مسألة القوة المركزية الكلاسيكية

تتميز القوة المركزية المحافظة F بخاصيتين أساسيتين. ^{[ 1 ]} أولاً، يجب أن تدفع الجسيمات إما مباشرةً نحو نقطة ثابتة في الفضاء، وهي مركز القوة، أو مباشرةً بعيدًا عنها، وغالبًا ما يُرمز لها بالرمز O. بعبارة أخرى، يجب أن تؤثر القوة المركزية على طول الخط الواصل بين O وموقع الجسيم الحالي. ثانيًا، تعتمد القوة المركزية المحافظة فقط على المسافة r بين O والجسيم المتحرك؛ ولا تعتمد صراحةً على الزمن أو أي مؤشرات أخرى للموقع.

يمكن التعبير عن هذا التعريف المزدوج رياضيًا كما يلي. يمكن اختيار مركز القوة O كنقطة أصل لنظام إحداثيات. يُعرف المتجه r الذي يصل O بالموضع الحالي للجسيم بمتجه الموضع . لذلك، يجب أن يكون للقوة المركزية الشكل الرياضي ^{[ 2 ].}$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ حيث r هو مقدار المتجه | r | (المسافة إلى مركز القوة)، و r̂ = r /r هو متجه الوحدة المقابل . وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة ، تُولّد القوة المركزية F تسارعًا موازيًا a يتناسب مع كتلة الجسيم m ^{[ ملاحظة 2 ].}$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$$

بالنسبة لقوى التجاذب، تكون F ( r ) سالبة، لأنها تعمل على تقليل المسافة r إلى المركز. وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لقوى التنافر، تكون F ( r ) موجبة.

إذا كانت القوة المركزية قوة محافظة ، فإن مقدار القوة المركزية F ( r ) يمكن التعبير عنه دائمًا كمشتق لدالة طاقة كامنة مستقلة عن الزمن U ( r ) ^{[ 3 ].}$${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$$

وبالتالي، فإن الطاقة الكلية للجسيم - مجموع طاقته الحركية وطاقته الكامنة U - ثابتة؛ ويُقال إن الطاقة محفوظة . ولإثبات ذلك، يكفي أن الشغل W المبذول بواسطة القوة يعتمد فقط على الموضعين الابتدائي والنهائي، وليس على المسار المتخذ بينهما.

$${\displaystyle {\begin{align}W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} \\[1ex]&=\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})\end{محاذاة}}}$$

وبصورة مكافئة، يكفي أن يكون التفاف مجال القوة F مساوياً للصفر؛ باستخدام صيغة الالتفاف في الإحداثيات الكروية ، $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$$ لأن المشتقات الجزئية تساوي صفرًا بالنسبة للقوة المركزية؛ فإن المقدار F لا يعتمد على الإحداثيات الكروية الزاوية θ و φ.

بما أن الجهد القياسي V ( r ) يعتمد فقط على المسافة r من نقطة الأصل، فإنه يتمتع بتناظر كروي . من هذا المنطلق، تُشابه مسألة القوة المركزية خطوط شوارزشيلد الجيوديسية في النسبية العامة ، والمعالجات الكمومية للجسيمات في جهود ذات تناظر كروي .

إذا كانت السرعة الابتدائية v للجسيم متوافقة مع متجه الموضع r ، فإن الحركة تبقى دائمًا على الخط المحدد بـ r . ويعود ذلك إلى أن القوة -وبحسب قانون نيوتن الثاني، التسارع a أيضًا- متوافقة مع r . ولتحديد هذه الحركة، يكفي حل المعادلة $${\displaystyle م{\ddot {r}}=F(r)}$$

تتمثل إحدى طرق الحل في استخدام قانون حفظ الطاقة الكلية $${\displaystyle \left|{\dot {r}}\right|=\left|{\frac {dr}{dt}}\right|={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}$$

بأخذ المقلوب وإجراء التكامل نحصل على: $${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}}$$

بالنسبة لبقية المقال، يُفترض أن السرعة الأولية v للجسيم لا تتوافق مع متجه الموضع r ، أي أن متجه الزخم الزاوي L = r × m v ليس صفرًا.

يمكن لأي قوة مركزية أن تُنتج حركة دائرية منتظمة ، بشرط أن يحقق نصف القطر الابتدائي r والسرعة v معادلة القوة المركزية.$${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$$

إذا تحققت هذه المعادلة في اللحظات الأولية، فستتحقق في جميع الأوقات اللاحقة؛ وسيستمر الجسيم في التحرك في دائرة نصف قطرها r بسرعة v إلى الأبد.

تتعلق مسألة القوة المركزية بحالة مثالية (مسألة الجسم الواحد) حيث ينجذب جسيم واحد أو يتنافر مع نقطة ثابتة O ، وهي مركز القوة. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، فإن القوى الفيزيائية عادةً ما تكون بين جسمين؛ وبحسب قانون نيوتن الثالث، إذا أثر الجسم الأول بقوة على الجسم الثاني، فإن الجسم الثاني يؤثر بقوة مساوية ومعاكسة على الجسم الأول. لذلك، يتسارع كلا الجسمين إذا وُجدت قوة بينهما؛ فلا يوجد مركز قوة ثابت تمامًا. ولكن، إذا كان أحد الجسمين أضخم بكثير من الآخر، فيمكن إهمال تسارعه بالنسبة للآخر؛ ويمكن اعتبار مركز الجسم الأضخم ثابتًا تقريبًا. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، الشمس أضخم بكثير من كوكب عطارد؛ لذا، يمكن تقريب الشمس كمركز قوة ثابت، مما يختزل المسألة إلى حركة عطارد استجابةً للقوة التي تؤثر بها الشمس. لكن في الواقع، تتحرك الشمس أيضاً (وإن كان ذلك بشكل طفيف فقط) استجابة للقوة التي يطبقها كوكب عطارد.

_{مع ذلك} ، فإن هذه التقريبات غير ضرورية. تسمح قوانين نيوتن للحركة بتحويل أي مسألة كلاسيكية لجسمين إلى مسألة دقيقة مقابلة لجسم واحد. ^{[ 6 ]} ولإثبات ذلك، لنفترض أن _{x1 و x2 هما موضعا الجسيمين، وأن r = x1} − _x2 هو موضعهما النسبي . عندئذٍ ، وفقًا _لقانون نيوتن الثاني، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}&=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)\\[1ex]&=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}\end{aligned}}}$$

تُشتق المعادلة النهائية من قانون نيوتن الثالث ؛ _حيث إن قوة الجسم الثاني المؤثرة على الجسم الأول ( F21 ) تساوي وتعاكس قوة الجسم الأول المؤثرة على الجسم الثاني ( F12 ). وبالتالي، يمكن كتابة معادلة الحركة لـ r على الصورة التالية _:$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$$ أين${\displaystyle \mu }$الكتلة المختزلة$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

كحالة خاصة، يمكن اختزال مشكلة جسمين يتفاعلان بقوة مركزية إلى مشكلة قوة مركزية لجسم واحد.

تبقى حركة الجسيم تحت تأثير قوة مركزية F دائمًا في المستوى المحدد بموقعه وسرعته الابتدائيين. ^{[ 7 ]} ويمكن ملاحظة ذلك من خلال التناظر. فبما أن الموقع r والسرعة v والقوة F تقع جميعها في نفس المستوى، فلا يوجد تسارع عمودي على هذا المستوى، لأن ذلك سيخل بالتناظر بين "أعلى" المستوى و"أسفل" المستوى.

لإثبات ذلك رياضياً، يكفي أن نُبين أن الزخم الزاوي للجسيم ثابت. ويُعرَّف هذا الزخم الزاوي L بالمعادلة التالية: $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$$ حيث m كتلة الجسيم و p زخمه الخطي . في هذه المعادلة، يشير رمز الضرب × إلى الضرب الاتجاهي للمتجهات ، وليس الضرب. لذلك، يكون متجه الزخم الزاوي L عموديًا دائمًا على المستوى المحدد بمتجه موضع الجسيم r ومتجه سرعته v . ^{[ ملاحظة 3 ]}

بشكل عام، معدل تغير الزخم الزاوي L يساوي عزم الدوران الكلي r × F ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} \\[1ex]&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,\end{aligned}}}$$

الحد الأول m v × v يساوي صفرًا دائمًا، لأن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات يساوي صفرًا دائمًا لأي متجهين يشيران في نفس الاتجاه أو في اتجاهين متعاكسين. ومع ذلك، عندما تكون F قوة مركزية، فإن الحد المتبقي r × F يساوي صفرًا أيضًا لأن المتجهين r و F يشيران في نفس الاتجاه أو في اتجاهين متعاكسين. لذلك، يكون متجه الزخم الزاوي L ثابتًا. $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$$

^{وبالتالي، فإن} موضع الجسيم r (وبالتالي السرعة v ) يقع دائمًا في مستوى عمودي على L. [ ^{9 ]}

بما أن الحركة مستوية والقوة شعاعية، فمن المعتاد التحول إلى الإحداثيات القطبية . ^{[ 9 ]} في هذه الإحداثيات، يتم تمثيل متجه الموضع r بدلالة المسافة الشعاعية r والزاوية السمتية φ .

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=(r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi )}$$

بأخذ المشتقة الأولى بالنسبة للزمن نحصل على متجه سرعة الجسيم v$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$$

وبالمثل، فإن المشتقة الثانية لموضع الجسيم r تساوي تسارعه a$${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$$

يمكن التعبير عن السرعة v والتسارع a بدلالة متجهي الوحدة الشعاعي والسمتي. ويُحسب متجه الوحدة الشعاعي بقسمة متجه الموضع r على مقداره r ، كما هو موضح أعلاه. $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

يُعطى متجه الوحدة السمتي بواسطة ^{[ ملاحظة 4 ]}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$$

وبالتالي، يمكن كتابة السرعة على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$ بينما يساوي التسارع $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right)\mathbf {\hat {r}} +\left(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

بما أن F = ma وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة، وبما أن F قوة مركزية، فإن المركبة القطرية للتسارع a فقط هي التي يمكن أن تكون غير صفرية؛ أما المركبة الزاوية a _φ فيجب أن تكون صفرًا. $${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$$

لذلك، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)&=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}\right)\\&=ra_{\varphi }=0\end{aligned}}}$$

يُشار عادةً إلى هذا التعبير بين قوسين بالرمز h$${\displaystyle {\begin{aligned}h=r^{2}{\dot {\varphi }}&=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|\\[1ex]&=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}\end{aligned}}}$$

وهو ما يساوي السرعة v مضروبة في _r⊥ ، وهو مركبة متجه نصف القطر العمودية على السرعة. أما h فهو مقدار الزخم الزاوي النوعي لأنه يساوي مقدار الزخم الزاوي L مقسومًا على كتلة الجسيم m .

للاختصار، تُكتب السرعة الزاوية أحيانًا ω$${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$$

مع ذلك، لا ينبغي افتراض أن ω ثابتة. بما أن h ثابتة، فإن ω تتغير بتغير نصف القطر r وفقًا للصيغة ^{[ 10 ].}$${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$$

بما أن h ثابت و r² موجب ^، فإن الزاوية φ تتغير بشكل رتيب في أي مسألة قوة مركزية، إما أن تزداد باستمرار ( h موجب) أو تتناقص باستمرار ( h سالب). ^{[ 11 ]}

مقدار h يساوي أيضًا ضعف السرعة السطحية ، وهي معدل تمدد المساحة التي يقطعها الجسيم بالنسبة إلى المركز. ^{[ 12 ]} وبالتالي، تكون السرعة السطحية ثابتة لأي جسيم تؤثر عليه أي قوة مركزية؛ وهذا ما يُعرف بقانون كبلر الثاني . ^{[ 13 ]} وعلى العكس، إذا كانت الحركة تحت تأثير قوة محافظة F مستوية ولها سرعة سطحية ثابتة لجميع الشروط الابتدائية لنصف القطر r والسرعة v ، فإن التسارع السمتي aφ يساوي صفرًا دائمًا. ومن ثم، وفقًا لقانون نيوتن الثاني، _F = ma ، فإن القوة هي قوة مركزية.

يمكن توضيح ثبات السرعة السطحية من خلال الحركة الدائرية المنتظمة والحركة الخطية المنتظمة. في الحركة الدائرية المنتظمة، يتحرك الجسيم بسرعة ثابتة v حول محيط دائرة نصف قطرها r . وبما أن السرعة الزاوية ω = v / r ثابتة، فإن المساحة التي يقطعها الجسيم في زمن Δt تساوي ω r² ^Δt ؛ وبالتالي ، تُقطع مساحات متساوية في أزمنة متساوية Δt . في الحركة الخطية المنتظمة (أي الحركة في غياب قوة، وفقًا لقانون نيوتن الأول للحركة)، يتحرك الجسيم بسرعة ثابتة، أي بسرعة ثابتة v على طول خط مستقيم. في زمن Δt ، يقطع الجسيم مساحة ½ v Δ tr _⊥ ( معامل التصادم ). ^[ ملاحظة ^{5 ]} لا تتغير المسافة r _⊥ أثناء حركة الجسيم على طول الخط. يمثل هذا المسافة التي يقترب بها الخط من المركز O ( معامل التأثير ). وبما _أن السرعة v ثابتة أيضاً، فإن السرعة السطحية ½ vr⊥ هي ثابت حركة؛ إذ يمسح الجسيم مساحات متساوية في أزمنة متساوية.

بتحويل المتغيرات، ^{[ 14 ]} يمكن تحويل أي مسألة قوة مركزية إلى مسألة قوة موازية مكافئة. ^{[ ملاحظة 6 ]} بدلاً من الإحداثيات الديكارتية المعتادة x و y ، يتم تعريف متغيرين جديدين للموضع ξ = x / y و η = 1/ y ، بالإضافة إلى إحداثي زمني جديد τ$${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$$

تُعطى معادلات الحركة المناظرة لـ ξ و η كما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{d\tau }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\\[1ex]&=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h\\[2ex]{\frac {d\eta }{d\tau }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\\[1ex]&=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}\end{aligned}}}$$

بما أن معدل تغير ξ ثابت، فإن مشتقته الثانية تساوي صفرًا $${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$$

بما أن هذا هو التسارع في اتجاه ξ، وبما أن F = ma وفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن القوة في اتجاه ξ تساوي صفرًا. وبالتالي، فإن القوة تكون فقط على طول اتجاه η ، وهو معيار مسألة القوى المتوازية. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن التسارع في اتجاه η يساوي $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}&={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)\\[1ex]&=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)\end{aligned}}}$$ لأن التسارع في اتجاه المحور y يساوي $${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$$

هنا، F _y تشير إلى المركبة y للقوة المركزية، و y / r يساوي جيب تمام الزاوية بين المحور y والمتجه القطري r .

بما أن القوة المركزية F تؤثر فقط على طول نصف القطر، فإن المركبة القطرية للتسارع فقط هي التي لا تساوي الصفر. وبحسب قانون نيوتن الثاني للحركة، فإن مقدار F يساوي كتلة الجسيم m مضروبة في مقدار تسارعه القطري ^{[ 15 ].}$${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$$

تحتوي هذه المعادلة على عامل التكامل${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\dot {r}}\,dt\\[1ex]&=m\left({\dot {r}}{\ddot {r}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\dot {r}}\right)\,dt\\[1ex]&={\frac {m}{2}}\,d{\left({\dot {r}}^{2}+h^{2}r^{-2}\right)}\end{aligned}}}$$

دمج العوائد $${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$$

إذا لم تكن قيمة h تساوي صفرًا، فيمكن تغيير المتغير المستقل من t إلى ϕ ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$$ مما يعطي معادلة الحركة الجديدة ^{[ 17 ]}$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$$

بإجراء تغيير المتغيرات إلى مقلوب نصف القطر u = 1/ r ^{[ 17 ]} ينتج عنه

$${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=C-u^{2}-G\left(u\right)}$$

1

حيث C ثابت التكامل، والدالة G ( u ) معرفة بـ $${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$$

تصبح هذه المعادلة شبه خطية عند اشتقاقها بالنسبة إلى ϕ$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$$

تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة بينيه . ويؤدي تكامل المعادلة ( 1 ) إلى الحصول على حل لـ ϕ ^{[ 18 ]}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$$ حيث ϕ₀ ثابت تكامل آخر. يُقال إن مسألة القوة المركزية "قابلة للتكامل" إذا أمكن حل هذا _{التكامل} النهائي بدلالة الدوال المعروفة.

خذ الضرب القياسي لقانون نيوتن الثاني للحركة مع سرعة الجسيم، حيث تُستمد القوة من طاقة الوضع. $${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\qquad \left/\;\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right.}$$ أعطِ $${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)&=-{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\\[1ex]&=-\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}=-{\frac {dU}{dt}}\end{aligned}}}$$ حيث يُفترض الجمع على المؤشر الديكارتي المكاني${\displaystyle i=1,2,3}$وقد استغللنا حقيقة أن${\textstyle {\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}$واستخدم قاعدة السلسلة${\textstyle {\frac {d}{dt}}U(x,y,z)=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}}$إعادة الترتيب $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )\right)=0}$$ الحد الموجود بين قوسين على الجانب الأيسر هو ثابت، قم بتسميته بـ${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }}$، الطاقة الميكانيكية الكلية. من الواضح أن هذا هو مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة. ^{[ 19 ]}

علاوة على ذلك، إذا كانت الإمكانات أساسية،${\displaystyle U(x,y,z)=U(r)}$وبالتالي، تكون القوة على طول الاتجاه القطري. في هذه الحالة، يكون حاصل الضرب الاتجاهي لقانون نيوتن الثاني للحركة مع متجه موضع الجسيم${\displaystyle \mathbf {r} }$يجب أن يتلاشى لأن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متوازيين يساوي صفرًا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}&={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)\\[1ex]&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0\end{aligned}}}$$ لكن${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}=0}$(الضرب الاتجاهي للمتجهات المتوازية)، لذلك $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$ الحد الموجود بين قوسين على الجانب الأيسر هو ثابت، قم بتسميته بـ${\displaystyle \mathbf {L} }$الزخم الزاوي، وخاصة في الإحداثيات القطبية،${\displaystyle L=mrv_{\varphi }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$أو $${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$ إضافي،${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}={\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\varphi }})^{2}}$لذا، يمكن تبسيط معادلة الطاقة باستخدام الزخم الزاوي كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathrm {tot} }&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)\\[1ex]&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)\\[1ex]&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)\end{aligned}}}$$ يشير هذا إلى أن الزخم الزاوي يساهم في طاقة كامنة فعالة ^{[ 20 ]}$${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }(r)=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$ حل هذه المعادلة لـ${\displaystyle {\dot {r}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$ والتي يمكن تحويلها إلى مشتق من${\displaystyle r}$فيما يتعلق بالزاوية السمتية${\displaystyle \varphi }$مثل $${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {dr/dt}{d\varphi /dt}}={\frac {\dot {r}}{\dot {\varphi }}}={\frac {mr^{2}}{L}}{\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$ هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى قابلة للفصل. وبإجراء التكامل نحصل على الصيغة ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}}}$$

يؤدي تغيير متغير التكامل إلى نصف القطر العكسي إلى التكامل ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$$ والذي يعبر عن الثوابت المذكورة أعلاه C = 2 mE _tot / L ² و G ( u ) = 2 mU (1/ u )/ L ² أعلاه من حيث الطاقة الكلية E _tot وطاقة الوضع U ( r ).

معدل تغير r يساوي صفرًا عندما تساوي طاقة الوضع الفعالة الطاقة الكلية ^{[ 23 ]}$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

تُعرف النقاط التي تتحقق عندها هذه المعادلة بنقاط الانعطاف . ^{[ 23 ]} يكون المدار على جانبي نقطة الانعطاف متناظرًا؛ بمعنى آخر، إذا عُرِّفت الزاوية السمتية بحيث φ = 0 عند نقطة الانعطاف، فإن المدار يكون متماثلًا في الاتجاهين المتعاكسين، r ( φ ) = r (−φ ) . ^{[ 24 ]}

إذا وُجدت نقطتا انعطاف بحيث يكون نصف القطر r محصورًا بين r _min و r _max ، فإن الحركة تكون محصورة ضمن حلقة نصف قطرها هذان. ^{[ 23 ]} ومع تغير نصف القطر من نقطة انعطاف إلى أخرى، فإن التغير في الزاوية السمتية φ يساوي ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

سيغلق المدار على نفسه ^{[ ملاحظة 7 ]} بشرط أن يكون Δφ مساوياً لكسر نسبي من 2π ، أي ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$$ حيث m و n عددان صحيحان. في هذه الحالة، يتذبذب نصف القطر m مرة بالضبط، بينما تُكمل الزاوية السمتية φ n دورة بالضبط. مع ذلك، بشكل عام، لن يكون Δφ/2π عددًا نسبيًا ، وبالتالي لن يكون المدار مغلقًا. في هذه الحالة، سيمر الجسيم في النهاية بالقرب من أي نقطة داخل الحلقة. هناك نوعان من القوى المركزية يُنتجان مدارات مغلقة دائمًا: F ( r ) = αr ( قوة خطية) و F ( r ) = α/ ^r² ( قانون التربيع العكسي ). كما أوضح برتراند، هاتان القوتان المركزيتان هما الوحيدتان اللتان تضمنان مدارات مغلقة. ^{[ 25 ]}

بشكل عام، إذا كان الزخم الزاوي L غير صفري، فإن ^الحد L² /2 ^mr² يمنع الجسيم من السقوط في نقطة الأصل، إلا إذا اتجهت طاقة الوضع الفعالة إلى سالب ما لا نهاية في حالة اقتراب r من الصفر. ^{[ 26 ]} لذلك، إذا كانت هناك نقطة انعطاف واحدة، فإن المدار يتجه عمومًا إلى ما لا نهاية؛ وتتوافق نقطة الانعطاف مع نقطة نصف القطر الأدنى.

في الفيزياء الكلاسيكية ، تخضع العديد من القوى المهمة لقانون التربيع العكسي، مثل الجاذبية والكهروستاتيكا . والصيغة الرياضية العامة لهذه القوى المركزية التي تخضع لقانون التربيع العكسي هي $${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$$ لثابت${\displaystyle \alpha }$، وهو سالب بالنسبة للقوة الجاذبة وموجب بالنسبة للقوة التنافرية.

تُسمى هذه الحالة الخاصة من مسألة القوة المركزية الكلاسيكية مسألة كبلر . بالنسبة لقوة تتناسب عكسيًا مع مربع القوة، تكون معادلة بينيه المشتقة أعلاه خطية. $${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$$

حل هذه المعادلة هو $${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$$ وهذا يُظهر أن المدار عبارة عن قطع مخروطي ذي انحراف مركزي e ؛ حيث φ₀ هي الزاوية الابتدائية، ويقع مركز القوة عند بؤرة القطع المخروطي. وباستخدام صيغة نصف الزاوية للجيب ، يمكن كتابة هذا الحل أيضًا على النحو التالي _:$${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$$

حيث u1 و u2 _ثابتان ، و u2 أكبر من _u1 . ويرتبط الحلان بالمعادلات _{التالية :}$${\displaystyle u_{1}+u_{2}=-{\frac {2\alpha }{mh^{2}}}}$$ و $${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$$

بما أن دالة sin² ^أكبر من الصفر دائمًا، فإن _u² هي أكبر قيمة ممكنة لـ u ومعكوس أصغر قيمة ممكنة لـ r ، أي مسافة أقرب نقطة ( الحضيض ). ولأن المسافة القطرية r لا يمكن أن تكون سالبة، فإن معكوسها u لا يمكن أن يكون سالبًا أيضًا ؛ لذلك، يجب أن تكون u² موجبة. إذا كانت u₁ موجبة أيضًا، فهي أصغر قيمة ممكنة لـ u ، والتي تقابل أكبر قيمة ممكنة لـ r ، _أي مسافة أبعد نقطة ( الأوج ). إذا كانت u₁ _{صفرًا أو} سالبة، فإن أصغر قيمة ممكنة لـ u هي الصفر (يتجه المدار إلى اللانهاية)؛ في هذه الحالة، القيم الوحيدة ذات الصلة لـ φ هي تلك التي تجعل u موجبة.

في حالة وجود قوة جاذبة (α < 0)، يكون المسار بيضاويًا أو زائدًا أو مكافئًا ، وذلك بحسب ما إذا كانت u1 موجبة أو سالبة أو صفرًا على التوالي؛ وهذا يُقابل انحرافًا مركزيًا e أقل من واحد، _{أو أكبر من واحد، أو يساوي واحدًا. أما} في حالة وجود قوة تنافرية (α > 0)، فيجب أن تكون u1 سالبة، لأن _u2 موجبة بحكم التعريف ومجموعهما سالب؛ وبالتالي، يكون المسار زائدًا. وبطبيعة الحال، إذا لم تكن هناك قوة (α = 0)، يكون المسار خطًا مستقيمًا.

يمكن حل معادلة بينيه لـ u ( φ ) عدديًا لأي قوة مركزية تقريبًا F (1/ u ). مع ذلك، لا ينتج عن سوى عدد قليل من القوى صيغًا لـ u بدلالة دوال معلومة. وكما ذُكر أعلاه، يمكن التعبير عن حل φ كتكامل على u$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$$

يقال إن مسألة القوة المركزية "قابلة للتكامل" إذا كان من الممكن حل هذا التكامل بدلالة الدوال المعروفة.

إذا كانت القوة تخضع لقانون القوة، أي إذا كانت F ( r ) = αrⁿ ^، فيمكن التعبير عن u بدلالة الدوال الدائرية و/أو الدوال الإهليلجية إذا كانت n تساوي 1، -2، -3 (للدوال الدائرية) و-7، -5، -4، 0، 3، 5، -3/2، -5/2، -1/3، -5/3، و-7/3 (للدوال الإهليلجية). ^{[ 27 ]} وبالمثل، فإن ستة تركيبات خطية ممكنة فقط من قوانين القوة تعطي حلولًا بدلالة الدوال الدائرية والإهليلجية. ^{[ 28 ] [ 29 ]}$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$$

تؤدي الحالات الخاصة التالية من النوعين الأولين من القوى دائمًا إلى دوال دائرية. $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$$

الحالة الخاصة$${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$$وقد ذكرها نيوتن، في النتيجة 1 للمقترح السابع من كتاب المبادئ، باعتبارها القوة التي تنطوي عليها المدارات الدائرية التي تمر عبر نقطة الجذب.

يظهر الحد r ⁻³ في جميع قوانين القوى المذكورة أعلاه، مما يشير إلى أن إضافة قوة المكعب العكسي لا تؤثر على قابلية حل المسألة بدلالة الدوال المعروفة. وقد بيّن نيوتن أنه مع تعديل الشروط الابتدائية، فإن إضافة هذه القوة لا تؤثر على الحركة القطرية للجسيم، ولكنها تضرب حركته الزاوية بمعامل ثابت k . وقد اكتشف محمد وفودا امتدادًا لنظرية نيوتن في عام 2000. ^{[ 29 ]}

لنفترض أن جسيمًا يتحرك تحت تأثير قوة مركزية عشوائية _F₁ ( r ) ، ولنرمز إلى نصف قطره r وزاويته السمتية φ بـ r ( t ) و φ₁ ( t ) كدالة للزمن t . الآن _، لنفترض وجود جسيم ثانٍ له نفس الكتلة m ويتحرك بنفس الحركة الشعاعية r ( t )، ولكن سرعته الزاوية أسرع بمقدار k مرة من سرعة الجسيم الأول. بعبارة أخرى، _ترتبط الزوايا السمتية للجسيمين بالمعادلة φ₂ ( t ) = kφ₁ ( t ). وقد أثبت نيوتن أن القوة المؤثرة على الجسيم الثاني تساوي القوة F₁ ₍ r ) المؤثرة على الجسيم الأول، بالإضافة إلى قوة مركزية مكعبة معكوسة ^{[ 30 ]} _. $${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$ حيث L _{1 هو مقدار الزخم} الزاوي للجسيم الأول .

إذا كانت ^قيمة k² أكبر من واحد، _{فإن F²} - F₁ تكون قيمة سالبة؛ وبالتالي، فإن القوة المضافة، وهي مقلوب مكعب القوة، تكون _{جاذبة .} وعلى العكس، إذا كانت ^قيمة k² أقل من واحد، _فإن F² - F₁ تكون قيمة موجبة؛ وبالتالي، فإن القوة المضافة، وهي مقلوب مكعب القوة، تكون تنافرية . إذا كانت k عددًا صحيحًا مثل 3، يُقال إن مدار الجسيم الثاني هو توافقي لمدار الجسيم الأول؛ وعلى النقيض من ذلك، إذا كانت k مقلوب عدد صحيح، مثل 1/3 ، يُقال إن المدار الثاني هو توافقي فرعي للمدار الأول.

حلّ إسحاق نيوتن مسألة القوة المركزية الكلاسيكية هندسيًا في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، حيث قدّم قوانينه للحركة . استخدم نيوتن ما يُعادل التكامل القفزي لتحويل الحركة المستمرة إلى حركة منفصلة، ​​ما يسمح بتطبيق الطرق الهندسية. في هذا النهج، يُؤخذ موقع الجسيم في الاعتبار فقط عند نقاط زمنية متساوية التباعد. على سبيل المثال، يقع الجسيم في الشكل 10 عند النقطة A عند الزمن t  =  0، وعند النقطة B عند الزمن t  =  Δt ، وعند النقطة C عند الزمن t = 2Δt ، وهكذا لجميع الأزمنة t = n Δt ، حيث n عدد صحيح. يُفترض أن السرعة ثابتة بين هذه النقاط الزمنية . وبالتالي، فإن المتجه r _AB = r _B − r _A يساوي Δ t مضروبًا في متجه السرعة v _AB (الخط الأحمر)، بينما r _BC = r _C − r _B يساوي v _BC Δ t (الخط الأزرق). وبما أن السرعة ثابتة بين النقاط، يُفترض أن القوة تؤثر لحظيًا عند كل موضع جديد؛ فعلى سبيل المثال، القوة المؤثرة على الجسيم عند النقطة B تُغير السرعة لحظيًا من v _AB إلى v _BC . متجه الفرق Δ r = r _BC − r _AB يساوي Δ v Δ t (الخط الأخضر)، حيث Δ v = v _BC − v _AB هو التغير في السرعة الناتج عن القوة عند النقطة B. وبما أن التسارع a موازٍ لـ Δ v وبما أن F = ma ، فإن القوة F يجب أن تكون موازية لـ Δ v و Δ r . إذا كانت F قوة مركزية، فيجب أن تكون موازية للمتجه r _B من المركز O إلى النقطة B (الخط الأخضر المتقطع)؛ وفي هذه الحالة، يكون Δ r موازياً أيضاً لـ r                      _ب .

إذا لم تؤثر أي قوة عند النقطة B ، فإن السرعة تبقى ثابتة، ويصل الجسيم إلى النقطة K عند الزمن t  =  2Δt . مساحتا المثلثين OAB وOBK متساويتان، لأنهما يشتركان في القاعدة ( rAB ₎ والارتفاع ( r⊥ ). إذا كان Δr موازيًا لـ rB _، فإن المثلثين OBK وOBC متساويان أيضًا، لأنهما يشتركان في القاعدة ( rB _{) والارتفاع ثابت} . في هذه الحالة، تكون مساحتا المثلثين OAB وOBC متساويتين، ويقطع الجسيم مساحات متساوية في أزمنة متساوية. على العكس، إذا كانت مساحات جميع هذه المثلثات متساوية، فإن Δr يجب أن يكون موازيًا لـ rB _، ومن ثم فإن F قوة مركزية. بالتالي، يقطع الجسيم مساحات متساوية في أزمنة متساوية إذا وفقط إذا كانت F قوة مركزية.

يمكن أيضًا اشتقاق صيغة القوة الشعاعية باستخدام ميكانيكا لاغرانج . في الإحداثيات القطبية، يُعطى لاغرانجيان L لجسيم منفرد في مجال طاقة كامنة U ( r ) بالصيغة التالية:$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$$

ثم معادلات لاغرانج للحركة $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$$ اتخذ الشكل $${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$$ بما أن مقدار القوة الشعاعية F ( r ) يساوي المشتق السالب للطاقة الكامنة U ( r ) في الاتجاه الشعاعي.

يمكن أيضًا اشتقاق صيغة القوة الشعاعية باستخدام ميكانيكا هاميلتون . في الإحداثيات القطبية، يمكن كتابة الهاميلتوني على النحو التالي: $${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)}$$

بما أن الزاوية السمتية _{φ لا تظهر في الهاميلتوني، فإن زخمها المرافق pφ} ثابت للحركة . هذا الزخم المرافق هو مقدار الزخم الزاوي L ، كما هو موضح في معادلة حركة الهاميلتوني لـ φ$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

معادلة الحركة المقابلة لـ r هي $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$$

بأخذ المشتقة الثانية لـ r بالنسبة للزمن واستخدام معادلة هاميلتون للحركة لـ p _r، نحصل على معادلة القوة الشعاعية $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}={\frac {{\dot {p}}_{r}}{m}}&=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)\\[1ex]&={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}\\[1ex]&={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)\end{aligned}}}$$

يمكن اشتقاق معادلة المدار مباشرةً من معادلة هاميلتون-جاكوبي . ^{[ 31 ]} وباعتماد المسافة القطرية r والزاوية السمتية φ كإحداثيات، يمكن كتابة معادلة هاميلتون-جاكوبي لمسألة القوة المركزية على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$ حيث S = S _φ ( φ ) + S _r ( r ) − E _tot t هي دالة هاميلتون الرئيسية ، و E _tot و t يمثلان الطاقة الكلية والزمن، على التوالي. يمكن حل هذه المعادلة عن طريق التكاملات المتتالية للمعادلات التفاضلية العادية ، بدءًا من معادلة φ$${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$$ حيث pφ ثابت للحركة يساوي مقدار الزخم الزاوي L. وبالتالي، Sφ ( φ ) = Lφ ، وتصبح معادلة هاميلتون-جاكوبي كما _{يلي :}$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

بإجراء التكامل لهذه المعادلة لإيجاد S _r نحصل على $${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$$

بأخذ مشتقة S بالنسبة إلى L نحصل على معادلة المدار المشتقة أعلاه $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}&={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}\\[2ex]&=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}\end{aligned}}}$$