طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

تُعدّ طرق العناصر المحدودة المُنعّمة ( S-FEM ) [ 1 ] فئةً خاصةً من خوارزميات المحاكاة العددية لمحاكاة الظواهر الفيزيائية. وقد طُوّرت هذه الطرق بدمج طرق العناصر المحدودة غير الشبكية [ 2 ] مع طريقة العناصر المحدودة . وتُطبّق طرق العناصر المحدودة المُنعّمة على ميكانيكا المواد الصلبة ، وكذلك على ديناميكا الموائع ، مع أنها اقتصرت حتى الآن على تطبيقها في مجال ميكانيكا المواد الصلبة .

وصف

تعتمد الفكرة الأساسية في طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM) على استخدام شبكة العناصر المحدودة (وخاصةً الشبكة المثلثية) لبناء نماذج عددية ذات أداء جيد. ويتحقق ذلك بتعديل مجال الإجهاد المتوافق، أو بناء مجال إجهاد باستخدام الإزاحات فقط، على أمل أن يُقدّم نموذج غاليركين، باستخدام مجال الإجهاد المُعدّل/المُنشأ، خصائص جيدة. يمكن إجراء هذا التعديل/البناء داخل العناصر، ولكن في أغلب الأحيان خارجها (مفاهيم الشبكة الحرة): وذلك بإدخال المعلومات من العناصر المجاورة. وبطبيعة الحال، يجب أن يستوفي مجال الإجهاد شروطًا معينة، ويجب تعديل صيغة غاليركين الضعيفة القياسية وفقًا لذلك لضمان الاستقرار والتقارب. يمكن الاطلاع على مراجعة شاملة لطريقة العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM)، تغطي المنهجية والتطبيقات، في المرجع [ 3 ] ("طرق العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM): نظرة عامة والتطورات الحديثة").

تاريخ

بدأ تطوير طريقة العناصر المحدودة المُضعفة (S-FEM) من أعمال الطرق غير الشبكية، حيث طُوِّرت الصيغة الضعيفة المُضعفة (W2) القائمة على نظرية فضاء G [ 4 ] . تُتيح صيغة W2 إمكانية صياغة نماذج "مرنة" متنوعة (بشكل موحد) تعمل بكفاءة مع الشبكات المثلثية. ولأن الشبكة المثلثية يُمكن توليدها تلقائيًا، يُصبح إعادة تقسيم الشبكة أسهل بكثير، وبالتالي أتمتة عمليات النمذجة والمحاكاة. إضافةً إلى ذلك، يُمكن جعل نماذج W2 مرنة بدرجة كافية (بشكل موحد) لإنتاج حلول ذات حدود عليا (لمسائل القيادة بالقوة). وبالاقتران مع النماذج الصلبة (مثل نماذج العناصر المحدودة المتوافقة تمامًا)، يُمكن تحديد حدود الحل بسهولة من كلا الجانبين. وهذا يُتيح تقدير الخطأ بسهولة للمسائل المعقدة عمومًا، طالما أمكن توليد شبكة مثلثية. ومن النماذج النموذجية لـ W2 طرق الاستيفاء النقطي المُنعَّم (S-PIM). [ 5 ] يمكن أن يكون نموذج S-PIM قائمًا على العقد (يُعرف باسم NS-PIM أو LC-PIM)، [ 6 ] أو قائمًا على الحواف (ES-PIM)، [ 7 ] أو قائمًا على الخلايا (CS-PIM). [ 8 ] طُوِّر نموذج NS-PIM باستخدام تقنية SCNI. [ 9 ] ثم اكتُشف أن نموذج NS-PIM قادر على إنتاج حلول الحد الأعلى دون تقييد الحجم. [ 10 ] وُجد أن نموذج ES-PIM متفوق في الدقة، بينما يتصرف نموذج CS-PIM بين نموذجي NS-PIM وES-PIM. علاوة على ذلك، تسمح صيغ W2 باستخدام دوال الأساس متعددة الحدود والشعاعية في إنشاء دوال الشكل (فهي تستوعب دوال الإزاحة غير المتصلة، طالما أنها في فضاء G1)، مما يفتح آفاقًا أوسع للتطويرات المستقبلية.

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة المُجزأة (S-FEM) نسخةً خطيةً إلى حد كبير من طريقة العناصر المحدودة المُجزأة (S-PIM)، ولكنها تتمتع بمعظم خصائص S-PIM، وهي أبسط بكثير. ولها أيضًا أنواعٌ مختلفةٌ مثل NS-FEM وES-FEM وCS-FEM. ويمكن إيجاد الخاصية الرئيسية لـ S-PIM في S-FEM أيضًا. [ 11 ]

قائمة نماذج S-FEM

التطبيقات

تم تطبيق طريقة العناصر المحدودة S-FEM لحل المشكلات الفيزيائية التالية:

  1. ميكانيكا الهياكل الصلبة والمواد الكهروإجهادية؛ [ 24 ] [ 25 ]
  2. ميكانيكا الكسر وانتشار الشقوق؛ [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]
  3. المسائل غير الخطية ومسائل التلامس؛ [ 30 ] [ 31 ]
  4. التحليل العشوائي؛ [ 32 ]
  5. انتقال الحرارة؛ [ 33 ] [ 34 ]
  6. الصوتيات الهيكلية؛ [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]
  7. التحليل التكيفي؛ [ 38 ] [ 18 ]
  8. تحليل محدود؛ [ 39 ]
  9. نمذجة اللدونة البلورية. [ 40 ]

الصيغة الأساسية لـ S-FEM

تتمثل المشكلة الأساسية التي تعالجها طريقة العناصر المحدودة الانتقائية عادةً في حل معادلة بواسون مع شروط حدودية من نوع ديريشليه، كما يلي:

Δu+f=0 في Ω، و u=g على ΓD

حيث Ω هي المجال و Γ هي حدوده، والتي تتكون من ΓD=Γ. هنا، u: Ω→R هو الحل التجريبي، و f: Ω→R هي دالة معطاة، و g تمثل شروط حدود ديريشليه.

تعتمد طريقة العناصر المحدودة S-FEM على تقسيم المجال Ω باستخدام شبكات العناصر المحدودة، والتي قد تكون عالمية أو محلية. تمثل الشبكة العالمية المجال بأكمله، بينما تُستخدم الشبكة المحلية لتقسيم المناطق التي تتطلب دقة عالية داخل المجال العالمي. يُفترض أن المجال المحلي مُضمن في المجال العالمي (ΩL ⊆ ΩG).

تركيبة ضعيفة

يُشتق الشكل الضعيف للمسألة بضرب المعادلة بدوال اختبار مناسبة وإجراء التكامل على المجال. في طريقة العناصر المحدودة ذات المجال المحدود (SFEM)، يُعبّر عن الشكل الضعيف كما يلي: بمعلومية f و g، أوجد u∈U بحيث يكون لكل w∈V،

aΩ​(w,u)=LΩ​(w)

حيث aΩ هي صيغة ثنائية الخطية، و LΩ هي دالة خطية.

صياغة S-FEM

في طريقة العناصر المحدودة المفردة (S-FEM)، تُعرَّف حلول التجربة u ودوال الاختبار w بشكل منفصل للمجالين العالمي (ΩG) والمحلي (ΩL). وبناءً على ذلك، تُعرَّف فضاءات حلول التجربة UG وUL وفضاءات دوال الاختبار VG وVL. ويصبح الشكل الضعيف في صياغة S-FEM كما يلي:

aΩ′​(w,u)=LΩ′​(w)

حيث أن aΩ′​(⋅,⋅) و LΩ′​(⋅) عبارة عن أشكال ثنائية الخطية معدلة ووظائف خطية، على التوالي، لاستيعاب نهج S-FEM.

التحديات

من أبرز تحديات طريقة العناصر المحدودة المفردة (S-FEM) صعوبة التكامل الدقيق للمصفوفات الفرعية التي تمثل العلاقة بين الشبكات العالمية والمحلية (KGL وKLG). إضافةً إلى ذلك، قد تصبح المصفوفة K منفردة، مما يطرح تحديات عددية في حل المعادلات الجبرية الخطية الناتجة.

تُناقش هذه التحديات والحلول المحتملة بالتفصيل في الأدبيات، بهدف تحسين كفاءة ودقة طريقة العناصر المحدودة (S-FEM) لمختلف التطبيقات. [ 41 ]

B-spline S-FEM (BFSEM)

يمكن لطريقة العناصر المحدودة المتراكبة (S-FEM) نمذجة مجال تحليلي بشكل معقول من خلال تركيب شبكات ذات دقة مكانية مختلفة، وتتميز بمزايا جوهرية تتمثل في الدقة العالية المحلية، ووقت الحساب المنخفض، وإجراءات إنشاء الشبكة البسيطة. ومع ذلك، فإن لها عيوبًا مثل دقة التكامل العددي وتفرد المصفوفة. على الرغم من اقتراح العديد من التقنيات الإضافية للتخفيف من هذه القيود، إلا أنها مكلفة حسابيًا أو مخصصة، وتُضعف من نقاط قوة الطريقة. يمكن معالجة هذه المشكلات من خلال دمج دوال B-spline التكعيبية ذات استمرارية C تربيعية عبر حدود العناصر كدالة أساسية عامة . لتجنب تفرد المصفوفة، يتم تطبيق دوال أساسية مختلفة على شبكات مختلفة. في دراسة حديثة، تم استخدام دوال أساس لاغرانج كدوال أساسية محلية. باستخدام هذه الطريقة، يمكن حساب التكامل العددي بدقة كافية دون أي تقنيات إضافية مستخدمة في طريقة العناصر المحدودة المتراكبة التقليدية. علاوة على ذلك، تتجنب الطريقة المقترحة تفرد المصفوفة وتتفوق على الطرق التقليدية من حيث التقارب لحل المعادلات الخطية. لذلك، فإن الطريقة المقترحة لديها القدرة على تقليل وقت الحساب مع الحفاظ على دقة مماثلة لطريقة العناصر المحدودة التقليدية. [ 41 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ليو، جي آر، 2010، طرق العناصر المحدودة المُنعّمة ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4398-2027-8.
  2. ↑ ليو، جي آر، الطبعة الثانية: 2009، طرق خالية من الشبكة ، مطبعة سي آر سي. 978-1-4200-8209-9
  3. ↑ و. زينغ، ج. ر. ليو. طرق العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM): نظرة عامة وتطورات حديثة. أرشيفات الطرق الحسابية في الهندسة ، 2016، doi: 10.1007/s11831-016-9202-3
  4. ↑ جي آر ليو. نظرية فضاء AG وصيغة ضعيفة مُضعفة (W2) لصياغة موحدة للطرق المتوافقة وغير المتوافقة: الجزء الأول: النظرية، والجزء الثاني: تطبيقات على مسائل ميكانيكا المواد الصلبة. المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، 81: 1093-1126، 2010
  5. ↑ ليو، جي آر، الطبعة الثانية: 2009، طرق خالية من الشبكة ، مطبعة سي آر سي. 978-1-4200-8209-9
  6. ↑ Liu GR, Zhang GY, Dai KY, Wang YY, Zhong ZH, Li GY and Han X, A linearly conforming point interpolation method (LC-PIM) for 2D solid mechanics problems, International Journal of Computational Methods , 2(4): 645-665, 2005.
  7. ↑ جي آر ليو، جي آر تشانغ. طرق استيفاء النقاط الملساء القائمة على الحواف. المجلة الدولية للأساليب الحسابية ، 5(4): 621-646، 2008
  8. ↑ جي آر ليو، جي آر تشانغ. فضاء G معياري وصياغة ضعيفة مخففة (W2) لطريقة استيفاء النقاط الملساء القائمة على الخلايا. المجلة الدولية للأساليب الحسابية ، 6(1): 147-179، 2009
  9. ↑ تشين، جيه إس، وو، سي تي، يون، إس، ويو، واي (2001). تكامل عقدي متوافق مستقر لطرق غاليركين غير الشبكية. المجلة الدولية للأساليب العددية في الهندسة 50: 435-466.
  10. ↑ جي آر ليو وجي واي تشانغ. حل الحد الأعلى لمسائل المرونة: خاصية فريدة لطريقة الاستيفاء النقطي المتوافق خطيًا (LC-PIM). المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، 74: 1128-1161، 2008.
  11. ↑ تشانغ زد كيو، ليو جي آر، الحدود العليا والسفلى للترددات الطبيعية: خاصية من خصائص طرق العناصر المحدودة المُنعّمة، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 84، العدد 2، 149-178، 2010
  12. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H, Lam KY (2009) طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على العقد (NS-FEM) لإيجاد حلول الحد الأعلى لمسائل ميكانيكا المواد الصلبة. الحوسبة والهياكل؛ 87: 14-26.
  13. ↑ Liu GR, Nguyen-Thoi T, Lam KY (2009) طريقة العناصر المحدودة الملساء القائمة على الحواف (ES-FEM) لتحليلات الاهتزاز الساكن والحر والقسري في المواد الصلبة. مجلة الصوت والاهتزاز؛ 320: 1100-1130.
  14. ↑ نغوين-ثوي تي، ليو جي آر، لام كي واي، تشانغ جي واي (2009) طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على الوجوه (FS-FEM) لمسائل ميكانيكا المواد الصلبة ثلاثية الأبعاد الخطية وغير الخطية باستخدام عناصر رباعية الأوجه ذات 4 عقد. المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ؛ 78: 324-353
  15. ↑ ليو جي آر، داي كي واي، نغوين-ثوي تي (2007) طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة لمسائل الميكانيكا. الميكانيكا الحاسوبية؛ 39: 859-877
  16. ↑ داي كي واي، ليو جي آر (2007) تحليل الاهتزاز الحر والقسري باستخدام طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة (SFEM). مجلة الصوت والاهتزاز؛ 301: 803-820.
  17. ↑ داي كي واي، ليو جي آر، نغوين-ثوي تي (2007) طريقة العناصر المحدودة الملساء متعددة الأضلاع ذات n جانب (nSFEM) لميكانيكا المواد الصلبة. العناصر المحدودة في التحليل والتصميم؛ 43: 847-860.
  18. 1 2 لي واي، ليو جي آر، تشانغ جي واي، نهج NS/ES-FEM التكيفي لمسائل التلامس ثنائية الأبعاد باستخدام العناصر المثلثية، العناصر المحدودة في التحليل والتصميم، المجلد 47، العدد 3، 256-275، 2011
  19. ↑ جيانغ سي، تشانغ زد كيو، ليو جي آر، هان إكس، تسنغ دبليو، طريقة العناصر المحدودة الانتقائية الملساء القائمة على الحواف/العقد باستخدام رباعيات الأوجه لأنسجة القلب والأوعية الدموية، التحليل الهندسي باستخدام عناصر الحدود، المجلد 59، 62-77، 2015
  20. ↑ ليو جي آر، نغوين-ثوي تي، لام كي واي (2009) طريقة العناصر المحدودة الجديدة عن طريق تغيير مقياس تدرج الإجهادات بمعامل α (αFEM). الميكانيكا الحسابية؛ 43: 369-391
  21. ↑ ليو جي آر، نغوين-شوان إتش، نغوين-ثوي تي، شو إكس (2009) صيغة ضعيفة جديدة وطريقة العناصر المحدودة ألفا فائقة التقارب (SαFEM) لمسائل الميكانيكا باستخدام الشبكات المثلثية. مجلة الفيزياء الحاسوبية ؛ 228: 4055-4087
  22. ↑ Zeng W, Liu GR, Li D, Dong XW (2016) تقنية تنعيم تعتمد على طريقة العناصر المحدودة بيتا (βFEM) لنمذجة اللدونة البلورية. الحوسبة والهياكل؛ 162: 48-67
  23. ↑ Zeng W, Liu GR, Jiang C, Nguyen-Thoi T, Jiang Y (2016) طريقة العناصر المحدودة بيتا المعممة مع تقنيات التنعيم المقترنة لميكانيكا المواد الصلبة. التحليل الهندسي باستخدام عناصر الحدود ؛ 73: 103-119
  24. ↑ كوي إكس واي، ليو جي آر، لي جي واي، وآخرون. صياغة الصفيحة الرقيقة بدون درجات حرية الدوران بناءً على طريقة الاستيفاء النقطي الشعاعي والخلايا المثلثية، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 85، العدد 8، 958-986، 2011
  25. ↑ ليو جي آر، نغوين شوان إتش، نغوين ثوي تي، دراسة نظرية حول نماذج العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM): الخصائص والدقة ومعدلات التقارب، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 84، العدد 10، 1222-1256، 2010
  26. ↑ ليو جي آر، نوربخشنيا إن، تشانغ واي دبليو، طريقة جديدة لمحاكاة حقول الإجهاد المفردة بالقرب من أطراف الشقوق لمشاكل الكسر الخطي، ميكانيكا كسر الهندسة، المجلد 78، العدد 6، الصفحات 863-876، 2011
  27. ↑ ليو جي آر، تشين إل، نغوين-ثوي تي، وآخرون. طريقة جديدة للعناصر المحدودة الملساء القائمة على العقدة المفردة (NS-FEM) لإيجاد حلول الحد الأعلى لمسائل الكسر، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 83، العدد 11، 1466-1497، 2010
  28. ↑ Zeng W, Liu GR, Kitamura Y, Nguyen-Xuan H. "طريقة العناصر المحدودة ثلاثية الأبعاد ES-FEM لحل مشاكل ميكانيكا الكسر في المواد الصلبة المرنة"، هندسة ميكانيكا الكسر، المجلد 114، 127-150، 2013
  29. ↑ Zeng W, Liu GR, Jiang C, Dong XW, Chen HD, Bao Y, Jiang Y. "طريقة فعالة لتحليل الكسور تعتمد على تقنية التكامل لإغلاق الشقوق الافتراضية المطبقة في CS-FEM"، النمذجة الرياضية التطبيقية ، المجلد 40، العدد: 5-6، 3783-3800، 2016
  30. ↑ Zhang ZQ, Liu GR, طريقة العناصر المحدودة الملساء القائمة على الحواف (ES-FEM) باستخدام عناصر مثلثية ثلاثية العقد للتحليل غير الخطي ثلاثي الأبعاد للهياكل الغشائية المكانية، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 86، العدد 2، الصفحات 135-154، 2011
  31. ↑ جيانغ سي، ليو جي آر، هان إكس، تشانغ زد كيو، تسنغ دبليو، طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة لتحليل التشوه الكبير غير المتجانس لبطينات الأرانب السلبية في الانبساط، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة الطبية الحيوية ، المجلد 31، العدد: 1، 1-25، 2015
  32. ↑ ليو جي آر، زينغ دبليو، نغوين شوان إتش. طريقة العناصر المحدودة المعممة القائمة على الخلايا العشوائية (GS_CS-FEM) لميكانيكا المواد الصلبة، العناصر المحدودة في التحليل والتصميم، المجلد 63، 51-61، 2013
  33. ↑ Zhang ZB, Wu SC, Liu GR, et al. مشاكل انتقال الحرارة العابرة غير الخطية باستخدام طريقة ES-PIM الخالية من الشبكة، المجلة الدولية للعلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، المجلد 11، العدد 12، 1077-1091، 2010
  34. ↑ وو إس سي، ليو جي آر، كوي إكس واي، وآخرون. طريقة استيفاء النقاط الملساء القائمة على الحواف (ES-PIM) لتحليل انتقال الحرارة في نظام التصنيع السريع، المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة ، المجلد 53، العدد: 9-10، 1938-1950، 2010
  35. ↑ هي زد سي، تشنغ إيه جي، تشانغ جي واي، وآخرون. تقليل خطأ التشتت في المسائل الصوتية باستخدام طريقة العناصر المحدودة الملساء القائمة على الحواف (ES-FEM)، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 86، العدد 11، الصفحات 1322-1338، 2011
  36. ↑ هي زد سي، ليو جي آر، تشونغ زد إتش، وآخرون. طريقة ES-FEM/BEM المقترنة لمشاكل تفاعل الموائع مع الهياكل، التحليل الهندسي باستخدام عناصر الحدود، المجلد 35، العدد 1، 140-147، 2011
  37. ↑ تشانغ زد كيو، ليو جي آر، الحدود العليا والسفلى للترددات الطبيعية: خاصية من خصائص طرق العناصر المحدودة المُنعّمة، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 84، العدد 2، 149-178، 2010
  38. ↑ نغوين-ثوي تي، ليو جي آر، نغوين-شوان إتش، وآخرون. التحليل التكيفي باستخدام طريقة العناصر المحدودة الملساء القائمة على العقد (NS-FEM)، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة الطبية الحيوية ، المجلد 27، العدد 2، 198-218، 2011
  39. ↑ تران تي إن، ليو جي آر، نغوين شوان إتش، وآخرون. طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة القائمة على الحواف لتحليل استقرار الهياكل الأولية والثنائية، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة ، المجلد 82، العدد 7، 917-938، 2010
  40. ↑ Zeng W, Larsen JM, Liu GR. نمذجة العناصر المحدودة للمواد البلورية باستخدام تقنية التنعيم، المجلة الدولية لللدونة، المجلد 65، 250-268، 2015
  41. 1 2 ماغومي، نوزومي؛ موريتا، ناوكي؛ كانيكو، شيغيكي؛ ميتسومي، ناوتو (يناير 2024). "نسخة s ذات استمرارية أعلى من طريقة العناصر المحدودة باستخدام دوال B-spline". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 497 112593. arXiv : 2310.04011 . Bibcode : 2024JCoPh.49712593M . doi : 10.1016/j.jcp.2023.112593 . ISSN 0021-9991 .