرفورد على مراجعة نموذج الذرة. ^{[ 22 ] : 25} تمثلت المشكلة في نموذج طومسون في أن الشحنات كانت منتشرة للغاية بحيث لا تُنتج قوة كهروستاتيكية قوية بما يكفي لإحداث هذا التنافر. لذلك، كان لا بد من تركيزها بشكل أكبر. في نموذج رذرفورد الجديد، لا تملأ الشحنة الموجبة كامل حجم الذرة، بل تُشكل نواة صغيرة أصغر من الذرة ككل بما لا يقل عن 10000 مرة. تُنتج كل هذه الشحنة الموجبة المركزة في حجم أصغر بكثير مجالًا كهربائيًا أقوى بكثير بالقرب من سطحها. كما تحمل النواة معظم كتلة الذرة. هذا يعني أنها تستطيع صد جسيمات ألفا بزاوية تصل إلى 180 درجة اعتمادًا على مدى قربها من الذرة. تُحيط الإلكترونات بهذه النواة، منتشرة في جميع أنحاء حجم الذرة. نظرًا لأن شحنتها السالبة منتشرة وكتلتها الإجمالية منخفضة، فإن تأثيرها على جسيم ألفا ضئيل للغاية. ^{[ 23 ]}

للتحقق من صحة نموذجه، طوّر رذرفورد نموذجًا علميًا للتنبؤ بشدة جسيمات ألفا عند الزوايا المختلفة التي تتشتت بها عند خروجها من رقاقة الذهب، بافتراض أن جميع الشحنة الموجبة تتركز في مركز الذرة. وقد تم التحقق من صحة هذا النموذج في تجربة أُجريت عام 1913. وقد فسّر نموذجه نتائج تشتت جسيمات بيتا التي توصل إليها طومسون، ونتائج تشتت جسيمات ألفا التي توصل إليها جايجر ومارسدن. ^{[ 9 ] : 285}

لم تلقَ ورقة رذرفورد الشهيرة التي نُشرت عام ١٩١١ ردود فعل تُذكر في السنوات الأولى. ^{[ ١٢ ] : ١٩٢} تناولت الورقة بشكل أساسي تشتت جسيمات ألفا في حقبة سبقت أن أصبح تشتت الجسيمات أداةً رئيسيةً في الفيزياء. لم تكن تقنيات الاحتمالات التي استخدمها ومجموعة الملاحظات المُربكة التي تضمنها مقنعةً في البداية. ^{[ ٩ ] : ٣٠٤}

الفيزياء النووية

كان من بين التأثيرات الأولى تشجيع التركيز على تجارب التشتت. فعلى سبيل المثال، أظهرت النتائج الأولى من غرفة السحاب ، التي أجراها سي تي آر ويلسون ، تشتت جسيمات ألفا، والتي ظهرت أيضًا في عام 1911. ^{[ 24 ] [ 9 ] : 302.} وبمرور الوقت، أصبح تشتت الجسيمات جانبًا رئيسيًا من الفيزياء النظرية والتجريبية ؛ ^{[ 25 ] : 443.} ويهيمن مفهوم رذرفورد عن "المقطع العرضي" الآن على وصف فيزياء الجسيمات التجريبية. ^{[ 2 ] : 247.} ويشير المؤرخ سيلفان إس. شويبر إلى أن نهج رذرفورد مثّل التحول نحو النظر إلى جميع التفاعلات والقياسات في الفيزياء على أنها عمليات تشتت. ^{[ 26 ] : xiv.} وبعد أن أصبحت النواة - وهو مصطلح قدمه رذرفورد في عام 1912 ^{[ 12 ] : 192} - النموذج المقبول لنواة الذرات، أدى تحليل رذرفورد لتشتت جسيمات ألفا إلى إنشاء فرع جديد من الفيزياء، وهو الفيزياء النووية . ^{[ 12 ] : 223}

بدأت خطوات رذرفورد الأولى نحو اكتشاف طبيعة الذرة من خلال عمله على فهم جسيمات ألفا. ^{[ 22 ] : 17 [ 25 ] : 435.} في عام 1906، لاحظ رذرفورد أن جسيمات ألفا التي تمر عبر صفائح الميكا تنحرف بفعل هذه الصفائح بمقدار يصل إلى درجتين. وضع رذرفورد مصدرًا مشعًا في أنبوب مغلق ينتهي بشق ضيق، ثم لوحة فوتوغرافية . غُطي نصف الشق بطبقة رقيقة من الميكا. جرى تغيير المجال المغناطيسي المحيط بالأنبوب كل 10 دقائق لحجب تأثير أشعة بيتا، المعروفة بحساسيتها للمجالات المغناطيسية. ^{[ 23 ]} فُرّغ الأنبوب من الهواء بدرجات متفاوتة، وسُجلت سلسلة من الصور. عند أدنى ضغط، كانت صورة الشق المفتوح واضحة، بينما كانت صور الشق المغطى بالميكا أو الشق المفتوح عند ضغوط أعلى ضبابية. فسّر رذرفورد هذه النتائج بأنها ناتجة عن تشتت جسيمات ألفا ^{[ 9 ] : 260} في ورقة بحثية نُشرت عام 1906. ^{[ 35 ]} وكان قد أدرك بالفعل دلالات هذه الملاحظة على نماذج الذرات: "تُبرز هذه النتيجة بوضوح حقيقة أن ذرات المادة لا بد أن تكون مركزًا لقوى كهربائية شديدة للغاية". ^{[ 35 ] : 145 [ 22 ]}

في ورقة بحثية نشرها جايجر عام ١٩٠٨ بعنوان " حول تشتت جسيمات ألفا بواسطة المادة "، وصف التجربة التالية. صنع جايجر أنبوبًا زجاجيًا طويلًا، يبلغ طوله مترين تقريبًا. وُضع في أحد طرفي الأنبوب كمية من " إشعاع الراديوم " (R) كمصدر لجسيمات ألفا. ^{[ ٢٢ ] : ٢٠} غُطي الطرف الآخر من الأنبوب بشاشة فسفورية (Z). وفي منتصف الأنبوب  شق عرضه ٠٫٩ ملم. مرت جسيمات ألفا المنبعثة من R عبر الشق، مُحدثةً بقعة ضوئية متوهجة على الشاشة. استُخدم مجهر (M) لحساب الوميضات على الشاشة وقياس مدى انتشارها. قام جايجر بتفريغ الأنبوب من الهواء تمامًا لضمان مرور جسيمات ألفا بحرية، فتركت صورة واضحة ودقيقة على الشاشة تُطابق شكل الشق. ثم سمح جايجر بدخول بعض الهواء إلى الأنبوب، فأصبحت البقعة المتوهجة أكثر انتشارًا. ثم قام جايجر بتفريغ الهواء ووضع رقاقة أو اثنتين من الذهب فوق الشق عند AA. تسبب هذا أيضًا في انتشار بقعة الضوء على الشاشة بشكل أكبر، مع انتشار أوسع عند استخدام طبقتين. ^{[ 22 ] : 20} أثبتت هذه التجربة أن كلاً من الهواء والمادة الصلبة يمكنهما تشتيت جسيمات ألفا بشكل ملحوظ. ^{[ 36 ] [ 22 ] : 20}

كانت نتائج تجارب تشتت جسيمات ألفا الأولية مُربكة. فقد تباين الانتشار الزاوي للجسيم على الشاشة بشكل كبير تبعًا لشكل الجهاز وضغطه الداخلي. اقترح رذرفورد على إرنست مارسدن، وهو طالب فيزياء جامعي يدرس تحت إشراف جايجر، البحث عن جسيمات ألفا المنعكسة أو المُشتتة عكسيًا، على الرغم من أن ذلك لم يكن متوقعًا. حقق عاكس مارسدن الأولي نتائج، فساعده جايجر في إنشاء جهاز أكثر تطورًا. تمكنا من إثبات أن واحدًا من كل 8000 تصادم لجسيمات ألفا كان عبارة عن انعكاسات منتشرة. ^{[ 22 ] : 23} على الرغم من أن هذه النسبة كانت صغيرة، إلا أنها كانت أكبر بكثير مما يمكن أن يفسره نموذج طومسون للذرة. ^{[ 9 ] : 264}

في هذه التجارب، لوحظت جسيمات ألفا المنبعثة من مصدر مشع (A) وهي ترتد عن عاكس معدني (R) وعلى شاشة فلورية (S) على الجانب الآخر من لوحة رصاص (P).

نُشرت هذه النتائج في ورقة بحثية عام 1909 بعنوان " حول الانعكاس المنتشر لجسيمات ألفا" ^[ 37 ^{] ،} حيث وصف جايجر ومارسدن التجربة التي أثبتا من خلالها إمكانية تشتت جسيمات ألفا بزاوية تزيد عن 90 درجة. في تجربتهما، جهّزا أنبوبًا زجاجيًا مخروطيًا صغيرًا (AB) يحتوي على "انبعاث الراديوم" ( الرادون )، و"الراديوم A" (الراديوم الحقيقي)، و"الراديوم C" ( البزموت -214)؛ وسُدّ طرفه المفتوح بالميكا . كان هذا الأنبوب بمثابة باعث جسيمات ألفا. ثمّ وضعا صفيحة رصاص (P)، ووضعا خلفها شاشة فلورية (S). وُضع الأنبوب على الجانب المقابل للصفيحة، بحيث لا تستطيع جسيمات ألفا المنبعثة منه الاصطدام بالشاشة مباشرةً. لاحظا بعض الوميضات على الشاشة لأن بعض جسيمات ألفا تجاوزت الصفيحة بالارتداد عن جزيئات الهواء. بعد ذلك، وضعا رقاقة معدنية (R) بجانب صفيحة الرصاص. أجروا اختبارات باستخدام الرصاص والذهب والقصدير والألومنيوم والنحاس والفضة والحديد والبلاتين. ووجهوا الأنبوب نحو الرقاقة المعدنية لمعرفة ما إذا كانت جسيمات ألفا سترتد عنها وتصطدم بالشاشة على الجانب الآخر من الرقاقة، ولاحظوا زيادة في عدد الومضات على الشاشة. ومن خلال عدّ الومضات، لاحظوا أن المعادن ذات الكتلة الذرية الأعلى ، مثل الذهب، تعكس جسيمات ألفا أكثر من المعادن الأخف وزنًا مثل الألومنيوم. ^{[ 37 ] [ 22 ] : 20}

أراد جايجر ومارسدن تقدير العدد الإجمالي لجسيمات ألفا المنعكسة. لم يكن الإعداد السابق مناسبًا لهذا الغرض، إذ احتوى الأنبوب على عدة مواد مشعة (الراديوم ونواتج تحلله)، ما أدى إلى اختلاف مدى جسيمات ألفا المنبعثة، وصعوبة تحديد معدل انبعاثها. في هذه التجربة، وضعا كمية صغيرة من راديوم-14 (بزموت-214) على صفيحة الرصاص، فارتدت من عاكس بلاتيني (R) إلى الشاشة. وخلصا إلى أن جسيم ألفا واحدًا من كل 8000 جسيم اصطدم بالعاكس ارتد إلى الشاشة. ^{[ 37 ]} وبقياس الانعكاس من رقائق رقيقة، أثبتا أن هذا التأثير ناتج عن تأثير حجمي وليس سطحي. ^{[ 23 ]} بالمقارنة مع العدد الهائل من جسيمات ألفا التي تمر دون عائق عبر رقاقة معدنية، كان هذا العدد القليل من الانعكاسات ذات الزاوية الكبيرة نتيجة غريبة ^{[ 2 ] : 240} مما يعني أن قوى كبيرة جدًا كانت متضمنة. ^{[ 23 ]}

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩١٠ ^{[ ٣٨ ]} بقلم جايجر، بعنوان " تشتت جسيمات ألفا بواسطة المادة "، وصف تجربة لقياس كيفية تغير الزاوية الأكثر احتمالاً لانحراف جسيم ألفا بتغير المادة التي يمر عبرها، وسُمك المادة، وسرعة جسيمات ألفا. وقد صنع جايجر أنبوبًا زجاجيًا محكم الإغلاق يُسحب منه الهواء. في أحد طرفيه، وُضعت بصلة (B) تحتوي على "إشعاع الراديوم" ( رادون -٢٢٢). وباستخدام الزئبق، تم ضخ الرادون الموجود في البصلة (B) عبر الأنبوب الزجاجي الضيق الذي سُدّ طرفه (A) بالميكا . وفي الطرف الآخر من الأنبوب، وُضعت شاشة من كبريتيد الزنك الفلوري (S). كان المجهر الذي استخدمه لعدّ الومضات على الشاشة مُثبّتًا على مسطرة عمودية بالمليمتر مزودة بفرجار، مما مكّن جايجر من قياس مواقع ظهور ومضات الضوء على الشاشة بدقة، وبالتالي حساب زوايا انحراف الجسيمات. تم تضييق حزمة جسيمات ألفا المنبعثة من النقطة A بواسطة ثقب دائري صغير عند النقطة D. وضع جايجر صفيحة معدنية في مسار الأشعة عند النقطتين D وE لمراقبة كيفية تغير منطقة الومضات. اختبر الذهب والقصدير والفضة والنحاس والألومنيوم. كما استطاع تغيير سرعة جسيمات ألفا بوضع صفائح إضافية من الميكا أو الألومنيوم عند النقطة A. ^{[ 38 ]}

من خلال القياسات التي أجراها، توصل جايجر إلى الاستنتاجات التالية: ^{[ 18 ] : 5}

• تزداد زاوية الانحراف الأكثر احتمالاً مع زيادة سمك المادة
• إن زاوية الانحراف الأكثر احتمالاً تتناسب طردياً مع الكتلة الذرية للمادة
• تتناقص زاوية الانحراف الأكثر احتمالاً مع سرعة جسيمات ألفا

بالنظر إلى نتائج هذه التجارب، نشر رذرفورد بحثًا رائدًا عام 1911 بعنوان "تشتت جسيمات ألفا وبيتا بواسطة المادة وبنية الذرة"، حيث بيّن أن التشتت الأحادي الناتج عن شحنة كهربائية صغيرة جدًا وكثيفة يتنبأ في المقام الأول بتشتت بزاوية صغيرة مع كميات صغيرة ولكن قابلة للقياس من التشتت العكسي. ^{[ 2 ] : 252 [ 1 ]} ولأغراض حساباته الرياضية، افترض أن هذه الشحنة المركزية موجبة، لكنه أقرّ بأنه لا يستطيع إثبات ذلك وأنه كان عليه انتظار تجارب أخرى لتطوير نظريته. ^{[ 1 ] : 688}

وضع رذرفورد معادلة رياضية تُحاكي كيفية تشتيت جسيمات ألفا بواسطة الرقاقة المعدنية إذا تركزت كل الشحنة الموجبة ومعظم الكتلة الذرية في نقطة واحدة في مركز الذرة. ومن بيانات التشتت، قدّر رذرفورد الشحنة المركزية q _{_n} بحوالي +100 وحدة. ^{[ 39 ]}

لم تتناول ورقة رذرفورد أي ترتيب إلكتروني يتجاوز مناقشات التشتت من نموذج طومسون "بودنغ البرقوق" ونموذج ناغاوكا "الزحل". ^{[ 9 ] : 303} وقد بيّن أن نتائج التشتت التي تنبأ بها نموذج طومسون تُفسَّر أيضًا بالتشتت الأحادي، لكن نموذج طومسون لا يُفسِّر التشتت بزاوية كبيرة. وذكر أن نموذج ناغاوكا، الذي يتميز بشحنة مضغوطة، يتوافق مع بيانات التشتت. إلا أن نموذج "الزحل" كان قد رُفض سابقًا لأسباب أخرى. ولم يقترح رذرفورد في ورقته البحثية عام 1911 ما يُسمى بنموذج رذرفورد للذرة ذات الإلكترونات المدارية. ^{[ 9 ] : 304}

في ورقة بحثية نُشرت عام 1913 بعنوان " قوانين انحراف جسيمات ألفا عبر الزوايا الكبيرة" ، ^{[ 40 ]} وصف جايجر ومارسدن سلسلة من التجارب التي سعيا من خلالها إلى التحقق تجريبيًا من معادلة رذرفورد. تنبأت معادلة رذرفورد بأن عدد الومضات في الدقيقة الواحدة التي ستُلاحظ عند زاوية معينة Φ يجب أن يتناسب مع: ^{[ 18 ] : 11}

1. cosec ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠
2. سمك الرقاقة t
3. مقدار مربع الشحنة المركزية Q _n
4. 1 / ( mv ² ) ²​​

تصف ورقتهم البحثية المنشورة عام 1913 أربع تجارب أثبتوا من خلالها كل علاقة من هذه العلاقات الأربع. ^{[ 25 ] : 438}

صُمم هذا الجهاز لقياس نمط تشتت جسيمات ألفا بدقة، والناتجة عن رقاقة معدنية (F). تم تثبيت المجهر (M) والشاشة (S) على أسطوانة دوارة، وكان بالإمكان تحريكهما في دائرة كاملة حول الرقاقة. ^{[ 40 ]}

لاختبار كيفية تغير التشتت مع زاوية الانحراف (أي إذا كان s ∝ csc ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠ )، قام جايجر ومارسدن ببناء جهاز يتكون من أسطوانة معدنية مجوفة مثبتة على قرص دوار. داخل الأسطوانة، وُضعت رقاقة معدنية (F) ومصدر إشعاع يحتوي على غاز الرادون (R)، مثبت على عمود منفصل (T) يسمح للأسطوانة بالدوران بشكل مستقل. كان العمود أيضًا أنبوبًا يُضخ الهواء من خلاله خارج الأسطوانة. اخترق مجهر (M)، عدسته الشيئية مغطاة بشاشة من كبريتيد الزنك الفلوري (S)، جدار الأسطوانة ووجهه نحو الرقاقة المعدنية. أجريا الاختبار باستخدام رقائق من الفضة والذهب. بتدوير القرص، أمكن تحريك المجهر دورة كاملة حول الرقاقة، مما سمح لجايجر بمراقبة وحساب جسيمات ألفا المنحرفة بزاوية تصل إلى 150 درجة. بعد تصحيح الخطأ التجريبي، وجد جايجر ومارسدن أن عدد جسيمات ألفا التي تنحرف بزاوية معينة Φ يتناسب بالفعل مع csc ⁴ ⁠ Φ / 2 ⁠ . ^{[ 40 ]}

استُخدم هذا الجهاز لقياس كيفية تغير نمط التشتت تبعًا لسمك الرقاقة، والوزن الذري للمادة، وسرعة جسيمات ألفا. يحتوي القرص الدوار في المركز على ستة ثقوب يمكن تغطيتها برقاقة. ^{[ 40 ]}

ثم اختبر جايجر ومارسدن كيفية تغير التشتت بتغير سمك الرقاقة المعدنية (أي إذا كان s ∝ t ). صنعا قرصًا (S) بستة ثقوب. غُطيت الثقوب برقاقة معدنية (F) ذات سماكات مختلفة، أو تُركت بدون رقاقة للتحكم. ثم وُضع هذا القرص داخل حلقة نحاسية (A) بين لوحين زجاجيين (B وC). كان بالإمكان تدوير القرص بواسطة قضيب (P) لوضع كل نافذة أمام مصدر جسيمات ألفا (R). وُضعت على اللوح الزجاجي الخلفي شاشة من كبريتيد الزنك (Z). وجد جايجر ومارسدن أن عدد الومضات التي ظهرت على الشاشة كان متناسبًا مع سمكها، طالما كان السمك صغيرًا. ^{[ 40 ]}

أعاد جايجر ومارسدن استخدام الجهاز لقياس كيفية تغير نمط التشتت مع مربع الشحنة النووية (أي إذا كان s ∝ Q _n ² ). لم يكن جايجر ومارسدن يعرفان الشحنة الموجبة لنواة المعادن التي استخدموها (إذ كانا قد اكتشفا وجود النواة حديثًا)، لكنهما افترضا أنها تتناسب مع الوزن الذري، لذا اختبرا ما إذا كان التشتت يتناسب مع مربع الوزن الذري. غطى جايجر ومارسدن ثقوب القرص برقائق من الذهب والقصدير والفضة والنحاس والألومنيوم. وقاسوا قدرة إيقاف كل رقاقة بمساواتها بسماكة مكافئة من الهواء. ثم أحصيا عدد الومضات في الدقيقة التي أنتجتها كل رقاقة على الشاشة. وقسما عدد الومضات في الدقيقة على مكافئ الهواء للرقاقة المعنية، ثم قسما الناتج مرة أخرى على الجذر التربيعي للوزن الذري (كان جايجر ومارسدن يعلمان أنه بالنسبة للرقائق ذات قدرة الإيقاف المتساوية، فإن عدد الذرات في وحدة المساحة يتناسب مع الجذر التربيعي للوزن الذري). وهكذا، قام جايجر ومارسدن، لكل معدن، بحساب عدد الومضات التي ينتجها عدد ثابت من الذرات. ثم قسما هذا العدد على مربع الوزن الذري لكل معدن، ووجدا ^أن النسب متقاربة. وبذلك أثبتا أن s ∝ Q _n ^{2. [ 40} ]

أخيرًا، اختبر جايجر ومارسدن كيفية تغير التشتت مع سرعة جسيمات ألفا (أي إذا كان ^s ∝ 1 / v⁴ ) . باستخدام الجهاز نفسه، أبطأوا جسيمات ألفا بوضع طبقات إضافية من الميكا أمام مصدر جسيمات ألفا. ووجدوا أنه، ضمن هامش الخطأ التجريبي، كان عدد الومضات ^{متناسبًا} بالفعل ^مع 1 / v⁴ . ^{[ 40} ]

في بحثه المنشور عام 1911 ( انظر أعلاه )، افترض رذرفورد أن الشحنة المركزية للذرة موجبة، لكن الشحنة السالبة كانت ستتوافق مع نموذج التشتت الخاص به بنفس القدر. ^{[ 41 ]} وفي بحث آخر نُشر عام 1913، أعلن رذرفورد أن "النواة" (كما أطلق عليها آنذاك) كانت بالفعل مشحونة بشحنة موجبة، استنادًا إلى نتائج تجارب استكشفت تشتت جسيمات ألفا في غازات مختلفة. ^{[ 42 ]}

في عام ١٩١٧، بدأ رذرفورد ومساعده ويليام كاي باستكشاف مرور جسيمات ألفا عبر غازات مثل الهيدروجين والنيتروجين. في هذه التجربة، أطلقوا حزمة من جسيمات ألفا عبر الهيدروجين، ووضعوا كاشفهم بعناية - وهو عبارة عن شاشة من كبريتيد الزنك - خارج نطاق جسيمات ألفا مباشرةً، والتي امتصها الغاز. ومع ذلك، التقطوا جسيمات مشحونة من نوع ما تسببت في وميض على الشاشة. فسر رذرفورد ذلك على أنه دفع جسيمات ألفا لنوى الهيدروجين إلى الأمام في اتجاه الحزمة، وليس إلى الخلف. ^{[ ٤١ ]}

يبدأ رذرفورد تحليله بدراسة تصادم مباشر بين جسيم ألفا والذرة. سيحدد هذا التصادم أقصر مسافة بينهما، وهي قيمة سيستخدمها في جميع حساباته. ^{[ 1 ] : 670}

بافتراض عدم وجود قوى خارجية وأن جسيمات ألفا بعيدة عن النواة في البداية، فإن قانون التربيع العكسي بين شحنات جسيم ألفا والنواة يعطي طاقة الوضع التي يكتسبها الجسيم أثناء اقترابه من النواة. في حالة التصادمات المباشرة بين جسيمات ألفا والنواة، تتحول كل الطاقة الحركية لجسيم ألفا إلى طاقة وضع ، ويتوقف الجسيم ثم يعود أدراجه. ^{[ 18 ] : 5}

حيث تتوقف الجسيمات على مسافة معينة${\displaystyle r_{\text{min}}}$من المركز، تتطابق طاقة الوضع مع طاقة الحركة الأصلية: ^{[ 43 ] : 620 [ 44 ] : 320}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=k{\frac {q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{min}}}}}$$

أين

$${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$

إعادة الترتيب: ^{[ 1 ] : 671}$${\displaystyle r_{\text{min}}=k{\frac {2q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}}}}$$

بالنسبة لجزيء ألفا:

• م (الكتلة) =6.644 24 × 10 ⁻²⁷  كجم =3.7273 × 10⁹ ^{إلكترون فولت}  / ثانية²
• q _a (للجسيم ألفا) = 2 ×1.6 × 10 ⁻¹⁹  كولوم =3.2 × 10 ⁻¹⁹  درجة مئوية
• q _غرام (للذهب) = 79 ×1.6 × 10 ⁻¹⁹  كولوم =1.27 × 10 ⁻¹⁷  درجة مئوية
• v (السرعة الابتدائية) =2 × 10 ⁷  م/ث (لهذا المثال)

المسافة من جسيم ألفا إلى مركز النواة ( r _min ) عند هذه النقطة هي الحد الأعلى لنصف قطر النواة. وبالتعويض بهذه القيم، نحصل على قيمة تقريبية تبلغ r min.2.7 × 10 ⁻¹⁴  م ، أو 27 فيمتومتر . (نصف القطر الحقيقي حوالي 7.3 فيمتومتر). لا يتم استعادة نصف القطر الحقيقي للنواة في هذه التجارب لأن جسيمات ألفا لا تمتلك طاقة كافية لاختراق أكثر من 27 فيمتومتر من مركز النواة، كما هو مذكور، عندما يكون نصف قطر نواة ذرة الذهب 7.3 فيمتومتر.    

بدأت ورقة رذرفورد لعام 1911 ^{[ 1 ]} بصيغة مختلفة قليلاً مناسبة للتصادم المباشر مع كرة ذات شحنة موجبة:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=NeE\cdot \left({\frac {1}{b}}-{\frac {3}{2R}}+{\frac {b^{2}}{2R^{3}}}\right)}$$

في تدوين رذرفورد، e هي الشحنة الأولية ، وN هو عدد شحنة النواة (المعروف الآن أيضًا بالعدد الذري )، و E هي شحنة جسيم ألفا. كان المتعارف عليه في زمن رذرفورد قياس الشحنة بوحدات كهروستاتيكية ، والمسافة بالسنتيمترات، والقوة بالداين ، والطاقة بالإرج . أما المتعارف عليه اليوم فهو قياس الشحنة بالكولوم ، والمسافة بالأمتار، والقوة بالنيوتن، والطاقة بالجول . يتطلب استخدام الكولوم استخدام ثابت كولوم ( k ) في المعادلة. استخدم رذرفورد b كمسافة نقطة التحول (المسماة r _min أعلاه)، و R هو نصف قطر الذرة. الحد الأول هو تنافر كولوم المستخدم أعلاه. يفترض هذا الشكل أن جسيم ألفا قادر على اختراق الشحنة الموجبة. في وقت نشر ورقة رذرفورد، اقترح نموذج طومسون، المعروف باسم "بودنغ البرقوق"، شحنة موجبة بنصف قطر ذرة، أي أكبر بآلاف المرات من r _min المذكور أعلاه. يوضح الشكل 1 مدى تركيز هذا الجهد مقارنةً بحجم الذرة. وقد تم التعبير عن العديد من نتائج رذرفورد بدلالة مسافة نقطة التحول هذه (r _min) ، مما يبسط النتائج ويقلل الحاجة إلى وحدات لحساب نقطة التحول.

من خلال نتائجه المتعلقة بالتصادم المباشر، يعلم رذرفورد أن تشتت جسيمات ألفا يحدث بالقرب من مركز الذرة، عند نصف قطر أصغر بعشرة آلاف مرة من نصف قطر الذرة. ويكون تأثير الإلكترونات ضئيلاً. يبدأ رذرفورد بافتراض عدم وجود فقد في الطاقة أثناء التصادم، أي أنه يتجاهل ارتداد الذرة المستهدفة. وسيعود إلى كل هذه المسائل لاحقًا في بحثه. ^{[ 1 ] : 672} في ظل هذه الظروف، يتفاعل جسيم ألفا والذرة من خلال قوة مركزية ، وهي مسألة فيزيائية درسها إسحاق نيوتن لأول مرة . ^{[ 45 ]} تعمل القوة المركزية فقط على طول خط بين الجسيمات، وعندما تتناسب القوة عكسيًا مع مربع المسافة، كما هو الحال مع قوة كولوم في هذه الحالة، تم تطوير نظرية مفصلة تحت اسم مسألة كبلر . ^{[ 46 ] : 76} تُسمى الحلول المعروفة لمسألة كبلر بالمدارات ، والمدارات غير المقيدة هي القطوع الزائدة . وهكذا اقترح رذرفورد أن جسيم ألفا سيتخذ مسارًا زائديًا في قوة التنافر بالقرب من مركز الذرة كما هو موضح في الشكل 2.

لتطبيق حلول المسار الزائدي على مسألة جسيم ألفا، يعبّر رذرفورد عن معلمات القطع الزائد بدلالة هندسة التشتت والطاقات. ويبدأ بقانون حفظ الزخم الزاوي . عندما يتحرك جسيم كتلته${\displaystyle m}$والسرعة الابتدائية${\displaystyle v_{0}}$إذا كان الجسم بعيدًا عن الذرة، فإن زخمه الزاوي حول مركز الذرة سيكون${\displaystyle mbv_{0}}$أين${\displaystyle b}$يمثل معامل التصادم ، وهو المسافة الجانبية بين مسار جسيم ألفا والذرة. عند نقطة أقرب اقتراب، المشار إليها بالحرف A في الشكل 2، سيكون الزخم الزاوي${\displaystyle mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$لذلك ^{[ 9 ] : 270}

$${\displaystyle mbv_{0}=mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$$

$${\displaystyle v_{\text{A}}={\frac {bv_{0}}{r_{\text{A}}}}}$$

كما يطبق رذرفورد قانون حفظ الطاقة بين النقطتين نفسيهما:

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{A}}^{2}+{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{A}}}}}$$

يمثل الطرف الأيسر والحد الأول في الطرف الأيمن طاقات الحركة للجسيم عند النقطتين؛ أما الحد الأخير فيمثل طاقة الوضع الناتجة عن قوة كولوم بين جسيم ألفا والذرة عند نقطة أقرب اقتراب (A). q _{_a} هي شحنة جسيم ألفا، و q_{_g} هي شحنة النواة، و k هو ثابت كولوم . ^{[ 47 ]}

ويمكن إعادة ترتيب معادلة الطاقة على النحو التالي:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}r_{\text{A}}}}\right)}$$

لتبسيط الأمر، يمكن تضمين المتغيرات الفيزيائية غير الهندسية في هذه المعادلة ^{[ 1 ] : 674 في متغير واحد.}${\displaystyle r_{\text{min}}}$، وهي نقطة أقرب اقتراب في سيناريو التصادم الأمامي ^{[ 1 ] : 671} والتي تم استكشافها في قسم سابق من هذه المقالة:

$${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}}}}$$

وهذا يسمح لروذرفورد بتبسيط معادلة الطاقة إلى:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

وهذا يترك معادلتين آنيتين لـ${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}}$الأولى مشتقة من معادلة حفظ الزخم، والثانية من معادلة حفظ الطاقة. وبحذف${\displaystyle v_{\text{A}}}$و${\displaystyle v_{0}}$يقدم صيغة جديدة لـ${\displaystyle r_{\text{min}}}$:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}={\frac {b^{2}v_{0}^{2}}{r_{\text{A}}^{2}}}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}}$$

الخطوة التالية هي إيجاد صيغة لـ${\displaystyle r_{\text{A}}}$من الشكل 2،${\displaystyle r_{\text{A}}}$هي مجموع مسافتين مرتبطتين بالقطع الزائد، وهما SO و OA. وباستخدام المنطق التالي، يمكن التعبير عن هاتين المسافتين بدلالة الزاوية.${\displaystyle \Phi }$ومعامل التأثير${\displaystyle b}$.

الانحراف المركزي للقطع الزائد هو قيمة تصف شكل القطع الزائد. ويمكن حسابه بقسمة البعد البؤري على طول نصف المحور الأكبر، والذي يساوي SO/OA كما هو موضح في الشكل 2. وكما هو مبين في الشكل 3، فإن الانحراف المركزي يساوي أيضًا${\displaystyle \sec \Phi }$، أين${\displaystyle \Phi }$هي الزاوية بين المحور الأكبر والخط المقارب. ^{[ 48 ] : 219} لذلك:

$${\displaystyle {\frac {\text{SO}}{\text{OA}}}=\sec \Phi }$$

كما يمكن استنتاجه من الشكل 2، فإن المسافة البؤرية SO هي

$${\displaystyle {\text{SO}}=b\cdot \csc \Phi }$$

وبالتالي

$${\displaystyle {\text{OA}}={\frac {\text{SO}}{\sec \Phi }}=b\cdot \cot \Phi }$$

باستخدام هذه الصيغ لـ SO و OA، المسافة${\displaystyle r_{\text{A}}}$يمكن كتابتها بدلالة${\displaystyle \Phi }$وتم تبسيطها باستخدام متطابقة مثلثية تُعرف باسم صيغة نصف الزاوية : ^{[ 39 ] : 673}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{A}}&={\text{SO}}+{\text{OA}}\\\\&=b\cdot \csc \Phi +b\cdot \cot \Phi \\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}\end{aligned}}}$$

بتطبيق متطابقة مثلثية تُعرف باسم صيغة ظل الزاوية المزدوجة والمعادلة السابقة لـ${\displaystyle r_{\text{A}}}$يُعطي علاقة أبسط بين المتغيرات الفيزيائية والهندسية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}\\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}-{\frac {b^{2}}{b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\\\&=b{\frac {\cot ^{2}{\frac {\Phi }{2}}-1}{\cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \cot \Phi \end{aligned}}}$$

زاوية تشتت الجسيم هي${\displaystyle \theta =\pi -2\Phi }$وبالتالي${\displaystyle \Phi ={\tfrac {\pi -\theta }{2}}}$باستخدام متطابقة مثلثية تُعرف بصيغة الانعكاس ، يمكن تحديد العلاقة بين θ و b على النحو التالي: ^{[ 1 ] : 673}

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=2b\cdot \cot {\frac {\pi -\theta }{2}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}\\[1ex]\\\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {2b}{r_{\text{min}}}}\end{aligned}}}$$

والتي يمكن إعادة ترتيبها لإعطاء

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {r_{\text{min}}}{2b}}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv_{0}^{2}b}}}$$

يقدم رذرفورد بعض القيم التوضيحية كما هو موضح في هذا الجدول: ^{[ 1 ] : 673}

جدول زاوية انحراف رذرفورد

${\displaystyle {\tfrac {b}{r_{\text{min}}}}}$	10	5	2	1	0.5	0.25	0.125
${\displaystyle \theta }$	5.7 درجة	11.4 درجة	28 درجة	53 درجة	90 درجة	127 درجة	152 درجة

لا يزال نهج رذرفورد في معالجة مشكلة التشتت هذه معالجة قياسية في الكتب المدرسية ^{[ 49 ] : 151 [ 50 ] : 240 [ 51 ] : 400} في الميكانيكا الكلاسيكية .

للمقارنة مع التجارب، يجب تحويل العلاقة بين معامل التصادم وزاوية التشتت إلى علاقة احتمالية بالزاوية. يعطي مقطع التشتت شدة الإشعاع النسبية حسب الزوايا: ^{[ 46 ] : 81}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega ={\frac {{\text{number of particles scattered into solid angle }}\mathrm {d} \Omega {\text{ per unit time}}}{\text{incident intensity}}}}$$

في الميكانيكا الكلاسيكية، زاوية التشتت${\displaystyle \theta }$يتم تحديد الطاقة الحركية الأولية للجسيمات الواردة ومعامل التصادم b بشكل فريد . ^{[ 46 ] : 82} وبالتالي، فإن عدد الجسيمات المتناثرة في زاوية بين${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$يجب أن يكون مساوياً لعدد الجسيمات ذات معاملات التصادم المرتبطة بها بين b و b + db . بالنسبة لشدة سقوط I ، فإن هذا يعني ما يلي:

$${\displaystyle 2\pi Ib\cdot \left|\mathrm {d} b\right|=-2\pi \cdot \sigma (\theta )\cdot I\cdot \sin(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta }$$

وبالتالي، يعتمد المقطع العرضي على زاوية التشتت كما يلي:

$${\displaystyle \sigma (\theta )=-{\frac {b}{\sin \theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$$

باستخدام معامل التصادم كدالة للزاوية، b ( θ ) ، من نتيجة التشتت الفردي أعلاه، نحصل على مقطع التشتت لروذرفورد: ^{[ 46 ] : 84}

$${\displaystyle \sigma (\Theta )={\frac {\csc ^{4}{\frac {\Theta }{2}}}{4}}\cdot {\left({\frac {2q_{\text{n}}q_{\text{a}}}{mv^{2}}}\right)}^{2}}$$

• ${\displaystyle \sigma (\theta )}$= العدد النسبي لجسيمات ألفا المتناثرة بزاوية الانحراف${\displaystyle \theta }$
• q _n = الشحنة الموجبة لنواة الذرة
• q _a = الشحنة الموجبة لجسيمات ألفا
• m = كتلة جسيم ألفا
• v = سرعة جسيم ألفا

تنبأت هذه الصيغة بالنتائج التي قاسها جايجر في العام التالي. يتجاوز احتمال التشتت بزوايا صغيرة احتمال التشتت بزوايا أكبر بكثير، مما يعكس صغر حجم النواة المحاطة بالفضاء. مع ذلك، في حالات الاقتراب النادرة، يحدث تشتت بزوايا كبيرة مع هدف واحد فقط. ^{[ 52 ] : 19}

في نهاية تطويره لصيغة المقطع العرضي، يؤكد رذرفورد أن النتائج تنطبق على التشتت الأحادي، وبالتالي تتطلب قياسات باستخدام رقائق رقيقة. بالنسبة للرقائق الرقيقة، تتناسب درجة التشتت طرديًا مع سمك الرقاقة، بما يتوافق مع قياسات جايجر. ^{[ 1 ]}

في عام 1910، قدّم طومسون نموذجًا لتشتت جسيمات بيتا ^{[ 19 ]} ، تنبأ فيه بأنه في نموذج حلوى البرقوق، يمكن أن يتشتت جسيم بيتا بزاوية كبيرة بعد سلسلة من التصادمات الذرية. أما نموذج رذرفورد، فقد أنتج تشتتًا أقوى من خلال تركيز الشحنة الموجبة للذرة في نقطة مركزية بدلًا من توزيعها على حجم الذرة. وبالتالي، فإن التصادم مع ذرة واحدة فقط يمكن أن يُحدث تأثيرًا أكبر على جسيم بيتا مقارنةً بنموذج طومسون. أكمل رذرفورد تحليله، بما في ذلك تأثيرات الكثافة وسُمك الرقاقة، ثم خلص إلى أن الرقائق الرقيقة تخضع لتشتت التصادم الأحادي، وليس تشتت التصادم المتعدد. ^{[ 9 ] : 298}

لكن نموذج تشتت طومسون لم يستطع تفسير التشتت الكبير عند التعامل مع جسيمات ألفا ، التي تمتلك زخمًا أكبر بكثير من جسيمات بيتا . حتى مع التصادمات المتعددة، فإن احتمال انحراف جسيم ألفا بأي مقدار قابل للقياس ضئيل للغاية لدرجة أنه لا معنى له.

افترض تحليل رذرفورد أن مسارات جسيمات ألفا تنعطف عند مركز الذرة، لكن سرعة خروجها لا تنخفض. ^{[ 2 ] : 253} وهذا يُعادل افتراض أن الشحنة المركزة في المركز لها كتلة لانهائية أو أنها ثابتة في مكانها. يناقش رذرفورد حدود هذا الافتراض بمقارنة التشتت من ذرات أخف وزنًا كالألومنيوم مع ذرات أثقل وزنًا كالذهب. فإذا كانت الشحنة المركزة أخف وزنًا، فإنها سترتد من التفاعل، مكتسبةً زخمًا، بينما يفقد جسيم ألفا زخمه، وبالتالي يتباطأ. ^{[ 39 ] : 676}

تُحلل المعالجات الحديثة هذا النوع من تشتت كولوم في إطار مرجعي لمركز الكتلة . تُحوّل الإحداثيات الست للجسيمين (المسميين أيضًا "الجسمين") إلى ثلاث إحداثيات نسبية بينهما، وثلاث إحداثيات لمركز الكتلة تتحرك في الفضاء (يُسمى إطار المختبر). يحدث التفاعل فقط في الإحداثيات النسبية، مما يُعطي مسألة جسم واحد مكافئة ^{[ 46 ] : 58،} تمامًا كما حلّها رذرفورد، ولكن بتفسيرات مختلفة للكتلة وزاوية التشتت.

بدلاً من كتلة جسيم ألفا، تستخدم الصيغة الأكثر دقة التي تتضمن الارتداد الكتلة المختزلة : ^{[ 46 ] : 80}

$${\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

بالنسبة لتشتت جسيمات ألفا من الذهب وفقًا لروثرفورد، والتي تبلغ كتلتها 197، فإن الكتلة المختزلة قريبة جدًا من كتلة جسيم ألفا:

$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 197}{4+197}}=3.92\approx 4}$$

بالنسبة للألمنيوم الأخف وزناً، بكتلة 27، يكون التأثير أكبر:

$${\displaystyle \mu _{\text{Al}}={\cfrac {4\times 27}{4+27}}=3.48}$$

فرق في الكتلة بنسبة 13%. لاحظ رذرفورد هذا الفرق واقترح إجراء تجارب باستخدام ذرات أخف وزنًا. ^{[ 1 ] : 677}

التأثير الثاني هو تغيير في زاوية التشتت. يجب تحويل الزاوية في نظام الإحداثيات النسبي أو إطار مركز الكتلة إلى زاوية في إطار المختبر. ^{[ 46 ] : 85} في إطار المختبر، المشار إليه بالرمز السفلي L، تكون زاوية التشتت لجهد مركزي عام هي

$${\displaystyle \tan \Theta _{\text{L}}={\frac {\sin \Theta }{\cos \Theta +{\frac {m_{1}}{m_{2}}}}}}$$

بالنسبة لجزيء ثقيل مثل الذهب الذي استخدمه رذرفورد، فإن العامل${\displaystyle {\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}={\tfrac {4}{197}}\approx 0.02}$يمكن إهمالها عند جميع الزوايا تقريبًا. عندئذٍ تكون الزوايا المقلوبة والنسبية متساوية.${\displaystyle \Theta _{\text{L}}\approx \Theta }$.

يؤدي تغير زاوية التشتت إلى تغيير صيغة المقطع العرضي التفاضلي اللازمة للمقارنة مع التجربة. وبشكل عام، تُعدّ الحسابات معقدة. أما في حالة تشتت جسيمات ألفا من ذرات الذهب، فإن هذا التأثير على المقطع العرضي يكون ضئيلاً للغاية. ^{[ 46 ] : 88}

في عام 1919، حلل رذرفورد تشتت جسيمات ألفا من ذرات الهيدروجين، ^{[ 53 ]} موضحًا حدود صيغة عام 1911 حتى مع تصحيحات الكتلة المختزلة. ^{[ 54 ] : 191} أدت مشكلات مماثلة مع انحرافات أصغر للهيليوم والمغنيسيوم والألومنيوم ^{[ 55 ]} إلى استنتاج مفاده أن جسيم ألفا كان يخترق النواة في هذه الحالات. سمح هذا بأولى التقديرات لحجم النوى الذرية. ^{[ 2 ] : 255} وفرت تجارب لاحقة، استنادًا إلى تسريع جسيمات ألفا بواسطة السيكلوترون عند اصطدامها بنوى أثقل، بيانات لتحليل التفاعل بين جسيم ألفا وسطح النواة. مع ذلك، عند الطاقات التي تدفع جسيمات ألفا إلى أعماق أكبر، تمتصها النوى بقوة، وهو تفاعل أكثر تعقيدًا. ^{[ 54 ] : 228 [ 25 ] : 441}

يبدو أن معالجة رذرفورد لتشتت جسيمات ألفا تعتمد على الميكانيكا الكلاسيكية، مع أن الجسيمات ذات أبعاد دون ذرية. ومع ذلك، فإن الجوانب الحاسمة للنظرية تعتمد في نهاية المطاف على حفظ الزخم والطاقة. تنطبق هذه المفاهيم بالتساوي في الأنظمة الكلاسيكية والكمية: فأفكار التشتت التي طورها رذرفورد تنطبق على مسائل التشتت المرن دون الذري، مثل تشتت النيوترون-البروتون. ^{[ 46 ] : 89}

لنفترض جسيم ألفا يمر بجوار كرة ذات شحنة موجبة خالصة (بدون إلكترونات) نصف قطرها R. الكرة أثقل بكثير من جسيم ألفا لدرجة أننا لا نأخذ الارتداد في الحسبان. موضعها ثابت. يمر جسيم ألفا على مسافة قريبة جدًا بحيث يلامس حافة الكرة، حيث يكون المجال الكهربائي للكرة في أقوى حالاته.

قدم قسم سابق من هذه المقالة معادلة توضح كيفية انحراف جسيم مشحون قادم بواسطة جسيم مشحون آخر في موضع ثابت (أي كتلة لا نهائية).

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

يمكن استخدام هذه المعادلة لحساب زاوية الانحراف في الحالة الخاصة الموضحة في الشكل 4، وذلك بجعل قيمة معامل التصادم b مساوية لنصف قطر الكرة R. وطالما أن جسيم ألفا لا يخترق الكرة، فلا يوجد فرق بين كرة مشحونة وشحنة نقطية، وهي نتيجة رياضية تُعرف بنظرية شيل .

• q _g = الشحنة الموجبة لذرة الذهب =79 q _e  =1.26 × 10 ⁻¹⁷  درجة مئوية
• q _a = شحنة جسيم ألفا =2 q _e  =3.20 × 10 ⁻¹⁹  درجة مئوية
• R = نصف قطر ذرة الذهب =1.44 × 10 ⁻¹⁰  م
• v = سرعة جسيم ألفا =1.53 × 10 ⁷  م/ث
• m = كتلة جسيم ألفا =6.64 × 10 ⁻²⁷  كجم
• k = ثابت كولوم =8.987 × 10 ⁹  نيوتن.متر مربع ^/ كولوم ^مربع

$${\displaystyle \theta _{2}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.02{\text{ degrees}}}$$

يُظهر هذا أن أكبر انحراف ممكن سيكون ضئيلاً للغاية، لدرجة أن مسار جسيم ألفا المار عبر الكرة الموجبة لذرة الذهب يكاد يكون خطًا مستقيمًا. لذلك، عند حساب متوسط ​​الانحراف، الذي سيكون أصغر من ذلك، سنعتبر مسار الجسيم عبر الكرة وترًا طوله L.

داخل كرة ذات شحنة موجبة موزعة بانتظام، تكون القوة المؤثرة على جسيم ألفا عند أي نقطة على طول مساره عبر الكرة هي ^{[ 57 ] [ 58 ] : 106}

$${\displaystyle F={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$$

المكون الجانبي لهذه القوة هو

$${\displaystyle F_{\text{y}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}\cdot \cos \varphi ={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}}$$

وبالتالي فإن التغير الجانبي في الزخم p _y هو

$${\displaystyle \Delta p_{\text{y}}=F_{\text{y}}t={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}}$$

زاوية الانحراف${\displaystyle \theta _{2}}$يُعطى بواسطة

$${\displaystyle \tan \theta _{2}={\frac {\Delta p_{\text{y}}}{p_{\text{x}}}}={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}}$$

حيث يمثل p _x متوسط ​​الزخم الأفقي، الذي ينخفض ​​أولاً ثم يعود إلى وضعه الطبيعي مع تغير اتجاه القوة الأفقية أثناء مرور جسيم ألفا عبر الكرة. وبما أن الانحراف صغير جدًا،${\displaystyle \tan \theta _{2}}$يمكن معاملتها على قدم المساواة مع${\displaystyle \theta _{2}}$طول الوتر${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$، وفقًا لنظرية فيثاغورس .

متوسط ​​زاوية الانحراف${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}}$يجمع الزاوية لقيم b و L عبر الكرة بأكملها ويقسمها على المقطع العرضي للكرة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{2}&={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b\\[1ex]\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\end{aligned}}}$$

وهذا يتطابق مع صيغة طومسون في بحثه الذي نُشر عام 1910.

لنفترض جسيم ألفا يمر عبر ذرة نصف قطرها R على طول مسار طوله L. يُهمل تأثير الكرة الموجبة لعزل تأثير الإلكترونات الذرية. وكما هو الحال مع الكرة الموجبة، يُتوقع أن يكون انحراف الإلكترونات ضئيلاً للغاية، لدرجة أن المسار يكاد يكون خطًا مستقيمًا.

قدم قسم سابق من هذه المقالة معادلة توضح كيفية انحراف جسيم مشحون قادم بواسطة جسيم مشحون آخر في موضع ثابت.

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

m و v هما كتلة وسرعة الجسيم الوارد و b هو معامل التصادم.

بالنسبة للإلكترونات الواقعة ضمن مسافة عشوائية s من مسار جسيم ألفا، سيكون متوسط ​​المسافة بينها s / 2 . وبالتالي، سيكون متوسط ​​الانحراف لكل إلكترون هو

$${\displaystyle 2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}{\tfrac {s}{2}}}}\approx {\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}}$$

حيث q _e هي الشحنة الأولية . متوسط ​​الانحراف الكلي لجميع الإلكترونات داخل هذه الأسطوانة العشوائية للتأثير حول مسار جسيم ألفا هو

$${\displaystyle \theta _{1}={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}L}}}$$

حيث N ₀ هو عدد الإلكترونات لكل وحدة حجم و${\displaystyle \pi s^{2}L}$حجم هذه الأسطوانة.

باعتبار L خطًا مستقيمًا، ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$حيث b هي المسافة بين هذا الخط والمركز. متوسط${\displaystyle {\sqrt {L}}}$وبالتالي

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\sqrt {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b={\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

للحصول على متوسط ​​الانحراف${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}}$، يستبدل${\displaystyle {\sqrt {L}}}$في معادلة لـ${\displaystyle \theta _{1}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{1}&={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}}}\cdot {\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}\\[1ex]\\&={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\end{aligned}}}$$

حيث N هو عدد الإلكترونات في الذرة، ويساوي${\displaystyle N_{0}{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$.

بتطبيق معادلات طومسون الموضحة أعلاه على جسيم ألفا يصطدم بذرة ذهب، باستخدام القيم التالية:

• q _g = الشحنة الموجبة لذرة الذهب =79 q _e  =1.26 × 10 ⁻¹⁷  درجة مئوية
• q _a = شحنة جسيم ألفا =2 q _e  =3.20 × 10 ⁻¹⁹  درجة مئوية
• q _e = الشحنة الأولية =1.602 × 10 ⁻¹⁹  كولوم
• R = نصف قطر ذرة الذهب =1.44 × 10 ⁻¹⁰  م
• v = سرعة جسيم ألفا =1.53 × 10 ⁷  م/ث
• m = كتلة جسيم ألفا =6.64 × 10 ⁻²⁷  كجم
• k = ثابت كولوم =8.987 × 10 ⁹  نيوتن.متر مربع ^/ كولوم ^مربع
• N = عدد الإلكترونات في ذرة الذهب = 79

يعطي متوسط ​​الزاوية الجزئية التي يجب أن تنحرف بها جسيمات ألفا بواسطة الإلكترونات الذرية على النحو التالي:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\approx 0.00007{\text{ radians or }}0.004{\text{ degrees}}}$$

ومتوسط ​​الانحراف الجزئي الناتج عن الكرة الموجبة هو:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.00013{\text{ radians or 0.007 degrees}}}$$

الانحراف الكلي الناتج عن تصادم ذري واحد هو:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}\approx 0.008{\text{ degrees}}}$$

في المتوسط، تُحدث الكرة الموجبة والإلكترونات انحرافًا ضئيلاً جدًا في التصادم الواحد. جمع نموذج طومسون العديد من أحداث التشتت الفردي من إلكترونات الذرة وكرة موجبة. قد يزيد كل تصادم أو يُنقص زاوية التشتت الكلية. نادرًا ما تصطف سلسلة من التصادمات في نفس الاتجاه. والنتيجة مشابهة للمسألة الإحصائية القياسية المسماة بالمسار العشوائي . إذا كانت زاوية انحراف جسيم ألفا في تصادم واحد مع ذرة هي${\displaystyle {\bar {\theta }}}$إذن، يكون متوسط ​​الانحراف بعد n تصادم هو

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}={\bar {\theta }}{\sqrt {n}}}$$

إن احتمال انحراف جسيم ألفا بمقدار إجمالي يزيد عن 90 درجة بعد n انحرافًا يُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle e^{-(90/{\bar {\theta }}_{n})^{2}}}$$

حيث e هو عدد أويلر (≈2.71828...). رقاقة ذهبية بسمك 1.5 ميكرومتر ستكون بسمك حوالي 10000 ذرة. إذا كان متوسط ​​الانحراف لكل ذرة 0.008 درجة، فإن متوسط ​​الانحراف بعد 10000 تصادم سيكون 0.8 درجة. احتمال انحراف جسيم ألفا بأكثر من 90 درجة هو ^{[ 58 ] : 109}

$${\displaystyle e^{-(90/0.8)^{2}}\approx e^{-12656}\approx 10^{-5946}}$$

في حين أنه من الممكن رياضيًا، وفقًا لنموذج طومسون لحلوى البرقوق، أن ينحرف جسيم ألفا بأكثر من 90 درجة بعد 10000 تصادم، إلا أن احتمال حدوث ذلك ضئيل للغاية لدرجة أنه لا يمكن رصده. كان من المفترض ألا يرصد جايجر ومارسدن أي جسيمات ألفا عائدة في التجربة التي أجرياها عام 1909 ، ومع ذلك فقد رصداها.