أساليب التناظر

في الرياضيات، تُعدّ طرق التناظر خوارزميات لتحويل مجموعة${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$إلى كرة${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{n}}$بنفس الحجم${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (A)}$ويتمركز عند نقطة الأصل. يُطلق على B اسم النسخة المتناظرة من A ، ويُرمز لها عادةً بـ${\displaystyle A^{*}}$تظهر هذه الخوارزميات في حل مسألة متباينة المحيط المتساوي الكلاسيكية ، والتي تسأل: بالنظر إلى جميع الأشكال ثنائية الأبعاد لمنطقة معينة، أيها له أصغر محيط (للمزيد من التفاصيل، انظر متباينة المحيط المتساوي ). كان الجواب المفترض هو القرص، وقد أثبت شتاينر في عام 1838 صحة ذلك باستخدام طريقة شتاينر للتناظر (الموصوفة أدناه). ومن هذا انبثقت العديد من مسائل المحيط المتساوي الأخرى وخوارزميات التناظر الأخرى. على سبيل المثال، تنص فرضية رايلي على أن القيمة الذاتية الأولى لمسألة ديريشليه تكون في أدنى قيمة لها بالنسبة للكرة (انظر متباينة رايلي-فابر-كراهن للمزيد من التفاصيل). ومن المسائل الأخرى أن السعة النيوتونية لمجموعة A تكون في أدنى قيمة لها بواسطة${\displaystyle A^{*}}$وقد أثبت ذلك بوليا وج. سيجو (1951) باستخدام التناظر الدائري (الموصوف أدناه).

لو${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$إذا كان قابلاً للقياس، فإنه يُرمز إليه بـ${\displaystyle \Omega ^{*}}$النسخة المتناظرة من$أوميغا$أي كرة${\displaystyle \Omega ^{*}:=B_{r}(0)\subset \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle \operatorname {vol} (\Omega ^{*})=\operatorname {vol} (\Omega )}$نرمز بـ${\displaystyle f^{*}}$إعادة الترتيب المتناقص المتناظر للدالة القابلة للقياس غير السالبة f، ونعرفها على النحو التالي:${\displaystyle f^{*}(x):=\int _{0}^{\infty }1_{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)\,dt}$، أين${\displaystyle \{y:f(y)>t\}^{*}}$هي النسخة المتناظرة من مجموعة الصور الأصلية${\displaystyle \{y:f(y)>t\}}$لقد ثبت أن الطرق الموضحة أدناه قادرة على التحويل$أوميغا$ل${\displaystyle \Omega ^{*}}$أي بالنظر إلى سلسلة من تحويلات التناظر${\displaystyle \{T_{k}\}}$هنالك${\displaystyle \lim \limits _{k\to \infty }d_{Ha}(\Omega ^{*},T_{k}(K))=0}$، أين${\displaystyle d_{Ha}}$هي مسافة هاوسدورف (للمناقشة والإثباتات انظر بورشارد (2009) )

تم تقديم تناظر شتاينر بواسطة شتاينر (1838) لحل نظرية المحيط المتساوي المذكورة أعلاه.${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ليكن مستوىً فائقًا يمر بنقطة الأصل. قم بتدوير الفضاء بحيث${\displaystyle H}$هو${\displaystyle x_{n}=0}$(${\displaystyle x_{n}}$الإحداثي رقم n في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) المستوى الفائق. لكل${\displaystyle x\in H}$دع الخط العمودي يمر${\displaystyle x\in H}$يكون${\displaystyle L_{x}=\{x+ye_{n}:y\in \mathbb {R} \}}$ثم باستبدال كل${\displaystyle \Omega \cap L_{x}}$بواسطة خط مركزه عند النقطة H وطوله${\displaystyle |\Omega \cap L_{x}|}$نحصل على النسخة المتناظرة لستاينر.

${\displaystyle \operatorname {St} (\Omega ):=\{x+ye_{n}:x+ze_{n}\in \Omega {\text{ لبعض }}z{\text{ و }}|y|\leq {\frac {1}{2}}|\Omega \cap L_{x}|\}.}$

ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {St} (f)}$التناظر الستاينري فيما يتعلق بـ${\displaystyle x_{n}=0}$المستوى الفائق للدالة القابلة للقياس غير السالبة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ولأجل ثابت${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}}$عرّفها على النحو التالي:

${\displaystyle St:f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},\cdot )\mapsto (f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},\cdot ))^{*}.}$

إحدى الطرق الشائعة لتحقيق التناظر في المستوى هي تناظر بوليا الدائري. فيما يلي، سيتم شرح تعميمها إلى أبعاد أعلى.${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ليكن مجالًا؛ ثم تناظره الدائري${\displaystyle \operatorname {Circ} (\Omega )}$فيما يتعلق بالمحور الحقيقي الموجب، يُعرَّف كما يلي: ليكن

${\displaystyle \Omega _{t}:=\{\theta \in [0,2\pi ]:te^{i\theta }\in \Omega \}}$

أي تحتوي على أقواس نصف قطرها t الموجودة في${\displaystyle \Omega }$وهكذا يتم تعريفها

• لو${\displaystyle \Omega _{t}}$إذن، هذه هي الدائرة الكاملة.${\displaystyle \operatorname {Circ} (\Omega )\cap \{|z|=t\}:=\{|z|=t\}}$.
• إذا كان الطول${\displaystyle m(\Omega _{t})=\alpha }$، ثم${\displaystyle \operatorname {Circ} (\Omega )\cap \{|z|=t\}:=\{te^{i\theta }:|\theta |<{\frac {\alpha }{2}}\}}$.
• ${\displaystyle 0,\infty \in \operatorname {Circ} (\Omega )}$إذا${\displaystyle 0,\infty \in \Omega }$.

في أبعاد أعلى${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$، وتناظرها الكروي${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )}$بالنسبة للمحور الموجب لـ${\displaystyle x_{1}}$يُعرَّف على النحو التالي: ليكن ${\displaystyle \Omega _{r}:=\{x\in \mathbb {S} ^{n-1}:rx\in \Omega \}}$ أي تحتوي على أغطية نصف قطرها r الموجودة في${\displaystyle \Omega }$كذلك، بالنسبة للإحداثي الأول، لنفترض${\displaystyle \operatorname {angle} (x_{1}):=\theta }$لو${\displaystyle x_{1}=rcos\theta }$وكما سبق ذكره.

• لو${\displaystyle \Omega _{r}}$إذا كان هذا هو الحد الأقصى،${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )\cap \{|z|=r\}:=\{|z|=r\}}$.
• إذا كانت مساحة السطح${\displaystyle m_{s}(\Omega _{t})=\alpha }$، ثم${\displaystyle Sp^{n}(\Omega )\cap \{|z|=r\}:=\{x:|x|=r}$و${\displaystyle 0\leq \operatorname {angle} (x_{1})\leq \theta _{\alpha }\}=:C(\theta _{\alpha })}$أين${\displaystyle \theta _{\alpha }}$يتم اختيارها بحيث تكون مساحة سطحها${\displaystyle m_{s}(C(\theta _{\alpha })=\alpha }$بكلمات أخرى،${\displaystyle C(\theta _{\alpha })}$غطاء متناظر حول المحور الموجب${\displaystyle x_{1}}$بنفس مساحة التقاطع${\displaystyle \Omega \cap \{|z|=r\}}$.
• ${\displaystyle 0,\infty \in Sp^{n}(\Omega )}$إذا${\displaystyle 0,\infty \in \Omega }$.

يترك${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$أن يكون نطاقًا و${\displaystyle H^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ليكن مستوىً فائقًا يمر بنقطة الأصل. ويرمز إلى الانعكاس عبر هذا المستوى إلى نصف الفضاء الموجب.${\displaystyle \mathbb {H} ^{+}}$مثل${\displaystyle \sigma _{H}}$أو فقط${\displaystyle \sigma }$عندما يكون ذلك واضحًا من السياق. كذلك، الانعكاس${\displaystyle \Omega }$يُعرَّف عبر المستوى الفائق H على النحو التالي:${\displaystyle \sigma \Omega }$ثم، الاستقطاب${\displaystyle \Omega }$يُشار إليه بـ${\displaystyle \Omega ^{\sigma }}$وتم تعريفها على النحو التالي

• لو${\displaystyle x\in \Omega \cap \mathbb {H} ^{+}}$، ثم${\displaystyle x\in \Omega ^{\sigma }}$.
• لو${\displaystyle x\in \Omega \cap \sigma (\Omega )\cap \mathbb {H} ^{-}}$، ثم${\displaystyle x\in \Omega ^{\sigma }}$.
• لو${\displaystyle x\in (\Omega \setminus \sigma (\Omega ))\cap \mathbb {H} ^{-}}$، ثم${\displaystyle \sigma x\in \Omega ^{\sigma }}$.

بالكلمات،${\displaystyle (\Omega \setminus \sigma (\Omega ))\cap \mathbb {H} ^{-}}$ينعكس ببساطة إلى نصف الفضاء${\displaystyle \mathbb {H} ^{+}}$. اتضح أن هذا التحويل يمكن أن يقارب التحويلات المذكورة أعلاه (في مسافة هاوسدورف ) (انظر بروك وسولينين (2000) ).

• بورشارد، ألموت (2009). "دورة مختصرة في متباينات إعادة الترتيب" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه في 1 نوفمبر 2015 .
• بروك، فريدمان؛ سولينين، ألكسندر (2000)، "مقاربة للتناظر عبر الاستقطاب."، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 352 (4): 1759-1796 ، doi : 10.1090/S0002-9947-99-02558-1 ، MR 1695019 
• كوجار، توماس (2015). "الحركة البراونية والتناظر". arXiv : 1505.01868 [ math.PR ].
• مورغان، فرانك (2009). "التناظر" . تم الاسترجاع في 1 نوفمبر 2015 .