تقريب سيجما

في الرياضيات ، تعمل تقنية التقريب σ على تعديل مجموع فورييه لتقليل ظاهرة جيبس ​​بشكل كبير ، والتي قد تحدث عند نقاط عدم الاستمرارية . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يمكن كتابة مجموع مكون من m-1 حد، بتقريب σ، لسلسلة ذات فترة T على النحو التالي:$${\displaystyle s(\theta )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{m-1}\left(\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\right)^{p}\cdot \left[a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)\right],}$$ من حيث دالة sinc المعيارية : $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}.}$$${\displaystyle a_{k}}$و${\displaystyle b_{k}}$تمثل معاملات متسلسلة فورييه النموذجية، و p ، وهو معامل غير سالب، يحدد مقدار التنعيم المطبق، حيث أن القيم الأعلى لـ p تقلل من ظاهرة جيبس ​​ولكنها قد تؤدي إلى تنعيم تمثيل الدالة بشكل مفرط.

على المدى $${\displaystyle \left(\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\right)^{p}}$$ هو عامل لانكزوس σ ، المسؤول عن إزالة معظم ظاهرة جيبس. وهذا يعني أخذ عينات من الجانب الأيمن للفص الرئيسي لـ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$وظيفة لتخفيف معاملات متسلسلة فورييه ذات التردد العالي.

كما هو معروف من خلال مبدأ عدم اليقين ، فإن وجود قطع حاد في مجال التردد (قطع سلسلة فورييه فجأة دون تعديل المعاملات) يتسبب في انتشار واسع للمعلومات في المجال الزمني (ما يعادل كميات كبيرة من الرنين).

ويمكن فهم هذا أيضًا على أنه تطبيق دالة نافذة على معاملات سلسلة فورييه لتحقيق التوازن بين الحفاظ على وقت صعود سريع (على غرار نطاق انتقال ضيق) وكميات صغيرة من الرنين (على غرار توهين نطاق التوقف).

• إعادة أخذ العينات باستخدام لانكزوس