رسم بياني سيمبلكس

في نظرية المخططات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يُعتبر المخطط البسيط κ( G ) للمخطط غير الموجه G مخططًا بحد ذاته، حيث يحتوي على عقدة واحدة لكل زمرة (مجموعة من الرؤوس المتجاورة) في G. وترتبط عقدتان من κ( G ) بحافة عندما تختلف الزمرتان المتناظرتان في وجود أو عدم وجود رأس واحد.

تُعتبر المجموعة الفارغة إحدى الزمر الكاملة في الرسم البياني G ، والتي تُستخدم لتكوين الرسم البياني للزمر الكاملة، وكذلك كل مجموعة من رأس واحد وكل مجموعة من رأسين متجاورين. لذلك، يحتوي الرسم البياني البسيط على تقسيم فرعي للرسم البياني G نفسه . الرسم البياني البسيط للرسم البياني الكامل هو رسم بياني مكعب فائق ، والرسم البياني البسيط للرسم البياني الدوري بطول أربعة أو أكثر هو رسم بياني تروس . الرسم البياني البسيط للرسم البياني المكمل للرسم البياني المساري هو مكعب فيبوناتشي .

يمكن إعطاء الرسوم البيانية الفرعية الكاملة للمخطط G بنية جبر الوسيط : يتكون وسيط ثلاث مجموعات فرعية A و B و C من الرؤوس التي تنتمي إلى أغلبية هذه المجموعات الفرعية الثلاث. ^{[ 1 ]} أي رأسين ينتميان إلى مجموعة الوسيط هذه يجب أن ينتميا إلى واحدة على الأقل من A أو B أو C ، وبالتالي يجب أن يكونا متصلين بحافة، لذا فإن وسيط المجموعات الفرعية الثلاث هو نفسه مجموعة فرعية. مخطط سيمبلكس هو مخطط الوسيط المقابل لبنية جبر الوسيط هذه. عندما يكون G هو المخطط المكمل لمخطط ثنائي الأجزاء ، يمكن إعطاء مجموعات G الفرعية بنية أقوى كشبكة توزيعية ، ^{[ 2 ]} وفي هذه الحالة يكون مخطط سيمبلكس هو مخطط الشبكة. وكما هو الحال بالنسبة لمخططات الوسيط بشكل عام، فإن كل مخطط سيمبلكس هو نفسه ثنائي الأجزاء .

يحتوي الرسم البياني للسيمبلكس على رأس واحد لكل سيمبلكس في مجموعة الزمر X ( G ) من G ، ويرتبط رأسان بحافة عندما يكون أحد السيمبلكسين المتناظرين وجهًا للآخر. وبالتالي، فإن العناصر (الرؤوس في الرسم البياني للسيمبلكس، والسيمبلكسات في X ( G ) ) والعلاقات بين العناصر (الحواف في الرسم البياني للسيمبلكس، وعلاقات التضمين بين السيمبلكسات في X ( G ) ) تتطابق تطابقًا تامًا بين X ( G ) و κ( G ) .

قدّم باندلت وفان دي فيل (1989) [ ^{3 ] مفهوم} الرسوم البيانية البسيطة ، حيث لاحظا أن الرسم البياني البسيط لا يحتوي على مكعبات إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الأساسي خاليًا من المثلثات ، وأظهرا أن العدد اللوني للرسم البياني الأساسي يساوي أصغر عدد n بحيث يمكن تضمين الرسم البياني البسيط بشكل متساوي القياس في حاصل ضرب ديكارتي لـ n شجرة. وكنتيجة لوجود رسوم بيانية خالية من المثلثات ذات عدد لوني عالٍ ، أظهرا وجود جبر وسيط طوبولوجي ثنائي الأبعاد لا يمكن تضمينه في حاصل ضرب عدد محدود من الأشجار الحقيقية . كما استخدم إمريش وكلافزار ومولدر (1999) الرسوم البيانية البسيطة كجزء من برهانهم على أن اختبار ما إذا كان الرسم البياني خاليًا من المثلثات أو ما إذا كان رسمًا بيانيًا وسيطًا يمكن إجراؤه بنفس السرعة.

• باندلت، هـ.-ج.؛ تشيبوي، ف. (2008)، "نظرية الرسم البياني المتري والهندسة: دراسة استقصائية"، في غودمان، ج.إ .؛ باتش، ج.؛ بولاك، ر. (محررون)، دراسات استقصائية حول الهندسة المنفصلة والحسابية: بعد عشرين عامًا ، الرياضيات المعاصرة، المجلد 453، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية  للرياضيات، الصفحات 49-86 .
• باندلت، هـ.-ج.؛ فان دي فيل، م. (1989)، "تضمين الجبر الوسيط الطوبولوجي في نواتج التفرعات" ، وقائع الجمعية الرياضية بلندن ، s3-58 (3): 439-453 ، doi : 10.1112/plms/s3-58.3.439{{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link ) .
• بارتيليمي، جيه-بي؛ لوكلير، بي؛ مونجارديه، بي (1986)، "حول استخدام المجموعات المرتبة في مشاكل مقارنة وتوافق التصنيفات"، مجلة التصنيف ، 3 (2): 187-224 ، doi : 10.1007/BF01894188 ، S2CID 6092438 .
• إمريش، ويلفريد؛ كلافزار، ساندي؛ مولدر، هنري مارتن (1999)، "الرسوم البيانية الوسيطة والرسوم البيانية الخالية من المثلثات"، مجلة SIAM للرياضيات المتقطعة ، 12 (1): 111-118 ، CiteSeerX 10.1.1.28.5906 ، doi : 10.1137/S0895480197323494 ، MR 1666073  .
• بروب، جيمس (1997)، "توليد عناصر عشوائية من الشبكات التوزيعية المحدودة"، المجلة الإلكترونية للتوافقية ، 4 (2) R15، arXiv : math.CO/9801066 ، doi : 10.37236/1330 ، S2CID 13313188 .