وظيفة فوق نمطية

في الرياضيات، الدالة فوق المعيارية هي دالة على شبكة تتميز، بشكل غير رسمي، بخاصية "تزايد الفروق". ومن منظور دوال المجموعات ، يمكن اعتبار ذلك علاقة "تزايد العوائد"، حيث تؤدي إضافة المزيد من العناصر إلى مجموعة فرعية إلى زيادة قيمتها. في الاقتصاد ، تُستخدم الدوال فوق المعيارية غالبًا كتعبير رسمي عن التكامل في تفضيلات السلع. تُدرس الدوال فوق المعيارية ولها تطبيقات في نظرية الألعاب ، والاقتصاد ، ونظرية الشبكات ، والتحسين التوافقي ، والتعلم الآلي .

يترك${\displaystyle (X,\preceq )}$لتكن شبكة . دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم "فوق معياري" إذا ${\displaystyle f(x\vee y)+f(x\wedge y)\geq f(x)+f(y)}$

للجميع${\displaystyle x,y\in X}$[ ^{1 ]​}

إذا كانت المتباينة صارمة، فإن${\displaystyle f}$هو نمط فائق الوحدات بشكل صارم${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle -f}$إذا كانت الدالة f فائقة التجميع (بشكل صارم)، فإنها تُسمى شبه تجميعية (بشكل صارم) . أما الدالة التي تكون شبه تجميعية وفائقة التجميع في آنٍ واحد، فتُسمى تجميعية . وهذا يُقابل تحويل المتباينة إلى مساواة.

يمكننا أيضًا تعريف الدوال فوق المعيارية حيث تكون الشبكة الأساسية هي الفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم الدالة ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$تكون فائقة التعديل إذا

${\displaystyle f(x\uparrow y)+f(x\downarrow y)\geq f(x)+f(y)}$

للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$، أين${\displaystyle x\uparrow y}$يشير إلى القيمة القصوى لكل عنصر و${\displaystyle x\downarrow y}$الحد الأدنى لكل مكون من${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر، فإن خاصية التفرع الفائق تعادل الشرط ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\,\partial z_{j}}}\geq 0{\mbox{ لجميع }}i\neq j.}$

يُستخدم مفهوم التفرع الفائق في العلوم الاجتماعية لتحليل كيفية تأثير قرار أحد الفاعلين على حوافز الآخرين.

لنفترض لعبة متناظرة ذات دالة عائد سلسة${\displaystyle \,f}$تم تحديد الإجراءات${\displaystyle \,z_{i}}$من لاعبين اثنين أو أكثر${\displaystyle i\in {1,2,\dots ,N}}$لنفترض أن فضاء الأفعال متصل؛ ولتبسيط الأمر، لنفترض أن كل فعل يتم اختياره من فترة زمنية محددة:${\displaystyle z_{i}\in [a,b]}$في هذا السياق، خاصية التفرع المعياري لـ${\displaystyle \,f}$يشير ذلك إلى زيادة في عدد اللاعبين${\displaystyle \,i}$اختيار${\displaystyle \,z_{i}}$يزيد من العائد الهامشي${\displaystyle df/dz_{j}}$العمل${\displaystyle \,z_{j}}$بالنسبة لجميع اللاعبين الآخرين${\displaystyle \,j}$أي إذا كان أي لاعب${\displaystyle \,i}$يختار أعلى${\displaystyle \,z_{i}}$جميع اللاعبين الآخرين${\displaystyle \,j}$لديهم حافز لزيادة خياراتهم${\displaystyle \,z_{j}}$كذلك. ووفقًا لمصطلحات بولو، وجيناكوبولوس ، وكليمبرر (1985)، يُطلق الاقتصاديون على هذه الحالة اسم التكامل الاستراتيجي ، لأن استراتيجيات اللاعبين تُكمّل بعضها بعضًا. ^{[ 3 ]} هذه هي الخاصية الأساسية التي تقوم عليها أمثلة التوازنات المتعددة في ألعاب التنسيق . ^{[ 4 ]}

الحالة المعاكسة للوحدات الفائقة لـ${\displaystyle \,f}$تُعرف هذه الظاهرة باسم "النمطية الفرعية"، وهي تُشير إلى حالة الاستبدال الاستراتيجي . وتؤدي الزيادة في${\displaystyle \,z_{i}}$يقلل من العائد الهامشي لجميع خيارات اللاعبين الآخرين${\displaystyle \,z_{j}}$لذا فإن الاستراتيجيات بدائل. هذا إذا${\displaystyle \,i}$يختار أعلى${\displaystyle \,z_{i}}$، لدى اللاعبين الآخرين حافز لاختيار خيار أقل${\displaystyle \,z_{j}}$.

على سبيل المثال، يدرس بولو وآخرون تفاعلات العديد من الشركات التي تعمل في سوق تنافسية غير كاملة . فعندما تؤدي زيادة إنتاج إحدى الشركات إلى رفع الإيرادات الحدية للشركات الأخرى، تُعتبر قرارات الإنتاج مكملة استراتيجية. أما عندما تؤدي زيادة إنتاج إحدى الشركات إلى خفض الإيرادات الحدية للشركات الأخرى، فتُعتبر قرارات الإنتاج بديلة استراتيجية.

غالباً ما ترتبط دالة المنفعة فوق المعيارية بالسلع التكميلية . ومع ذلك، فإن هذا الرأي محل خلاف. ^{[ 5 ]}

يمكن تعريف خاصية التجميع الفائق أيضًا لدوال المجموعات ، وهي دوال معرفة على مجموعات جزئية من مجموعة أكبر. ويمكن إعادة صياغة العديد من خصائص دوال المجموعات شبه التجميعية لتنطبق على دوال المجموعات التجميعية الفائقة.

بشكل بديهي، تُظهر الدالة فوق المعيارية على مجموعة من المجموعات الجزئية "عوائد متزايدة". وهذا يعني أنه إذا تم تخصيص عدد حقيقي لكل مجموعة جزئية يُقابل قيمتها، فإن قيمة المجموعة الجزئية ستكون دائمًا أقل من قيمة مجموعة جزئية أكبر تحتوي عليها. أو بعبارة أخرى، كلما أضفنا عناصر إلى مجموعة، زادت قيمتها.

توجد تقنيات متخصصة لتحسين الدوال شبه المعيارية. يمكن الاطلاع على نظرية وخوارزميات تعداد لإيجاد القيم العظمى (الصغرى) المحلية والعالمية للدوال شبه المعيارية (الفائقة المعيارية) في كتاب "تعظيم الدوال شبه المعيارية: النظرية وخوارزميات التعداد"، بقلم ب. غولدينغوري. ^{[ 7 ]}

• دالة شبه منطقية
• نظرية توبكيس
• دالة المجموعة الفرعية
• مادة مضافة فائقة
• دوال المنفعة على السلع غير القابلة للتجزئة