مصفوفة قياسية

في نظرية الترميز ، المصفوفة القياسية (أو مصفوفة سليبيان) هي${\displaystyle q^{nk}}$بواسطة${\displaystyle q^{k}}$مصفوفة تسرد جميع عناصر عنصر معين${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$الفضاء المتجهي . تُستخدم المصفوفات القياسية لفك تشفير الرموز الخطية ؛ أي لإيجاد الكلمة المشفرة المقابلة لأي متجه مُستلم.

المصفوفة القياسية لرمز [ n , k ] هي${\displaystyle q^{nk}}$بواسطة${\displaystyle q^{k}}$المصفوفة حيث:

1. يسرد الصف الأول جميع الكلمات السرية (مع وجود الكلمة السرية 0 في أقصى اليسار)
2. كل صف هو مجموعة مشاركة ، ويكون قائد المجموعة المشاركة في العمود الأول.
3. المدخل الموجود في الصف i والعمود j هو مجموع قائد المجموعة المشتركة i والكلمة المشفرة j.

على سبيل المثال، الرمز [ 5 ، 2 ]${\displaystyle C_{3}}$= { 0 , 01101, 10110, 11011} لها مصفوفة قياسية كما يلي:

ما سبق هو مجرد احتمال واحد للمصفوفة القياسية؛ لو تم اختيار 00011 كقائد المجموعة المشاركة الأول ذي الوزن اثنين، لكانت مصفوفة قياسية أخرى تمثل الكود قد تم إنشاؤها.

يحتوي الصف الأول على المتجه 0 وكلمات الترميز الخاصة بـ${\displaystyle C_{3}}$( حيث أن الصفر نفسه كلمة رمزية). كذلك، يحتوي العمود الأيسر على متجهات الوزن الأدنى ، حيث يتم تعداد متجهات الوزن 1 أولاً ثم متجهات الوزن 2. كما يظهر كل متجه ممكن في فضاء المتجهات مرة واحدة فقط.

بما أن كل متجه ممكن لا يمكن أن يظهر إلا مرة واحدة في المصفوفة القياسية، يجب توخي الحذر أثناء إنشائها. يمكن إنشاء مصفوفة قياسية كما يلي:

1. اذكر الكلمات السرية لـ${\displaystyle C}$، بدءًا من 0 ، كأول صف
2. اختر أي متجه ذي وزن أدنى غير موجود بالفعل في المصفوفة. اكتب هذا المتجه كأول عنصر في الصف التالي. يُشار إلى هذا المتجه باسم " قائد المجموعة المشتركة" .
3. املأ الصف بإضافة قائد المجموعة المشاركة إلى كلمة الترميز في أعلى كل عمود. يصبح مجموع قائد المجموعة المشاركة رقم i وكلمة الترميز رقم j هو المدخل في الصف i، العمود j.
4. كرر الخطوتين 2 و 3 حتى يتم سرد جميع الصفوف/المجموعات المشاركة ويظهر كل متجه مرة واحدة بالضبط.

يتم جمع المتجهات بتردد q. على سبيل المثال، يتم جمع الرموز الثنائية بتردد 2 (وهو ما يعادل عملية الجمع XOR على مستوى البتات). على سبيل المثال، في${\displaystyle Z_{2}}$، 11000 + 11011 = 00011.

إن اختيار قادة مجموعات المشاركة المختلفة سيؤدي إلى إنشاء مصفوفة قياسية مختلفة قليلاً ولكنها مكافئة، ولن يؤثر على النتائج عند فك التشفير.

لفك تشفير متجه باستخدام مصفوفة قياسية، اطرح متجه الخطأ - أو قائد المجموعة المشتركة - من المتجه المستلم. ستكون النتيجة إحدى الكلمات المشفرة في${\displaystyle C}$على سبيل المثال، لنفترض أننا نستخدم الرمز C = {0000, 1011, 0101, 1110}، وقد أنشأنا المصفوفة القياسية المقابلة، كما هو موضح في المثال أعلاه. إذا تلقينا المتجه 0110 كرسالة، فسنجد هذا المتجه في المصفوفة القياسية. ثم نطرح قائد المجموعة المشاركة للمتجه، وهو 1000، لنحصل على النتيجة 1110. وبذلك نكون قد تلقينا كلمة الترميز 1110.

يُعد فك التشفير باستخدام مصفوفة قياسية شكلاً من أشكال فك التشفير باستخدام أقرب جار . عمليًا، يتطلب فك التشفير باستخدام مصفوفة قياسية مساحة تخزين كبيرة - فالرمز المكون من 32 كلمة رمزية يتطلب مصفوفة قياسية بسعة${\displaystyle 2^{32}}$المدخلات. أما أشكال فك التشفير الأخرى، مثل فك تشفير المتلازمة ، فهي أكثر كفاءة.

لا يضمن فك التشفير باستخدام المصفوفة القياسية فك تشفير جميع المتجهات بشكل صحيح. فإذا استقبلنا المتجه 1010، فإن استخدام المصفوفة القياسية المذكورة أعلاه سيفك تشفير الرسالة إلى 1110، وهي مسافة رمزية تساوي 1. ومع ذلك، فإن 1010 تبعد أيضًا مسافة 1 عن الرمز 1011. في مثل هذه الحالة، قد تطلب بعض التطبيقات إعادة إرسال الرسالة، أو قد يتم وضع علامة على البت الغامض كحذف، وقد يقوم رمز خارجي لاحق بتصحيحه. هذا الغموض هو سبب آخر لاستخدام طرق فك تشفير مختلفة في بعض الأحيان.

• الكود الخطي

• هيل، ريموند (1986). مدخل إلى نظرية الترميز . سلسلة أكسفورد للرياضيات التطبيقية وعلوم الحاسوب. مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-853803-5.