نظام هاميلتوني فائق التكامل

في الرياضيات، يُعرف النظام الهاميلتوني فائق التكامل بأنه نظام هاميلتوني على${\displaystyle 2n}$مشعب تماثلي ذو أبعاد n تتحقق فيه الشروط التالية:

(أ) يوجد${\displaystyle k>n}$التكاملات المستقلة${\displaystyle F_{i}}$من الحركة. تشكل أسطحها المستوية (المشعبات الفرعية الثابتة) مشعبًا ليفيًا${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$على مجموعة فرعية مفتوحة متصلة${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k}}$.

(ii) توجد دوال حقيقية ملساء${\displaystyle s_{ij}}$على${\displaystyle N}$بحيث يكون قوس بواسون لتكاملات الحركة كما يلي: ${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}$.

(iii) دالة المصفوفة ${\displaystyle s_{ij}}$هو ذو رتبة ثابتة${\displaystyle m=2n-k}$على${\displaystyle N}$.

لو${\displaystyle k=n}$هذه حالة نظام هاميلتوني قابل للتكامل تمامًا . تعمم نظرية ميشينكو-فومينكو للأنظمة الهاميلتونية فائقة التكامل نظرية ليوفيل-أرنولد المتعلقة بإحداثيات الفعل والزاوية لنظام هاميلتوني قابل للتكامل تمامًا على النحو التالي.

لتكن الشعب الفرعية الثابتة لنظام هاميلتوني فائق التكامل متصلة ومتراصة ومتماثلة تماثلاً متبادلاً. عندئذٍ، الشعبة الليفية${\displaystyle F}$هي حزمة ألياف في حلقات${\displaystyle T^{m}}$يوجد حي مفتوح${\displaystyle U}$ ل${\displaystyle F}$وهي حزمة ألياف بسيطة مزودة بإحداثيات الحزمة (زاوية الفعل المعممة)${\displaystyle (I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})}$، ${\displaystyle A=1,\ldots ,m}$،${\displaystyle i=1,\ldots ,nm}$بحيث${\displaystyle (\phi ^{A})}$إحداثيات على${\displaystyle T^{m}}$هذه الإحداثيات هي إحداثيات داربو على مشعب تماثلي${\displaystyle U}$يعتمد هاميلتونيان النظام فائق التكامل فقط على متغيرات الفعل.${\displaystyle I_{A}}$وهي دوال كازيمير لبنية بواسون المستحثة المشتركة على${\displaystyle F(U)}$.

تم تعميم نظرية ليوفيل -أرنولد للأنظمة القابلة للتكامل تمامًا ونظرية ميشينكو-فومينكو للأنظمة فائقة التكامل لتشمل حالة المشعبات الفرعية الثابتة غير المدمجة. وهي متماثلة شكليًا مع أسطوانة حلقية.${\displaystyle T^{mr}\times \mathbb {R} ^{r}}$.

• نظام قابل للتكامل
• إحداثيات زاوية الفعل
• ميكانيكيو نامبو
• متجه لابلاس-رونج-لينز
• موتر فرادكين

• ميشينكو، أ.، فومينكو، أ.، طريقة ليوفيل المعممة لتكامل الأنظمة الهاميلتونية، التحليل الوظيفي وتطبيقاته 12 (1978) 113. doi : 10.1007/BF01076254
• بولسينوف، أ.، جوفانوفيتش، ب.، التكامل غير التبادلي، خريطة العزم والتدفقات الجيوديسية، حوليات التحليل العالمي والهندسة 23 (2003) 305؛ arXiv : math-ph/0109031 .
• فاسو، ف.، أنظمة هاميلتونية فائقة التكامل: الهندسة والاضطرابات، مجلة أكتا أبلايد ماث. 87 (2005) 93. doi : 10.1007/s10440-005-1139-8
• فيوراني، إي.، سارداناشفيلي، جي. ، إحداثيات الزاوية-الفعل العالمية للأنظمة القابلة للتكامل تمامًا مع مشعبات ثابتة غير مضغوطة، مجلة الفيزياء الرياضية 48 (2007) 032901؛ arXiv : math/0610790 .
• ميلر، دبليو، الابن، بوست، إس، وينترنيتز، بي، التكامل الفائق الكلاسيكي والكمي مع التطبيقات، مجلة الفيزياء أ 46 (2013)، العدد 42، 423001، doi : 10.1088/1751-8113/46/42/423001 arXiv : 1309.2694
• جياكيتا، جي.، مانجياروتي، إل.، سارداناشفيلي، جي. ، الأساليب الهندسية في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية (دار النشر العالمية، سنغافورة، 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv : 1303.5363 .