رقم العصا

في النظرية الرياضية للعقد ، يُعدّ عدد العصي ثابتًا للعقدة ، وهو يُعطي بشكل بديهي أقل عدد من "العصي" المستقيمة المتصلة من طرف إلى طرف اللازمة لتشكيل عقدة. على وجه التحديد، بالنظر إلى أي عقدة${\displaystyle K}$، رقم العصا${\displaystyle K}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {stick} (K)}$، هو أصغر عدد من حواف المسار المضلع المكافئ لـ${\displaystyle K}$ومن الكميات ذات الصلة عدد العصي متساوية الأضلاع ، وهو أصغر عدد من الحواف المتساوية الطول اللازمة لتكوين عقدة. ولا يُعرف حاليًا ما إذا كان عدد العصي متساوية الأضلاع هو نفسه عدد العصي لكل عقدة.

ستة هو أقل عدد للعُقد لأي عقدة غير بسيطة. هناك عدد قليل من العقد التي يمكن تحديد عدد عُقدها بدقة. وقد حدد غيو تايك جين عدد عُقدة عقدة واحدة.${\displaystyle (p,q)}$- عقدة حلقية${\displaystyle T(p,q)}$في حالة المعلمات${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$ليست بعيدة جداً عن بعضها البعض: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {stick} (T(p,q))=2q}$، لو${\displaystyle 2\leq p<q\leq 2p.}$

توصلت مجموعة بحثية بقيادة كولين آدامز إلى النتيجة نفسها بشكل مستقل في نفس الوقت تقريبًا ، ولكن ضمن نطاق أصغر من المعايير. ^{[ 2 ]}

توجد بعض العُقد التي يتساوى فيها الحد الأعلى والحد الأدنى لعدد العُقد، بحيث يكون عدد العُقد معروفًا بدقة. تشمل هذه العُقد 3 ₁ (عدد العُقد فيها 6)، و4 ₁ (7)، وجميع العُقد المتقاطعة من 5 و6 (8)، وجميع العُقد المتقاطعة من 7 (9). كما أن العُقد المتقاطعة من 16 إلى 21 في تدوين ألكسندر-بريجز (8 أو 9)، والعُقد المتقاطعة من 29 و34 و35 ومن 39 إلى 49 (9)، و10 ₁₂₄ (10، وهي عقدة حلقية) لها أعداد تقاطع معروفة. وهناك 19 عقدة إضافية غير متناوبة من 11 و13 عقدة متقاطعة، عدد العُقد فيها 10 بالضبط. ^{[ 3 ]}

يمكن تحديد الحد الأعلى لعدد العصا لمجموع العقدة بواسطة أعداد العصا للمكونات: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,}$$

رقم العصا للعقدة${\displaystyle K}$يرتبط ذلك برقم التقاطع${\displaystyle c(K)}$من خلال المتباينات التالية: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).}$$

تكون هذه المتباينات محكمة بالنسبة لعقدة البرسيم الثلاثية ، التي يبلغ عدد التقاطعات فيها 3 وعدد العصي فيها 6. ولا ينطبق الحد الأعلى لعدد العصي على العقدة غير المكتملة ، التي يبلغ عدد التقاطعات فيها 0 ولكن عدد العصي فيها 3.

يمكن رسم العقد باستخدام عدد أقل من القطع المستقيمة مما يوحي به عددها الظاهر. هذه الرسوم البيانية عبارة عن خدع بصرية، وتتطلب تمثيلات ثلاثية الأبعاد لهذه العقد انحناء الخطوط الظاهرة. مثال على ذلك النجمة الخماسية المتشابكة ذات الخمسة أجزاء ، وهي رسم بياني صحيح لعقدة البرسيم، لكن لا يمكن تمثيلها باستخدام قطع مستقيمة. يلزم ستة قطع مستقيمة على الأقل لتمثيل عقدة البرسيم.

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "الرقم العصوي" ، عالم الرياضيات
• " أرقام العصي لعقد العصي الدنيا "، موقع أبحاث وتطوير KnotPlot .