ارتفاع المقياس

في الفيزياء، يُعرف ارتفاع المقياس ، والذي يُرمز إليه عادةً بالحرف الكبير H ، بأنه المسافة ( الرأسية أو القطرية ) التي تتناقص عندها كمية فيزيائية بمعامل e (أساس اللوغاريتمات الطبيعية ، أي ما يقارب 2.718). ^{[ 1 ]}

بالنسبة للأغلفة الجوية للكواكب، يُعرَّف ارتفاع المقياس بأنه الزيادة في الارتفاع التي ينخفض ​​عندها الضغط الجوي بمعامل e . ويبقى ارتفاع المقياس ثابتًا عند درجة حرارة معينة. ويمكن حسابه باستخدام ^{[ 2 ] [ 3 ].}$${\displaystyle H={\frac {k_{\text{B}}T}{mg}},}$$ أو ما يعادل ذلك، $${\displaystyle H={\frac {RT}{Mg}},}$$ أين

k _B = ثابت بولتزمان =1.381 × 10 ⁻²³  J⋅K ^{−1 ‍ [4 ]}

R = ثابت الغازات العام = 8.31446 جول/ ^{كلفن /} مول

T = متوسط ​​درجة حرارة الغلاف الجوي بالكلفن = 250 كلفن ^{[ 5 ]} للأرض 

م = متوسط ​​كتلة الجزيء

M = متوسط ​​الكتلة المولية للجسيمات الجوية = 0.029  كجم/مول للأرض

g = تسارع الجاذبية الأرضية عند الموقع الحالي

الضغط (القوة لكل وحدة مساحة) عند ارتفاع معين هو نتيجة لوزن الغلاف الجوي العلوي. إذا كان للغلاف الجوي عند ارتفاع z كثافة ρ وضغط P ، فإن التحرك لأعلى ارتفاعًا متناهيًا في الصغر dz سيؤدي إلى انخفاض الضغط بمقدار dP ، وهو ما يعادل وزن طبقة من الغلاف الجوي بسمك dz . 

هكذا: $${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-g\rho ,}$$ حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية. بالنسبة لقيم dz الصغيرة ، يمكن افتراض ثبات g ؛ تشير الإشارة السالبة إلى أن الضغط يتناقص مع ازدياد الارتفاع. لذلك، باستخدام معادلة الحالة لغاز مثالي ذي كتلة جزيئية متوسطة M عند درجة حرارة T ، يمكن التعبير عن الكثافة كما يلي: $${\displaystyle \rho ={\frac {MP}{RT}}.}$$

بدمج هذه المعادلات نحصل على $${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{{k_{\text{B}}T}/{mg}}},}$$ والتي يمكن بعد ذلك دمجها مع معادلة H المذكورة أعلاه للحصول على $${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}},}$$ وهذا لن يتغير إلا إذا تغيرت درجة الحرارة. بتكامل ما سبق، وبافتراض أن _P₀ هو الضغط عند الارتفاع z = 0 (الضغط عند مستوى سطح البحر )، يمكن كتابة الضغط عند الارتفاع z على النحو التالي:$${\displaystyle P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right).}$$ وهذا يعني أن الضغط يتناقص بشكل أسي مع الارتفاع. ^{[ 6 ]}

في الغلاف _الجوي للأرض ، يبلغ متوسط ​​الضغط عند مستوى سطح البحر P0 حوالي1.01 × 10⁵ ^باسكال  ، متوسط ​​الكتلة الجزيئية للهواء الجاف هو28.964 دالتون  ، وبالتالي m =28.964  دالتون ×1.660 × 10 ⁻²⁷  كجم/دالتون =4.808 × 10⁻²⁶ كجم . وبالتالي، فإن ارتفاع الغلاف ^الجوي  للأرض كدالة لدرجة الحرارة هو H / T = k _B / mg =1.381 × 10 ⁻²³  ي ⋅ ك ⁻¹ / (4.808 × 10 ⁻²⁶  كجم ×9.81  م ⋅ ث ⁻² ) =29.28  م/ك . ينتج عن ذلك الارتفاعات المقياسية التالية لدرجات حرارة الهواء النموذجية:

T = 290  كلفن، H = 8500  متر،

T = 273  كلفن، H = 8000  متر،

T = 260  كلفن، H = 7610  م،

T = 210  K, H = 6000  m.

ينبغي مقارنة هذه الأرقام بدرجة حرارة وكثافة الغلاف الجوي للأرض المرسومة في NRLMSISE-00 ، والتي تُظهر انخفاض كثافة الهواء من 1200  جم/م ³ عند مستوى سطح البحر إلى 0.125  جم/م ³ عند 70  كم، أي بمعامل 9600، مما يشير إلى متوسط ​​ارتفاع مقياس يبلغ 70  /  ln(9600) = 7.64  كم، وهو ما يتوافق مع متوسط ​​درجة حرارة الهواء المشار إليها على هذا النطاق والتي تقارب 260  كلفن.

ملحوظة:

• ترتبط الكثافة بالضغط وفقًا لقوانين الغاز المثالي . لذلك، تتناقص الكثافة أيضًا بشكل أُسّي مع الارتفاع بدءًا من قيمة ρ₀ عند مستوى سطح البحر، والتي تساوي تقريبًا _{ρ₀ .}1.2  كجم ⋅ م ⁻³ .
• على ارتفاع يزيد عن 100  كيلومتر، لم يعد الغلاف الجوي مختلطًا جيدًا، ولكل نوع كيميائي ارتفاعه الخاص.
• هنا تم افتراض أن درجة الحرارة وتسارع الجاذبية ثابتان، ولكن كلاهما قد يتغير على مسافات كبيرة.

الارتفاعات التقريبية للغلاف الجوي لبعض الأجرام المختارة في النظام الشمسي:

بالنسبة لقرص من الغاز يحيط بجسم مركزي مكثف، مثل نجم أولي على سبيل المثال، يمكن استنتاج ارتفاع مقياس القرص، وهو مشابه إلى حد ما لارتفاع مقياس الكوكب. نبدأ بقرص من الغاز ذي كتلة صغيرة نسبيًا مقارنةً بالجسم المركزي. نفترض أن القرص في حالة توازن هيدروستاتيكي مع المركبة z للجاذبية الصادرة من النجم، حيث تشير مركبة الجاذبية إلى المستوى المتوسط ​​للقرص: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {GM_{*}\rho z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}},}$$ أين

G = ثابت نيوتن للجاذبية ≈6.674 × 10 ⁻¹¹  م ³ ⋅كغ ⁻¹ ⋅ث ^{−2 ‍ [18 ]}

r = الإحداثي الأسطواني القطري للمسافة من مركز النجم أو الجسم المتكثف مركزيًا

z = الإحداثي الأسطواني للارتفاع/الارتفاع للمسافة من المستوى المتوسط ​​للقرص (أو مركز النجم)

M _* = كتلة النجم/الجسم المتكثف مركزيًا

P = ضغط الغاز في القرص

${\displaystyle \rho }$= كثافة كتلة الغاز في القرص

في تقريب القرص الرقيق،${\displaystyle z\ll r}$والتوازن الهيدروستاتيكي، المعادلة هي ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {dP}{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}\rho z}{r^{3}}}.}$$

لتحديد ضغط الغاز، يمكن استخدام قانون الغاز المثالي : $${\displaystyle P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\bar {m}}}}$$ مع

T = درجة حرارة الغاز في القرص، حيث تكون درجة الحرارة دالة لـ r ، ولكنها مستقلة عن z

${\displaystyle {\bar {m}}}$= متوسط ​​الكتلة الجزيئية للغاز

باستخدام قانون الغاز المثالي ومعادلة التوازن الهيدروستاتيكي، نحصل على $${\displaystyle {\frac {d\rho }{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}{\bar {m}}\rho z}{k_{\text{B}}Tr^{3}}},}$$ والذي يحتوي على الحل $${\displaystyle \rho =\rho _{0}\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{\text{D}}}}\right)^{2}\right),}$$ أين${\displaystyle \rho _{0}}$تمثل كثافة كتلة الغاز عند المستوى المتوسط ​​للقرص على مسافة r من مركز النجم، و${\displaystyle h_{\text{D}}}$يمثل ارتفاع مقياس القرص مع $${\displaystyle h_{\text{D}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM_{*}{\bar {m}}}}}\approx 0.0306{\sqrt {\frac {(T/100~{\text{K}})(r/1~{\text{au}})^{3}}{(M_{*}/M_{\odot })({\bar {m}}/2~{\text{Da}})}}}~{\text{au}},}$$ مع${\displaystyle M_{\odot }}$الكتلة الشمسية ،${\displaystyle {\text{au}}}$الوحدة الفلكية ، و${\displaystyle {\text{Da}}}$ذا دالتون .

كتقريب توضيحي، إذا تجاهلنا التغير القطري في درجة الحرارة${\displaystyle T}$، نرى ذلك${\displaystyle h_{\text{D}}\propto r^{3/2}}$وأن القرص يزداد ارتفاعه كلما ابتعدنا شعاعيًا عن الجسم المركزي.

بسبب افتراض أن درجة حرارة الغاز T في القرص مستقلة عن z ،${\displaystyle h_{\text{D}}}$يُعرف أحيانًا ^{[ 19 ]} باسم ارتفاع مقياس القرص متساوي الحرارة.

يمكن للمجال المغناطيسي في قرص غازي رقيق حول جسم مركزي أن يغير ارتفاع القرص. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} على سبيل المثال، إذا كان قرص غير موصل تمامًا يدور عبر مجال مغناطيسي قطبي (أي أن المجال المغناطيسي الأولي عمودي على مستوى القرص)، فسيتولد مجال مغناطيسي حلقي (أي موازٍ لمستوى القرص) داخل القرص، مما سيؤدي إلى انضغاطه . في هذه الحالة، تكون كثافة الغاز في القرص ^{[ 22 ].}$${\displaystyle \rho (r,z)=\rho _{0}(r)\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{\text{D}}}}\right)^{2}\right)-\rho _{\text{cut}}(r)\left[1-\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{\text{D}}}}\right)^{2}\right)\right],}$$ حيث كثافة القطع${\displaystyle \rho _{\text{cut}}}$له الشكل $${\displaystyle \rho _{\text{cut}}(r)=(\mu _{0}\sigma _{\text{D}}r)^{2}{\frac {B_{z}^{2}}{\mu _{0}}}\left({\frac {\Omega _{*}}{\Omega _{\text{K}}}}-1\right)^{2},}$$ أين

${\displaystyle \mu _{0}}$هي نفاذية الفضاء الحر

${\displaystyle \sigma _{\text{D}}}$هي الموصلية الكهربائية للقرص

${\displaystyle B_{z}}$هي كثافة التدفق المغناطيسي للحقل البوليدي في${\displaystyle z}$اتجاه

${\displaystyle \Omega _{*}}$هي السرعة الزاوية الدورانية للجسم المركزي (إذا كان المجال المغناطيسي القطبي مستقلاً عن الجسم المركزي، فإن${\displaystyle \Omega _{*}}$يمكن ضبطه على الصفر)

${\displaystyle \Omega _{\text{K}}}$هي السرعة الزاوية الكبلرية للقرص عند مسافة${\displaystyle r}$من الجسم المركزي.

تُعطي هذه الصيغ أقصى ارتفاع للقرص الممغنط على النحو التالي: $${\displaystyle H_{\text{B}}=h_{\text{D}}{\sqrt {\ln \left(1+\rho _{0}/\rho _{\text{cut}}\right)}},}$$ بينما يبلغ ارتفاع المقياس المغناطيسي القابل للطي إلكترونياً$${\displaystyle h_{\text{B}}=h_{\text{D}}{\sqrt {\ln \left(1+{\frac {1-1/e}{1/e+\rho _{\text{cut}}/\rho _{0}}}\right)}}.}$$

• ثابت الزمن