التوزيع الطبيعي المنفصل

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، ينتج التوزيع الطبيعي المنقسم، المعروف أيضًا بالتوزيع الطبيعي ذي الجزأين، عن ضم النصفين المتناظرين لتوزيعين طبيعيين لهما نفس المنوال ولكن بتباينين ​​مختلفين ، وذلك عند المنوال. ويزعم جونسون وآخرون ^{[ 1 ]} أن هذا التوزيع قد طُرح بواسطة جيبونز وميلروي ^{[ 2 ]} وجون ^{[ 3 ]} . إلا أن هذين الاكتشافين هما اثنان من بين عدة اكتشافات مستقلة لقانون جاوس المزدوج (Zweiseitige Gauss'sche Gesetz) الذي طُرح في كتاب "Kollektivmasslehre" (1897) ^{[ 4 ]} الذي نُشر بعد وفاة غوستاف تيودور فيشنر (1801-1887)، انظر واليس (2014) ^{[ 5 ] . وقد ظهر اكتشاف آخر مؤخرًا في مجلة مالية [ 6 ]} .

ينشأ التوزيع الطبيعي المنقسم من دمج نصفين متقابلين من دالتي كثافة الاحتمال (PDFs) للتوزيعات الطبيعية في نمطهما المشترك .

يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي المنفصل بواسطة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})={\begin{cases}A\exp \left(-{\dfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[1ex]A\exp \left(-{\dfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

أين

${\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.}$

الصيغة المذكورة أعلاه مأخوذة من جون. ^{[ 3 ]} وتقدم المراجع العلمية بديلين متكافئين رياضياً في تحديد المعلمات. يقدم بريتون وفيشر وويتلي ^{[ 8 ]} نموذجاً للمعلمات بدلالة المنوال والتشتت والالتواء المعياري، ويرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )}$المعامل μ هو المنوال، وهو مكافئ للمنوال في صيغة جون. أما المعامل σ² ^> 0 فيشير إلى التشتت (المقياس)، ويجب عدم الخلط بينه وبين التباين. المعامل الثالث، γ ∈ (-1,1)، هو الانحراف المعياري.

يُستخدم النموذج البديل الثاني في مراسلات بنك إنجلترا ، وهو مكتوب بدلالة النمط والتشتت والالتواء غير المعياري، ويُرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )}$في هذه الصيغة، يُمثل المعامل μ المنوال، وهو مطابق لما ورد في صيغة جون ^{[ 3 ]} وصيغة بريتون وفيشر وويتلي ^{[ 8 ]} . أما المعامل σ² ^فيُشير إلى التشتت (المقياس)، وهو نفسه في صيغة بريتون وفيشر وويتلي. بينما يُساوي المعامل ξ الفرق بين متوسط ​​التوزيع ومنواله، ويمكن اعتباره مقياسًا غير معياري للالتواء.

إنّ المعاملات الثلاثة متكافئة رياضياً، ما يعني وجود علاقة وثيقة بين المعاملات وإمكانية الانتقال من معامل إلى آخر. وتتحقق العلاقات التالية: ^{[ 9 ]}

$\begin{aligned}\sigma^2&=\sigma_1^2(1+\gamma)=\sigma_2^2(1-\gamma)\\\gamma&=\frac{\sigma_2^2-\sigma_1^2}{\sigma_2^2+\sigma_1^2}}}\\\xi&=\sqrt{2/\pi}(\sigma_2-\sigma_1)\\\gamma&=\operatorname{sgn}(\xi){\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{1+2\beta}-1}{\beta}\right)^2}}},\quad{\text{حيث}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

اقترح فيلاني ولارسون تعميمًا متعدد المتغيرات للتوزيع الطبيعي المنفصل. ^{[ 10 ]} يفترضون أن كل مكون من المكونات الرئيسية له توزيع طبيعي منفصل أحادي المتغير مع مجموعة مختلفة من المعلمات μ و _σ2 و _σ1 .

يقترح جون ^{[ 3 ]} تقدير المعلمات باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى . ويُبين أن دالة الاحتمال يُمكن التعبير عنها بصيغة مكثفة، حيث تكون معلمات المقياس σ1 _و σ2 _دالةً لمعلمة الموقع μ. ويكون الاحتمال في صيغته المكثفة كما يلي:

${\displaystyle L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}}$

ويجب تعظيمها عدديًا فيما يتعلق بمعامل واحد فقط μ.

بالنظر إلى مقدر الاحتمال الأقصى${\displaystyle {\hat {\mu }}}$تأخذ المعلمات الأخرى قيمًا:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

حيث N هو عدد المشاهدات.

يقترح فيلاني ولارسون ^{[ 10 ]} استخدام إما طريقة الاحتمال الأقصى أو التقدير البايزي ويقدمان بعض النتائج التحليلية لكل من الحالة أحادية المتغير ومتعددة المتغيرات.

يُستخدم التوزيع الطبيعي المنفصل بشكل رئيسي في الاقتصاد القياسي وسلاسل الزمن. ومن أبرز مجالات تطبيقه إنشاء مخطط المروحة ، وهو تمثيل لتوزيع توقعات التضخم التي تُصدرها البنوك المركزية المعنية باستهداف التضخم حول العالم. ^{[ 7 ] [ 11 ]}