جدول التوزيع الطبيعي القياسي

في الإحصاء ، يُعرف جدول التوزيع الطبيعي القياسي ، أو جدول التوزيع الطبيعي الموحد ، أو جدول Z ، ^{[ 1 ]} بأنه جدول رياضي لقيم $Φ$ ، وهي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي . يُستخدم هذا الجدول لإيجاد احتمالية ظهور إحصائية ما أسفل أو أعلى أو بين قيم التوزيع الطبيعي القياسي، وبالتالي، أي توزيع طبيعي. ولأن جداول الاحتمالات لا يمكن طباعتها لكل توزيع طبيعي، نظرًا لوجود عدد لا نهائي من التوزيعات الطبيعية، فمن الشائع تحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي قياسي (يُعرف باسم قيمة Z )، ثم استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي لإيجاد الاحتمالات. ^[²^]

التوزيع الطبيعي والتوزيع الطبيعي القياسي

التوزيعات الطبيعية هي توزيعات متماثلة على شكل جرس، وهي مفيدة في وصف بيانات العالم الحقيقي. التوزيع الطبيعي القياسي ، الذي يُرمز له بـ $Z$ ، هو التوزيع الطبيعي الذي يكون متوسطه صفرًا وانحرافه المعياري واحدًا.

تحويل

إذا كان $X$ متغيرًا عشوائيًا من توزيع طبيعي بمتوسط $μ$ وانحراف معياري $σ$ ، فيمكن حساب قيمة Z الخاصة به من $X$ عن طريق طرح $μ$ والقسمة على الانحراف المعياري:

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}

لو ${\overline {X}}$ هو متوسط عينة حجمها $n$ من مجتمع إحصائي ما، حيث المتوسط هو $μ$ والانحراف المعياري هو $σ$ ، والخطأ المعياري هو ⁠ ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:$ ⁠

Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

لو ${\textstyle \sum X}$ يمثل مجموع عينة حجمها $n$ من مجتمع إحصائي ما، حيث المتوسط $μ$ والانحراف المعياري $σ$ ، والمجموع المتوقع $nμ$ والخطأ المعياري ⁠ $\sigma {\sqrt {n}}:$ ⁠

Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}

قراءة جدول Z

التنسيق / التخطيط

تتكون جداول $Z عادةً على النحو التالي:$

يحتوي تصنيف الصفوف على الجزء الصحيح وأول منزلة عشرية من $Z.$
يحتوي عنوان الأعمدة على المنزلة العشرية الثانية من $Z.$
تمثل القيم الموجودة في الجدول الاحتمالات المقابلة لنوع الجدول. وتُحسب هذه الاحتمالات من خلال حساب المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي من نقطة البداية (0 للتوزيع التراكمي من المتوسط ، و- ما لا نهاية للتوزيع التراكمي ، و+ ما لا نهاية للتوزيع التراكمي التكميلي ) إلى $Z.$

مثال: لإيجاد 0.69 ، ينظر المرء إلى أسفل الصفوف للعثور على 0.6 ثم عبر الأعمدة إلى 0.09 مما سيعطي احتمالًا قدره 0.25490 للجدول التراكمي من المتوسط أو 0.75490 من الجدول التراكمي .

لإيجاد قيمة سالبة مثل -0.83 ، يمكن للمرء استخدام جدول تراكمي للقيم السالبة z ^{[ 3 ]} والتي تعطي احتمالًا قدره 0.20327 .

لكن بما أن منحنى التوزيع الطبيعي متناظر، فإن الاحتمالات تُعطى عادةً للقيم الموجبة فقط لـ $Z.$ وقد يحتاج المستخدم إلى استخدام عملية تكميلية على القيمة المطلقة لـ $Z$ ، كما في المثال أدناه.

أنواع الجداول

$تستخدم جداول Z$ ثلاثة اصطلاحات مختلفة على الأقل:

التراكمي من المتوسط: يُعطي احتمال أن تكون قيمة إحصائية ما بين 0 (المتوسط) و $Z.$ مثال: $Prob(0 \leq Z \leq 0.69) = 0.2549$ .
التراكمي: يُعطي هذا الاحتمال أن تكون قيمة إحصائية ما أقل من $Z.$ وهذا يُعادل مساحة التوزيع أسفل $Z.$ مثال: $Prob(Z \leq 0.69) = 0.7549$ .
تراكمي تكميلي: يُعطي هذا الاحتمال أن تكون قيمة إحصائية ما أكبر من Z. $وهذا$ يُعادل مساحة التوزيع فوق $Z.$; مثال: أوجد $احتمال (Z \geq 0.69)$ . بما أن هذا يمثل الجزء من المساحة فوق $Z$ ، فإن النسبة الأكبر من $Z$ تُحسب بطرح $Z$ من 1. أي أن $احتمال (Z \geq 0.69) = 1 - احتمال (Z \leq 0.69)$ أو $احتمال (Z \geq 0.69) = 1 - 0.7549 = 0.2451$ .

أمثلة على الجداول

تراكمي من سالب ما لا نهاية إلى Z

يوضح هذا الجدول احتمال أن تكون الإحصائية بين سالب ما لا نهاية و $Z.$

f(z)=\Phi (z)

يتم حساب القيم باستخدام دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي بمتوسط يساوي صفرًا وانحراف معياري يساوي واحدًا، ويرمز إليه عادةً بالحرف اليوناني الكبير $\Phi$ ( فاي )، هو التكامل

\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty}^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt

$\Phi$ (z) مرتبط بدالة الخطأ ، أو $erf(z)$ .

\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]

لاحظ أنه بالنسبة لـ $z = 1، 2، 3$ ، يحصل المرء (بعد الضرب في 2 لحساب الفترة $[- z ، z]$ ) على النتائج $f (z) = 0.6827، 0.9545، 0.9974$ ، وهي سمة مميزة لقاعدة 68-95-99.7 .

التراكمي (أقل من Z)

يوضح هذا الجدول احتمال أن تكون الإحصائية أقل من $Z$ (أي بين سالب ما لا نهاية و $Z$ ).

z	-0.00	-0.01	-0.02	-0.03	-0.04	-0.05	-0.06	-0.07	-0.08	-0.09
-3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003
-3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
-3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
-3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
-3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
-3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024
-3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
-3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
-3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
-3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00104	0.00100
-2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139
-2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
-2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
-2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
-2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
-2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639
-2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
-2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
-2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
-2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02068	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
-1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330
-1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
-1.7	0.04457	0.04363	0.04272	0.04182	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
-1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
-1.5	0.06681	0.06552	0.06426	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592

-1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07215	0.07078	0.06944	0.06811
-1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08692	0.08534	0.08379	0.08226
-1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09853
-1.1	0.13567	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
-1.0	0.15866	0.15625	0.15386	0.15151	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786

-0.9	0.18406	0.18141	0.17879	0.17619	0.17361	0.17106	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109
-0.8	0.21186	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
-0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23270	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21770	0.21476
-0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26435	0.26109	0.25785	0.25463	0.25143	0.24825	0.24510
-0.5	0.30854	0.30503	0.30153	0.29806	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28096	0.27760

-0.4	0.34458	0.34090	0.33724	0.33360	0.32997	0.32636	0.32276	0.31918	0.31561	0.31207
-0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36693	0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34827
-0.2	0.42074	0.41683	0.41294	0.40905	0.40517	0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38591
-0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433	0.44038	0.43644	0.43251	0.42858	0.42465
-0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48405	0.48006	0.47608	0.47210	0.46812	0.46414
z	-0.00	-0.01	-0.02	-0.03	-0.04	-0.05	-0.06	-0.07	-0.08	-0.09

z	+ 0.00	+ 0.01	+ 0.02	+ 0.03	+ 0.04	+ 0.05	+ 0.06	+ 0.07	+ 0.08	+ 0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56360	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793

0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891

1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189

1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670

2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361

2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983
3.6	0.99984	0.99985	0.99985	0.99986	0.99986	0.99987	0.99987	0.99988	0.99988	0.99989
3.7	0.99989	0.99990	0.99990	0.99990	0.99991	0.99991	0.99992	0.99992	0.99992	0.99992
3.8	0.99993	0.99993	0.99993	0.99994	0.99994	0.99994	0.99994	0.99995	0.99995	0.99995
3.9	0.99995	0.99995	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99996	0.99997	0.99997

z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09

^{[ 4 ]}

تراكمي تكميلي

يوضح هذا الجدول احتمال أن تكون قيمة إحصائية ما أكبر من $Z.$ $f(z)=1-\Phi (z)$

z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09
0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48405	0.48006	0.47608	0.47210	0.46812	0.46414
0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433	0.44038	0.43640	0.43251	0.42858	0.42465
0.2	0.42074	0.41683	0.41294	0.40905	0.40517	0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38591
0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36693	0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34827
0.4	0.34458	0.34090	0.33724	0.33360	0.32997	0.32636	0.32276	0.31918	0.31561	0.31207

0.5	0.30854	0.30503	0.30153	0.29806	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28096	0.27760
0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26435	0.26109	0.25785	0.25463	0.25143	0.24825	0.24510
0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23270	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21770	0.21476
0.8	0.21186	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
0.9	0.18406	0.18141	0.17879	0.17619	0.17361	0.17106	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109

1.0	0.15866	0.15625	0.15386	0.15151	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786
1.1	0.13567	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09853
1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08692	0.08534	0.08379	0.08226
1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07215	0.07078	0.06944	0.06811

1.5	0.06681	0.06552	0.06426	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592
1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
1.7	0.04457	0.04363	0.04272	0.04182	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330

2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02068	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639

2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139

3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00104	0.00100
3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024

3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003

4.0	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00002	0.00002	0.00002	0.00002

^{[ 5 ]} يعطي هذا الجدول احتمال أن تكون الإحصائية أكبر من $Z$ $Z$ الصحيحة الكبيرة.

z	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0	5.000 00 × 10 ⁻¹	1.586 55 × 10 ⁻¹	2.275 01 × 10 ⁻²	1.349 90 × 10 ⁻³	3.167 12 × 10 ⁻⁵	2.866 52 × 10 ⁻⁷	9.865 88 × 10 ⁻¹⁰	1.279 81 × 10 ⁻¹²	6.220 96 × 10 ⁻¹⁶	1.128 59 × 10 ⁻¹⁹
10	7.619 85 × 10 ⁻²⁴	1.910 66 × 10 ⁻²⁸	1.776 48 × 10 ⁻³³	6.117 16 × 10 ⁻³⁹	7.793 54 × 10 ⁻⁴⁵	3.670 97 × 10 ⁻⁵¹	6.388 75 × 10 ⁻⁵⁸	4.106 00 × 10 ⁻⁶⁵	9.740 95 × 10 ⁻⁷³	8.527 22 × 10 ⁻⁸¹
20	2.753 62 × 10 ⁻⁸⁹	3.279 28 × 10 ⁻⁹⁸	1.439 89 × 10 ⁻¹⁰⁷	2.330 64 × 10 ⁻¹¹⁷	1.390 39 × 10 ⁻¹²⁷	3.056 70 × 10 ⁻¹³⁸	2.476 06 × 10 ⁻¹⁴⁹	7.389 48 × 10 ⁻¹⁶¹	8.123 87 × 10 ⁻¹⁷³	3.289 79 × 10 ⁻¹⁸⁵
30	4.906 71 × 10 ⁻¹⁹⁸	2.695 25 × 10 ⁻²¹¹	5.452 08 × 10 ⁻²²⁵	4.061 19 × 10 ⁻²³⁹	1.113 90 × 10 ⁻²⁵³	1.124 91 × 10 ⁻²⁶⁸	4.182 62 × 10 ⁻²⁸⁴	5.725 57 × 10 ⁻³⁰⁰	2.885 43 × 10 ⁻³¹⁶	5.353 12 × 10 ⁻³³³
40	3.655 89 × 10 ⁻³⁵⁰	9.190 86 × 10 ⁻³⁶⁸	8.505 15 × 10 ⁻³⁸⁶	2.897 07 × 10 ⁻⁴⁰⁴	3.632 24 × 10 ⁻⁴²³	1.676 18 × 10 ⁻⁴⁴²	2.846 99 × 10 ⁻⁴⁶²	1.779 76 × 10 ⁻⁴⁸²	4.094 84 × 10 ⁻⁵⁰³	3.467 43 × 10 ⁻⁵²⁴
50	1.080 60 × 10 ⁻⁵⁴⁵	1.239 37 × 10 ⁻⁵⁶⁷	5.231 27 × 10 ⁻⁵⁹⁰	8.126 06 × 10 ⁻⁶¹³	4.645 29 × 10 ⁻⁶³⁶	9.772 37 × 10 ⁻⁶⁶⁰	7.565 47 × 10 ⁻⁶⁸⁴	2.155 34 × 10 ⁻⁷⁰⁸	2.259 62 × 10 ⁻⁷³³	8.717 41 × 10 ⁻⁷⁵⁹
60	1.237 57 × 10 ⁻⁷⁸⁴	6.465 17 × 10 ⁻⁸¹¹	1.242 83 × 10 ⁻⁸³⁷	8.791 46 × 10 ⁻⁸⁶⁵	2.288 36 × 10 ⁻⁸⁹²	2.191 80 × 10 ⁻⁹²⁰	7.724 76 × 10 ⁻⁹⁴⁹	1.001 78 × 10 ⁻⁹⁷⁷	4.780 41 × 10 ⁻¹⁰⁰⁷	8.393 74 × 10 ⁻¹⁰³⁷
70	5.423 04 × 10 ⁻¹⁰⁶⁷	1.289 21 × 10 ⁻¹⁰⁹⁷	1.127 71 × 10 ⁻¹¹²⁸	3.629 60 × 10 ⁻¹¹⁶⁰	4.298 41 × 10 ⁻¹¹⁹²	1.873 02 × 10 ⁻¹²²⁴	3.003 02 × 10 ⁻¹²⁵⁷	1.771 55 × 10 ⁻¹²⁹⁰	3.845 30 × 10 ⁻¹³²⁴	3.071 02 × 10 ⁻¹³⁵⁸

انظر أيضاً

مراجع

↑ "جدول Z. تاريخ جدول Z. درجة Z" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2018 .
^ لارسون ، رون. فاربر، إليزابيث (2004). الإحصائيات الأولية: تصوير العالم . 清华大学出版社. ص. 214. ردمك 7-302-09723-2.
↑ "كيفية استخدام جدول Z" . ztable.io . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 يناير 2023 .
↑ 0.5 + كل قيمة في الجدول التراكمي من جدول
↑ 0.5 - كل قيمة في جدول المتوسط التراكمي (من 0 إلى Z)

روابط خارجية

جدول قابل للطباعة (من جامعة أريزونا ، الولايات المتحدة الأمريكية)

[1] "جدول Z. تاريخ جدول Z. درجة Z" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2018 .

[2] لارسون ، رون. فاربر، إليزابيث (2004). الإحصائيات الأولية: تصوير العالم . 清华大学出版社. ص. 214. ردمك 7-302-09723-2.

[3] "كيفية استخدام جدول Z" . ztable.io . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 يناير 2023 .

[4] 0.5 + كل قيمة في الجدول التراكمي من جدول

[5] 0.5 - كل قيمة في جدول المتوسط التراكمي (من 0 إلى Z)

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]