تحليل رتبة الموتر

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 128 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر متعدد الخطوط ، يُعرف تحليل رتبة الموتر [ 1 ] أو تحليل الرتبة R بأنه تحليل الموتر إلى مجموع R من الموترات ذات الرتبة 1، حيث R هي أصغر قيمة. ولا يزال حساب هذا التحليل مسألة مفتوحة.

يُعدّ تحليل التفكيك متعدد الحدود الكنسي (CPD) أحد أنواع تحليل رتبة الموتر، حيث يُقارب الموتر كمجموع K من موترات الرتبة 1، حيث يحدد المستخدم قيمة K. وقد وُجدت تطبيقات لتحليل CP في اللغويات والكيمياء القياسية . قدّمه فرانك لورين هيتشكوك عام 1927 [ 2 ] ، ثم أُعيد اكتشافه عدة مرات لاحقًا، لا سيما في علم القياس النفسي. [ 3 ] [ 4 ] يُشار إلى تحليل CP بالاختصارات CANDECOMP [ 3 ] وPARAFAC [ 4 ] أو CANDECOMP/PARAFAC (CP). تجدر الإشارة إلى أن تحليل رتبة PARAFAC2 هو أحد أنواع تحليل CP. [ 5 ]

هناك تعميم شائع آخر لتحليل القيم المفردة للمصفوفة يُعرف باسم تحليل القيم المفردة من الرتبة العليا، والذي يحسب مصفوفات الوضع المتعامد وقد وجد تطبيقات في الاقتصاد القياسي ومعالجة الإشارات ورؤية الكمبيوتر ورسومات الكمبيوتر وعلم القياس النفسي .

الترميز

يُشار إلى المتغير القياسي بأحرف صغيرة مائلة،أ{\displaystyle a}ويُشار إلى الحد الأعلى للكمية العددية بحرف كبير مائل،أ{\displaystyle A}.

يتم تمثيل المؤشرات بمزيج من الأحرف الصغيرة والكبيرة المائلة،1≤أنا≤أنا{\displaystyle 1\leq i\leq I}تُستخدم المؤشرات المتعددة التي قد يصادفها المرء عند الإشارة إلى الأنماط المتعددة للموتر بشكل ملائم للدلالة على1≤أنام≤أنام{\displaystyle 1\leq i_{m}\leq I_{m}}أين 1≤م≤م{\displaystyle 1\leq m\leq M}.

يُرمز للمتجه بحرف روماني صغير غامق،أ{\displaystyle \mathbf {a} }ويُشار إلى المصفوفة بأحرف كبيرة غامقةأ{\displaystyle \mathbf {A} }.

يُشار إلى الموتر ذي الرتبة الأعلى بأحرف خطية،أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}عنصر منم{\displaystyle M}موتر من الرتبة -أ∈جأنا1×أنا2×...أنام×...أنام{\displaystyle {\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \dots I_{m}\times \dots I_{M}}}يُرمز إليه بـأأنا1،أنا2،...،أنام،...أنام{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m},\dots i_{M}}}أوأأنا1،أنا2،...،أنام،...أنام{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m},\dots i_{M}}}.

تعريف

موتر البياناتأ∈Fأنا0×أنا1×...×أناج{\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathbb {F} }^{I_{0}\times I_{1}\times \ldots \times I_{C}}} هي مجموعة من الملاحظات متعددة المتغيرات مُنظمة في مصفوفة ذات M بُعد، حيث M = C + 1. يمكن تمثيل كل موتر بحجم مناسب.R{\displaystyle R}كمزيج خطي منR{\displaystyle R}الموترات من الرتبة 1:

أ=∑ر=1Rλرأ0،ر⊗أ1،ر⊗أ2،ر⋯⊗أج،ر⊗⋯⊗أج،ر،{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{r=1}^{R}\lambda _{r}\mathbf {a} _{0,r}\otimes \mathbf {a} _{1,r}\otimes \mathbf {a} _{2,r}\dots \otimes \mathbf {a} _{c,r}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{C,r},}

أينλر∈F{\displaystyle \lambda _{r}\in {\mathbb {F} }}وأم،ر∈Fأنام{\displaystyle \mathbf {a} _{m,r}\in {\mathbb {F} }^{I_{m}}}أين1≤م≤م{\displaystyle 1\leq m\leq M}عندما يكون عدد الحدودR{\displaystyle R}إذا كانت القيمة الدنيا في التعبير أعلاه،R{\displaystyle R}يُطلق على رتبة الموتر اسم رتبة الموتر، ويُشار إلى هذا التحليل غالبًا باسم تحليل رتبة الموتر ، أو تحليل CP الأدنى ، أو تحليل متعدد الحدود الكنسي (CPD) . إذا لم يكن عدد الحدود أدنى، يُشار إلى التحليل المذكور أعلاه غالبًا باسم CANDECOMP/PARAFAC ، أي تحليل متعدد الحدود .

رتبة الموتر

على عكس حالة المصفوفات، فإن حساب رتبة الموتر يُعدّ مسألة صعبة من نوع NP . [ 6 ] الحالة الوحيدة الجديرة بالذكر والمفهومة جيدًا هي حالة الموترات فيFأنام⊗Fأنان⊗F2{\displaystyle F^{I_{m}}\otimes F^{I_{n}}\otimes F^{2}}ويمكن الحصول على رتبته من الشكل الطبيعي لـ Kronecker - Weierstrass لحزمة المصفوفة الخطية التي يمثلها الموتر. [ 7 ] توجد خوارزمية بسيطة ذات زمن متعدد الحدود للتحقق من أن الموتر من الرتبة 1، وهي تحليل القيم المفردة من الرتبة العليا .

رتبة موتر الأصفار هي صفر حسب الاصطلاح. رتبة الموترأ1⊗⋯⊗أم{\displaystyle \mathbf {a} _{1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}}هو واحد، بشرط أنأم∈Fأنام∖{0}{\displaystyle \mathbf {a} _{m}\in F^{I_{m}}\setminus \{0\}}.

الاعتماد على المجال

تعتمد رتبة الموتر على الحقل الذي يُحلل إليه. من المعروف أن بعض الموترات الحقيقية قد تقبل تحليلًا معقدًا تكون رتبته أقل تمامًا من رتبة التحليل الحقيقي لنفس الموتر. على سبيل المثال، [ 8 ] لننظر إلى الموتر الحقيقي التالي

أ=x1⊗x2⊗x3+x1⊗y2⊗y3-y1⊗x2⊗y3+y1⊗y2⊗x3،{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3}+\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}-\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}+\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3},}

أينxأنا،yج∈R2{\displaystyle \mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{j}\in \mathbb {R} ^{2}}من المعروف أن رتبة هذا الموتر على الأعداد الحقيقية هي 3، بينما رتبته المركبة هي 2 فقط لأنه مجموع موتر مركب رتبته 1 مع مرافقه المركب ، أي

أ=12(z¯1⊗z2⊗z¯3+z1⊗z¯2⊗z3)،{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}({\bar {\mathbf {z} }}_{1}\otimes \mathbf {z} _{2}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{3}+\mathbf {z} _{1}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{2}\otimes \mathbf {z} _{3}),}

أينzك=xك+أناyك{\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {x} _{k}+i\mathbf {y} _{k}}.

في المقابل، لن تنخفض رتبة المصفوفات الحقيقية أبدًا في ظل امتداد الحقل إلىج{\displaystyle \mathbb {C} }: تتطابق رتبة المصفوفة الحقيقية ورتبة المصفوفة المركبة بالنسبة للمصفوفات الحقيقية.

الرتبة العامة

الرتبة العامةر(أنا1،...،أنام){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}يُعرَّف بأنه أدنى رتبةر{\displaystyle r}بحيث يكون الإغلاق في طوبولوجيا زاريسكي لمجموعة الموترات ذات الرتبة على الأكثرر{\displaystyle r}المساحة بأكملهاFأنا1⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}في حالة الموترات المركبة، تكون الموترات ذات الرتبة على الأكثرر(أنا1،...،أنام){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}تشكيل مجموعة كثيفةS{\displaystyle S}كل موتر في الفضاء المذكور إما أن يكون من رتبة أقل من الرتبة العامة، أو أنه يمثل نهاية في الطوبولوجيا الإقليدية لسلسلة من الموترات منS{\displaystyle S}في حالة الموترات الحقيقية، تكون مجموعة الموترات ذات الرتبة على الأكثرر(أنا1،...،أنام){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}لا تُشكّل المجموعة المفتوحة ذات القياس الموجب في الطوبولوجيا الإقليدية إلا مجموعةً مفتوحةً ذات قياس موجب. قد توجد مجموعات إقليدية مفتوحة من الموترات ذات رتبة أعلى من الرتبة العامة. تُسمى جميع الرتب التي تظهر على المجموعات المفتوحة في الطوبولوجيا الإقليدية بالرتب النموذجية . تُسمى أصغر رتبة نموذجية بالرتبة العامة؛ وينطبق هذا التعريف على كلٍّ من الموترات المركبة والحقيقية. دُرست الرتبة العامة لفضاءات الموترات لأول مرة عام ١٩٨٣ على يد فولكر ستراسن . [ ٩ ]

كمثال توضيحي للمفاهيم المذكورة أعلاه، من المعروف أن كلاً من 2 و3 رتبتان نموذجيتان منR2⊗R2⊗R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}بينما الرتبة العامة لـج2⊗ج2⊗ج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}هو 2. عمليًا، هذا يعني أن موترًا حقيقيًا تم أخذ عينة منه عشوائيًا (من مقياس احتمالية مستمر على فضاء الموترات) بحجم2×2×2{\displaystyle 2\times 2\times 2}سيكون موترًا من الرتبة 1 باحتمالية صفر، وموترًا من الرتبة 2 باحتمالية موجبة، وموترًا من الرتبة 3 باحتمالية موجبة. من ناحية أخرى، سيكون موتر مركب تم اختياره عشوائيًا من نفس الحجم موترًا من الرتبة 1 باحتمالية صفر، وموترًا من الرتبة 2 باحتمالية واحد، وموترًا من الرتبة 3 باحتمالية صفر. ومن المعروف أيضًا أن الموتر الحقيقي العام من الرتبة 3 فيR2⊗R2⊗R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}سيكون من رتبة معقدة تساوي 2.

تعتمد الرتبة العامة لفضاءات الموترات على التمييز بين فضاءات الموترات المتوازنة وغير المتوازنة. فضاء الموتراتFأنا1⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}، أينأنا1≥أنا2≥⋯≥أنام{\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}يُطلق عليه اسم غير متوازن كلما

أنا1>1+∏م=2مأنام-∑م=2م(أنام-1)،{\displaystyle I_{1}>1+\prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1),}

وإلا فإنه يُسمى متوازناً .

فضاءات الموترات غير المتوازنة

عندما يكون العامل الأول كبيرًا جدًا مقارنةً بالعوامل الأخرى في حاصل الضرب الموتري، فإن فضاء الموترات يتصرف أساسًا كفضاء مصفوفي. ومن المعروف أن الرتبة العامة للموترات الموجودة في فضاءات الموترات غير المتوازنة تساوي

ر(أنا1،...،أنام)=مين{أنا1،∏م=2مأنام}{\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})=\min \left\{I_{1},\prod _{m=2}^{M}I_{m}\right\}}

في كل مكان تقريبًا . وبشكل أدق، رتبة كل موتر في فضاء موترات غير متوازنFأنا1×⋯×أنام∖Z{\displaystyle F^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}\setminus Z}، أينZ{\displaystyle Z}هي مجموعة مغلقة غير محددة في طوبولوجيا زاريسكي، وتساوي القيمة المذكورة أعلاه. [ 10 ]

فضاءات الموتر المتوازنة

الرتبة العامة المتوقعة للموترات الموجودة في فضاء موترات متوازن تساوي

رهـ(أنا1،...،أنام)=⌈ΠΣ+1⌉{\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})=\left\lceil {\frac {\Pi }{\Sigma +1}}\right\rceil }

في كل مكان تقريبًا بالنسبة للموترات المركبة، وعلى مجموعة مفتوحة إقليدية بالنسبة للموترات الحقيقية، حيث

Π=∏م=1مأناموΣ=∑م=1م(أنام-1).{\displaystyle \Pi =\prod _{m=1}^{M}I_{m}\quad {\text{and}}\quad \Sigma =\sum _{m=1}^{M}(I_{m}-1).}

وبشكل أدق، رتبة كل موتر فيجأنا1×⋯×أنام∖Z{\displaystyle \mathbb {C} ^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}\setminus Z}، أينZ{\displaystyle Z}إذا كانت مجموعة مغلقة غير محددة في طوبولوجيا زاريسكي ، فمن المتوقع أن تساوي القيمة المذكورة أعلاه. [ 11 ] بالنسبة للموترات الحقيقية،رهـ(أنا1،...،أنام){\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}هي أقل رتبة يُتوقع ظهورها على مجموعة من المقاييس الإقليدية الموجبة. القيمةرهـ(أنا1،...،أنام){\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}يُشار إليه غالبًا باسم الرتبة العامة المتوقعة لفضاء الموترFأنا1×⋯×أنام{\displaystyle F^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}}لأنه صحيحٌ على سبيل التخمين فقط. من المعروف أن الرتبة العامة الحقيقية تُحقق دائمًا

ر(أنا1،...،أنام)≥رهـ(أنا1،...،أنام).{\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})\geq r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M}).}

تنص فرضية أبو -أوتافياني-بيترسون [ 11 ] على أنه من المتوقع المساواة، أير(أنا1،...،أنام)=رهـ(أنا1،...،أنام){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})=r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}، مع الحالات الاستثنائية التالية:

  • F(2م+1)×(2م+1)×3 مع م=1،2،...{\displaystyle F^{(2m+1)\times (2m+1)\times 3}{\text{ with }}m=1,2,\ldots }
  • F(م+1)×(م+1)×2×2 مع م=2،3،...{\displaystyle F^{(m+1)\times (m+1)\times 2\times 2}{\text{ with }}m=2,3,\ldots }

في كل حالة من هذه الحالات الاستثنائية، من المعروف أن الرتبة العامة هير(أنا1،...،أنام،...،أنام)=رهـ(أنا1،...،أنام)+1{\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{m},\ldots ,I_{M})=r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})+1}لاحظ أنه بينما مجموعة الموترات من الرتبة 3 فيF2×2×2×2{\displaystyle F^{2\times 2\times 2\times 2}}إذا كانت المجموعة معيبة (13 وليس 14 المتوقعة)، فإن الرتبة العامة في ذلك الفضاء لا تزال هي الرتبة المتوقعة، وهي 4. وبالمثل، فإن مجموعة الموترات ذات الرتبة 5 فيF4×4×3{\displaystyle F^{4\times 4\times 3}}معيب (44 وليس 45 المتوقع)، لكن الرتبة العامة في تلك المساحة لا تزال هي 6 المتوقعة.

لقد تم إثبات فرضية AOP بشكل كامل في عدد من الحالات الخاصة. وقد أظهر ليكتيج بالفعل في عام 1985 أنر(ن،ن،ن)=رهـ(ن،ن،ن){\displaystyle r(n,n,n)=r_{E}(n,n,n)}بشرط أنن≠3{\displaystyle n\neq 3}[ 12 ] في عام 2011 ، حقق كاتاليسانو وجيراميتا وجيميجليانو إنجازًا كبيرًا بإثباتهم أن البُعد المتوقع لمجموعة الرتبs{\displaystyle s}موترات التنسيق2×2×⋯×2{\displaystyle 2\times 2\times \cdots \times 2}هو المتوقع باستثناء الموترات من الرتبة 3 في حالة العوامل الأربعة، ومع ذلك فإن الرتبة المتوقعة في تلك الحالة لا تزال 4. ونتيجة لذلك، ر(2،2،...،2)=رهـ(2،2،...،2){\displaystyle r(2,2,\ldots ,2)=r_{E}(2,2,\ldots ,2)}لجميع الموترات الثنائية. [ 13 ]

أعلى رتبة

إن أعلى رتبة يمكن أن يقبلها أي من الموترات في فضاء الموترات غير معروفة بشكل عام؛ بل حتى التخمين بشأن هذه الرتبة القصوى غير موجود. حاليًا، ينص أفضل حد أعلى عام على أن الرتبة القصوىرالأعلى(أنا1،...،أنام){\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})}لFأنا1⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}، أينأنا1≥أنا2≥⋯≥أنام{\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}، يرضي

رالأعلى(أنا1،...،أنام)≤مين{∏م=2مأنام،2⋅ر(أنا1،...،أنام)}،{\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})\leq \min \left\{\prod _{m=2}^{M}I_{m},2\cdot r(I_{1},\ldots ,I_{M})\right\},}

أينر(أنا1،...،أنام){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}هي الرتبة (الأقل) عمومية لـFأنا1⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}[ 14 ] من المعروف أن المتباينة السابقة قد تكون صارمة. على سبيل المثال، الرتبة العامة للموترات فيR2×2×2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2\times 2\times 2}}وهو اثنان، وبالتالي فإن الحد المذكور أعلاه ينتجرالأعلى(2،2،2)≤4{\displaystyle r_{\mbox{max}}(2,2,2)\leq 4}، في حين أنه من المعروف أن الرتبة القصوى تساوي 3. [ 8 ]

رتبة الحدود

رتبة أ-s{\displaystyle s}الموترأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يُطلق عليه اسم موتر حدودي إذا وُجدت متتالية من الموترات ذات رتبة لا تتجاوزر<s{\displaystyle r<s}حده هوأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}. لور{\displaystyle r}إذا كانت القيمة هي أصغر قيمة يوجد عندها مثل هذا التسلسل المتقارب، فإنها تسمى رتبة الحدود لـأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}بالنسبة للموترات من الرتبة الثانية، أي المصفوفات، تتطابق الرتبة ورتبة الحدود دائمًا ، ولكن بالنسبة للموترات من الرتبة≥3{\displaystyle \geq 3}قد تختلف. تمت دراسة موترات الحدود لأول مرة في سياق خوارزميات ضرب المصفوفات التقريبية السريعة بواسطة بيني ولوتي وروماني في عام 1980. [ 15 ]

يُعد الموتر من الرتبة 3 مثالًا كلاسيكيًا على موتر الحدود

أ=u⊗u⊗v+u⊗v⊗u+v⊗u⊗u،مع ‖u‖=‖v‖=1 و ⟨u،v⟩≠1.{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1.}

يمكن تقريبها بدقة عالية باستخدام التسلسل التالي من الموترات ذات الرتبة 2

أم=م(u+1مv)⊗(u+1مv)⊗(u+1مv)-مu⊗u⊗u=u⊗u⊗v+u⊗v⊗u+v⊗u⊗u+1م(u⊗v⊗v+v⊗u⊗v+v⊗v⊗u)+1م2v⊗v⊗v{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{m}&=m\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)-m\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \\&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +{\frac {1}{m}}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )+{\frac {1}{m^{2}}}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \end{aligned}}}

مثلم→∞{\displaystyle m\to \infty }لذا، فإن رتبة حدودها هي 2، وهي أقل من رتبتها الأصلية. عندما يكون المتجهان متعامدين، يُعرف هذا المثال أيضًا باسم حالة W.

ملكيات

إمكانية تحديد الهوية

ويترتب على تعريف الموتر الخالص ما يلي:أ=أ1⊗أ2⊗⋯⊗أم=ب1⊗ب2⊗⋯⊗بم{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {a} _{1}\otimes \mathbf {a} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}=\mathbf {b} _{1}\otimes \mathbf {b} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {b} _{M}}إذا وفقط إذا كان هناكλك{\displaystyle \lambda _{k}}بحيثλ1λ2⋯λم=1{\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{M}=1}وأم=λمبم{\displaystyle \mathbf {a} _{m}=\lambda _{m}\mathbf {b} _{m}}لجميع قيم m . ولهذا السبب، فإن المعاملات{أم}م=1م{\displaystyle \{\mathbf {a} _{m}\}_{m=1}^{M}}من موتر من الرتبة 1أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}تُسمى هذه العناصر قابلة للتحديد أو فريدة بشكل أساسي. رتبة-ر{\displaystyle r}الموترأ∈Fأنا1⊗Fأنا2⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}يُطلق عليه اسم قابل للتحديد إذا كان كل تحليل من تحليلات رتبة الموتر الخاصة به هو مجموع نفس مجموعةر{\displaystyle r}موترات متميزة{أ1،أ2،...،أر}{\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},\ldots ,{\mathcal {A}}_{r}\}}حيثأأنا{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}'s من الرتبة 1. رتبة قابلة للتحديد-ر{\displaystyle r}وبالتالي، فإن له تفكيكًا فريدًا أساسيًا واحدًا فقطأ=∑أنا=1رأأنا،{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}{\mathcal {A}}_{i},}وكل شيءر!{\displaystyle r!}تحليلات رتبة الموتر لـأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يمكن الحصول على ذلك عن طريق تبديل ترتيب الحدود. لاحظ أنه في تحليل رتبة الموتر، جميعأأنا{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}تُعتبر علامات الترقيم مميزة، وإلا فإن رتبةأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}سيكون ذلك على الأكثرر-1{\displaystyle r-1}.

إمكانية التحديد العامة

الموترات من الرتبة 2 فيFأنا1⊗Fأنا2≃Fأنا1×أنا2{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\simeq F^{I_{1}\times I_{2}}}أي المصفوفات، غير قابلة للتحديد لـر>1{\displaystyle r>1}وينتج هذا أساسًا عن الملاحظةأ=∑أنا=1رأأنا⊗بأنا=∑أنا=1رأأنابأناتي=أبتي=(أX-1)(بXتي)تي=∑أنا=1رجأنادأناتي=∑أنا=1رجأنا⊗دأنا،{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}\otimes \mathbf {b} _{i}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{T}=AB^{T}=(AX^{-1})(BX^{T})^{T}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {c} _{i}\mathbf {d} _{i}^{T}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {c} _{i}\otimes \mathbf {d} _{i},}أينX∈جيلر(F){\displaystyle X\in \mathrm {GL} _{r}(F)}هو قابل للعكسر×ر{\displaystyle r\times r}مصفوفة،أ=[أأنا]أنا=1ر{\displaystyle A=[\mathbf {a} _{i}]_{i=1}^{r}}،ب=[بأنا]أنا=1ر{\displaystyle B=[\mathbf {b} _{i}]_{i=1}^{r}}،أX-1=[جأنا]أنا=1ر{\displaystyle AX^{-1}=[\mathbf {c} _{i}]_{i=1}^{r}}وبXتي=[دأنا]أنا=1ر{\displaystyle BX^{T}=[\mathbf {d} _{i}]_{i=1}^{r}}يمكن إثبات [ 16 ] أنه لكلX∈جيلن(F)∖Z{\displaystyle X\in \mathrm {GL} _{n}(F)\setminus Z}، أينZ{\displaystyle Z}إذا كانت مجموعة مغلقة في طوبولوجيا زاريسكي، فإن التفكيك على الجانب الأيمن هو مجموع مجموعة مختلفة من الموترات من الرتبة 1 عن التفكيك على الجانب الأيسر، مما يستلزم أن الموترات من الرتبة 2 من الرتبةر>1{\displaystyle r>1}لا يمكن تحديدها بشكل عام.

يتغير الوضع تمامًا بالنسبة للموترات ذات الرتبة الأعلى فيFأنا1⊗Fأنا2⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}معم>2{\displaystyle M>2}وكل شيءأنام≥2{\displaystyle I_{m}\geq 2}لتبسيط الترميز، افترض دون فقدان للعمومية أن العوامل مرتبة بحيثأنا1≥أنا2≥⋯≥أنام≥2{\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}\geq 2}. يتركSر⊂Fأنا1⊗⋯Fأنام⊗⋯⊗Fأنام{\displaystyle S_{r}\subset F^{I_{1}}\otimes \cdots F^{I_{m}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}لنرمز إلى مجموعة الموترات ذات الرتبة المحدودة بـر{\displaystyle r}ثم، تم إثبات صحة العبارة التالية باستخدام برهان بمساعدة الحاسوب لجميع الفضاءات ذات البعدΠ<15000{\displaystyle \Pi <15000}[ 17 ] ويُفترض أنها صحيحة بشكل عام : [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

توجد مجموعة مغلقةZر{\displaystyle Z_{r}}في طوبولوجيا زاريسكي بحيث يكون كل موترأ∈Sر∖Zر{\displaystyle {\mathcal {A}}\in S_{r}\setminus Z_{r}}يمكن التعرف عليه (Sر{\displaystyle S_{r}}(يُطلق عليه في هذه الحالة اسم قابل للتحديد بشكل عام )، ما لم يتحقق أحد الحالتين الاستثنائيتين التاليتين:

  1. الرتبة كبيرة جدًا:ر>رهـ(أنا1،أنا2،...،أنام){\displaystyle r>r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})}؛
  2. المساحة غير متوازنة من حيث إمكانية تحديد الهوية، أيأنا1>∏م=2مأنام-∑م=2م(أنام-1){\textstyle I_{1}>\prod _{m=2}^{M}i_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1)}والرتبة كبيرة جدًا:ر≥∏م=2مأنام-∑م=2م(أنام-1){\textstyle r\geq \prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1)}؛
  3. الفراغ هو الحالة المعيبةF4⊗F4⊗F3{\displaystyle F^{4}\otimes F^{4}\otimes F^{3}}والرتبة هير=5{\displaystyle r=5}؛
  4. الفراغ هو الحالة المعيبةFن⊗Fن⊗F2⊗F2{\displaystyle F^{n}\otimes F^{n}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}، أينن≥2{\displaystyle n\geq 2}والرتبة هير=2ن-1{\displaystyle r=2n-1}؛
  5. المساحة هيF4⊗F4⊗F4{\displaystyle F^{4}\otimes F^{4}\otimes F^{4}}والرتبة هير=6{\displaystyle r=6}؛
  6. المساحة هيF6⊗F6⊗F3{\displaystyle F^{6}\otimes F^{6}\otimes F^{3}}والرتبة هير=8{\displaystyle r=8}؛ أو
  7. المساحة هيF2⊗F2⊗F2⊗F2⊗F2{\displaystyle F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}والرتبة هير=5{\displaystyle r=5}.
  8. المكان مثالي، أيرهـ(أنا1،أنا2،...،أنام)=ΠΣ+1{\textstyle r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})={\frac {\Pi }{\Sigma +1}}}هو عدد صحيح، ورتبته هير=رهـ(أنا1،أنا2،...،أنام){\textstyle r=r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})}.

في هذه الحالات الاستثنائية، يكون العدد العام (وأيضًا الحد الأدنى) للتفكيكات المعقدة هو

  • وقد ثبت أنه∞{\displaystyle \infty }في الحالات الأربع الأولى؛
  • ثبت أنهما اثنان في الحالة 5؛ [ 20 ]
  • من المتوقع أن يكون [ 21 ] ستة في الحالة 6؛
  • ثبت أنهما اثنان في الحالة 7؛ [ 22 ] و
  • من المتوقع أن يكون العدد [ 21 ] اثنين على الأقل في الحالة 8 باستثناء الحالتين القابلتين للتحديدF5⊗F4⊗F3{\displaystyle F^{5}\otimes F^{4}\otimes F^{3}}وF3⊗F2⊗F2⊗F2{\displaystyle F^{3}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}.

باختصار، الموتر العام من الرتبةم>2{\displaystyle M>2}والرتبةر<ΠΣ+1{\textstyle r<{\frac {\Pi }{\Sigma +1}}}من المتوقع أن يكون غير قابل للتحديد - غير متوازن - قابلاً للتحديد (باستثناء الحالات الاستثنائية في المساحات الصغيرة).

عدم استقرار مسألة التقريب القياسي

تطلب مسألة تقريب الرتبة إيجاد الرتبة-ر{\displaystyle r}التفكيك الأقرب (في الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة) إلى رتبة معينة-s{\displaystyle s}الموترأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}، أينر<s{\displaystyle r<s}أي أن المرء يسعى إلى حل

مينأأنام∈Fأنام‖أ-∑أنا=1رأأنا1⊗أأنا2⊗⋯⊗أأنام‖F،{\displaystyle \min _{\mathbf {a} _{i}^{m}\in F^{I_{m}}}\left\|{\mathcal {A}}-\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{M}\right\|_{F},}

أين‖⋅‖F{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}هو معيار فروبينيوس .

أظهرت ورقة بحثية نُشرت عام ٢٠٠٨ من قِبل دي سيلفا وليم [ ٨ ] أن مسألة التقريب القياسية المذكورة أعلاه قد تكون غير مستقرة . قد لا يوجد حل لهذه المسألة أحيانًا لأن المجموعة التي يتم التحسين عليها ليست مغلقة. وبالتالي، قد لا يوجد مُصغِّر، حتى وإن وُجد مُصغِّر أدنى. على وجه الخصوص، من المعروف أن بعض ما يُسمى بموترات الحدود يمكن تقريبها بدقة عالية جدًا بواسطة متتالية من الموترات ذات رتبة لا تتجاوزر{\displaystyle r}، على الرغم من أن نهاية المتتالية تتقارب إلى موتر ذي رتبة أعلى تمامًا منر{\displaystyle r}الموتر ذو الرتبة 3

أ=u⊗u⊗v+u⊗v⊗u+v⊗u⊗u،مع ‖u‖=‖v‖=1 و ⟨u،v⟩≠1{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1}

يمكن تقريبها بشكل جيد للغاية بواسطة التسلسل التالي من الموترات ذات الرتبة 2

أن=ن(u+1نv)⊗(u+1نv)⊗(u+1نv)-نu⊗u⊗u{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=n\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)-n\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} }

مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }يوضح هذا المثال بوضوح المبدأ العام القائل بأن سلسلة من الرتب-ر{\displaystyle r}يجب أن تحتوي الموترات التي تتقارب إلى موتر ذي رتبة أعلى تمامًا على حدين فرديين على الأقل من الرتبة 1 تصبح معاييرهما غير محدودة. بعبارة أخرى، كلما كانت متتالية

أن=∑أنا=1رأأنا،ن1⊗أأنا،ن2⊗⋯⊗أأنا،نم{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}}

يمتلك الخاصية التيأن→أ{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\to {\mathcal {A}}}(في الطوبولوجيا الإقليدية) كـن→∞{\displaystyle n\to \infty }إذن، ينبغي أن يكون هناك على الأقل1≤أنا≠ج≤ر{\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}بحيث

‖أأنا،ن1⊗أأنا،ن2⊗⋯⊗أأنا،نم‖F→∞ و ‖أج،ن1⊗أج،ن2⊗⋯⊗أج،نم‖F→∞{\displaystyle \|\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}\|_{F}\to \infty {\text{ and }}\|\mathbf {a} _{j,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{j,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{j,n}^{M}\|_{F}\to \infty }

مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }تُصادف هذه الظاهرة غالبًا عند محاولة تقريب موتر باستخدام خوارزميات التحسين العددي. ويُطلق عليها أحيانًا اسم مشكلة المكونات المتباعدة . بالإضافة إلى ذلك، فقد تبيّن أن موترًا عشوائيًا منخفض الرتبة على الأعداد الحقيقية قد لا يقبل تقريبًا من الرتبة 2 باحتمالية موجبة، مما يُؤدي إلى فهم أن مشكلة عدم الاستقرار تُعدّ اعتبارًا هامًا عند استخدام تحليل رتبة الموتر.

يتمثل أحد الحلول الجزئية الشائعة لمشكلة عدم التحديد الجيد في فرض قيد متباينة إضافي يحد من معيار الحدود الفردية من الرتبة 1 بقيمة ثابتة. وتشمل القيود الأخرى التي تؤدي إلى مجموعة مغلقة، وبالتالي مشكلة تحسين محددة جيدًا، فرض الإيجابية أو حاصل ضرب داخلي محدود أقل من الواحد بين الحدود من الرتبة 1 التي تظهر في التفكيك المطلوب.

حساب نقاط التطوير المهني المستمر

خوارزميات بديلة:

الخوارزميات المباشرة:

خوارزميات التحسين العامة:

خوارزميات القيم الذاتية:

آلات التحليل إلى عوامل:

التحليلات البايزية/أخذ العينات/سلسلة ماركوف مونت كارلو (MCMC):

التعلم العميق/الشبكات العصبية (التعلم القائم على التدرج):

خوارزميات حل أنظمة المعادلات متعددة الحدود العامة:

مع ذلك، وجد كلٌّ من ب. ويرياثامابهوم وب. كيجسيريكول [ 39 ] أنه لا توجد خوارزميات حلٍّ مثلى (إذ لا تستطيع جميع طرق التحسين الحالية توفير حلول مثلى بشكلٍ قاطع)، حيث قاموا بإنشاء موتر نقاط وأعادوا ترتيب الحلول باستخدام اختيارٍ تدريجيٍّ جشع، وهو ما يُمكن أن يُعطي حلولًا أفضل بشكلٍ ملحوظ، على الأقل في خوارزميات nd-PCA وnd-FLD/LDA، وما إلى ذلك (مثل متغيرات CPD وTucker). وتفترض هذه الفرضية أن تثبيت جميع المعاملات الأخرى من الرتبة n-1 مع تحسين المعامل n هو دائمًا (بشكلٍ قاطع) حلٌّ دون المستوى الأمثل. وقد اقترح كلٌّ من م. س. ماهانتا وك. ن. بلاتانيوتيس [ 40 ] حلًّا آخر للتجميع الطيفي يُوفّر حلولًا أفضل.

التطبيقات

في مجال تعلم الآلة، يُعدّ تحليل CP عنصرًا أساسيًا في تعلم نماذج المتغيرات الكامنة الاحتمالية باستخدام تقنية مطابقة العزوم. على سبيل المثال، لنأخذ نموذج الرؤية المتعددة [ 41 ]، وهو نموذج للمتغيرات الكامنة الاحتمالية. في هذا النموذج، يُفترض توليد العينات على النحو التالي: يوجد متغير عشوائي خفي غير قابل للملاحظة المباشرة، وبمعرفته، توجد عدة متغيرات عشوائية مستقلة شرطيًا تُعرف باسم "رؤى" المتغير الخفي المختلفة. على سبيل المثال، لنفترض وجود ثلاث رؤى.x1،x2،x3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}منك{\displaystyle k}متغير خفي فئوي - الحالةح{\displaystyle h}ثم العزم الثالث التجريبي لنموذج المتغير الكامن هذاهـ[x1⊗x2⊗x3]{\displaystyle E[x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}]}هو موتر من الرتبة 3 ويمكن تحليله على النحو التالي: هـ[x1⊗x2⊗x3]=∑أنا=1كPر(ح=أنا)هـ[x1|ح=أنا]⊗هـ[x2|ح=أنا]⊗هـ[x3|ح=أنا]{\displaystyle E[x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}]=\sum _{i=1}^{k}Pr(h=i)E[x_{1}|h=i]\otimes E[x_{2}|h=i]\otimes E[x_{3}|h=i]}.

في تطبيقات مثل نمذجة المواضيع ، يمكن تفسير ذلك على أنه تكرار الكلمات في المستند. بعد ذلك، يمكن تفسير معاملات تحليل موتر العزم التجريبي هذا على أنها احتمالية اختيار موضوع معين، وكل عمود من أعمدة مصفوفة العوامل.هـ[x|ح=أنا]{\displaystyle E[x|h=i]}يتوافق ذلك مع احتمالات الكلمات في المفردات المتعلقة بالموضوع ذي الصلة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ باباليكساكيس، إيفانجيلوس. "التنقيب التلقائي غير الخاضع للإشراف عن الموترات مع تقييم الجودة" (PDF) .
  2. ↑ ف. ل. هيتشكوك (1927). "التعبير عن الموتر أو متعدد الحدود كمجموع نواتج". مجلة الرياضيات والفيزياء . 6 ( 1-4 ): 164-189 . doi : 10.1002/sapm192761164 .
  3. كارول ، جيه دي ؛ تشانغ ، جيه. (1970). "تحليل الفروق الفردية في القياس متعدد الأبعاد من خلال تعميم متعدد الاتجاهات لتحليل إيكارت-يونغ". مجلة القياس النفسي . 35 (3): 283-319 . doi : 10.1007/BF02310791 . S2CID 50364581 . 
  4. 1 2 هارشمَن، ريتشارد أ. (1970). "أسس إجراء PARAFAC: نماذج وشروط لتحليل عاملي متعدد الوسائط "تفسيري"" (ملف PDF) . أوراق عمل جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس في علم الصوتيات . 16 : 84. رقم 10085. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 10 أكتوبر 2004.
  5. ^ جوجرال، إيكتا. "Aptera: تحليل موتر PARAFAC2 التلقائي" (PDF) . أسونام 2022.
  6. ↑ هيلار، سي جيه ؛ ليم، إل. (2013). "معظم مسائل الموترات هي مسائل صعبة من نوع NP". مجلة ACM . 60 (6): 1-39 . arXiv : 0911.1393 . doi : 10.1145/2512329 . S2CID 1460452 . 
  7. ↑ لاندسبيرج، جيه إم (2012). الموترات: الهندسة والتطبيقات . الجمعية الأمريكية للرياضيات.
  8. 1 2 3 دي سيلفا، ف .؛ ليم، ل. (2008). "رتبة الموتر وعدم استقرار مسألة أفضل تقريب منخفض الرتبة". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 30 (3): 1084-1127 . arXiv : math/0607647 . doi : 10.1137/06066518x . S2CID 7159193 . 
  9. ↑ ستراسن، ف. (1983). "رتبة وحساب أمثل للموترات العامة" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 52/53: 645-685 . doi : 10.1016/0024-3795(83)80041-x .
  10. ↑ كاتاليسانو، إم في ؛ جيراميتا، إيه في ؛ جيميجليانو، إيه. (2002). "رتب الموترات، وأصناف القاطع لأصناف سيجري، والنقاط السميكة" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 355 ( 1-3 ): 263-285 . doi : 10.1016/s0024-3795(02)00352-x .
  11. أبو ، ح .؛ أوتافياني، ج .؛ بيترسون، س. (2009). "الاستقراء لأصناف القاطع لأصناف سيغري". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 361 (2): 767-792 . arXiv : math/0607191 . doi : 10.1090/s0002-9947-08-04725-9 . S2CID 59069541 . 
  12. ↑ ليكتيج، توماس (1985). "الرتبة الموترية النموذجية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 69 : 95-120 . doi : 10.1016/0024-3795(85)90070-9 .
  13. ↑ كاتاليسانو، إم في ؛ جيراميتا، إيه في ؛ جيميجليانو، إيه. (2011). "أصناف قاطعة منP{\displaystyle \mathbb {P} }1 × ··· ×P{\displaystyle \mathbb {P} }1 ( n مرة) ليست معيبة لـ n ≥ 5" . مجلة الهندسة الجبرية . 20 (2): 295– 327. doi : 10.1090/s1056-3911-10-00537-0 .
  14. ^ بليكرمان، ج . تيتلر، ز. (2015). "في الرتب القصوى والنموذجية والعامة". الرياضيات أنالن . 362 ( 3– 4): 1– 11. الأرخايف : 1402.2371 . دوى : 10.1007/s00208-014-1150-3 . S2CID 14309435 . 
  15. ↑ بيني، د .؛ لوتي، ج .؛ روماني، ف. (1980). "حلول تقريبية لمسألة الحساب ثنائية الخطية". مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 9 (4): 692-697 . doi : 10.1137/0209053 .
  16. ↑ هاريس، جو (1992). الهندسة الجبرية. سبرينغر لينك . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 133. doi : 10.1007/978-1-4757-2189-8 . ISBN  978-1-4419-3099-6.
  17. 1 2 شيانتيني، ل.؛ أوتافياني، ج.؛ فانيوفنهوفن، ن. (2014-01-01). "خوارزمية لتحديد قابلية التعرف العامة والخاصة بالرتب المنخفضة للموترات المعقدة". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 35 (4): 1265-1287 . arXiv : 1403.4157 . doi : 10.1137 /140961389 . ISSN 0895-4798 . S2CID 28478606 .  
  18. ^ بوتشي، كريستيانو؛ كيانتيني، لوكا؛ أوتافياني ، جورجيو (2014/12/01). “طرق محسنة للتعرف على الموترات”. Annali di Matematica Pura ed Applicata . 193 (6): 1691– 1702. أرخايف : 1303.6915 . دوى : 10.1007/s10231-013-0352-8 . ردمك 0373-3114 . S2CID 119721371 .  
  19. ↑ شيانتيني، ل.؛ أوتافياني، ج.؛ فانيوفنهوفن، ن. (2017-01-01). "معايير فعّالة لتحديد هوية الموترات والأشكال بشكل دقيق". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 38 (2): 656-681 . arXiv : 1609.00123 . doi : 10.1137/16m1090132 . ISSN 0895-4798 . S2CID 23983015 .  
  20. ↑ شيانتيني، ل.؛ أوتافياني، ج. (2012-01-01). "حول قابلية التحديد العامة للموترات ثلاثية الأبعاد ذات الرتبة الصغيرة". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 33 (3): 1018-1037 . arXiv : 1103.2696 . doi : 10.1137/110829180 . ISSN 0895-4798 . S2CID 43781880 .  
  21. هاوينشتاين ، جيه دي ؛ أودينغ، إل؛ أوتافياني، جي؛ سوميس، إيه جيه (2016). "تقنيات التماثل لتحليل الموترات والتعريف التام". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية . 2019 (753): 1-22 . arXiv : 1501.00090 . doi : 10.1515/crelle-2016-0067 . S2CID 16324593 . 
  22. ↑ بوتشي، كريستيانو؛ كيانتيني، لوكا (2013). "حول قابلية تحديد منتجات سيغري الثنائية" . مجلة الهندسة الجبرية . 22 (1): 1-11 . arXiv : 1105.3643 . doi : 10.1090/s1056-3911-2011-00592-4 . ISSN 1056-3911 . S2CID 119671913 .  
  23. ↑ دومانوف، إغنات؛ لاثاوير، ليفين دي (يناير 2014). "التحليل متعدد الحدود الكنسي للموترات من الرتبة الثالثة: الاختزال إلى تحليل القيم الذاتية المعمم". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 35 (2): 636-660 . arXiv : 1312.2848 . doi : 10.1137/130916084 . ISSN 0895-4798 . S2CID 14851072 .  
  24. ↑ دومانوف، إغنات؛ دي لاثاوير، ليفين (يناير 2017). "التحليل متعدد الحدود الكنسي للموترات من الرتبة الثالثة: شروط التفرد المخففة والخوارزمية الجبرية". الجبر الخطي وتطبيقاته . 513 : 342-375 . arXiv : 1501.07251 . doi : 10.1016/j.laa.2016.10.019 . ISSN 0024-3795 . S2CID 119729978 .  
  25. ↑ فابر، نيكولاس (كلاس) م.؛ فيري، جوان؛ بوكيه، ريكارد (يناير 2001). "طريقة إعادة ترجيح الرتبة المعممة بشكل تكراري". علم القياسات الكيميائية وأنظمة المختبرات الذكية . 55 ( 1-2 ): 67-90 . doi : 10.1016/s0169-7439(00)00117-9 . ISSN 0169-7439 . 
  26. ↑ لورغنز، إس إي ؛ روس، آر تي؛ أبيل، آر بي (أكتوبر 1993). "تحليل المصفوفات ثلاثية الأبعاد". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 14 (4): 1064-1083 . doi : 10.1137/0614071 . ISSN 0895-4798 . 
  27. ↑ لوربر، أفراهام. (أكتوبر 1985). "خصائص تحديد التركيب الكيميائي من مصفوفة بيانات ثنائية الأبعاد باستخدام طريقة تحليل عامل إفناء الرتبة". الكيمياء التحليلية . 57 (12): 2395-2397 . doi : 10.1021/ac00289a052 . ISSN 0003-2700 . 
  28. ↑ سانشيز، يوجينيو؛ كوالسكي، بروس ر. (يناير 1990). "التحليل الموتري: تفكيك ثلاثي الخطوط مباشر". مجلة الكيمياء القياسية . 4 (1): 29-45 . doi : 10.1002/cem.1180040105 . ISSN 0886-9383 . S2CID 120459386 .  
  29. ↑ ساندز، ريتشارد؛ يونغ، فورست دبليو. (مارس 1980). "نماذج المكونات للبيانات ثلاثية الأبعاد: خوارزمية المربعات الصغرى المتناوبة مع ميزات القياس الأمثل". مجلة القياس النفسي . 45 (1): 39-67 . doi : 10.1007/bf02293598 . ISSN 0033-3123 . S2CID 121003817 .  
  30. ↑ برناردي، أ.؛ براشات، ج.؛ كومون، ب.؛ مورين، ب. (مايو 2013). "التحليل العام للموتر، ومصفوفات العزوم، والتطبيقات". مجلة الحساب الرمزي . 52 : 51-71 . arXiv : 1105.1229 . doi : 10.1016/j.jsc.2012.05.012 . ISSN 0747-7171 . S2CID 14181289 .  
  31. ↑ تشانغ، تونغ؛ غولوب، جين هـ. (2001). "تقريب الرتبة الأولى للموترات ذات الرتبة العالية". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 23 (2): 534-550 . doi : 10.1137/S089547980037803X .
  32. ↑ ريندل، ستيفن (2010). "آلات التحليل إلى عوامل". المؤتمر الدولي لعام 2010 التابع لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول استخراج البيانات . معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. الصفحات 995-1000 . 
  33. ↑ شيونغ، ليانغ؛ تشين، شيويه تشينغ؛ هوانغ، تيان؛ تشوانغ، يونغ تشنغ؛ وانغ، لي هونغ؛ غاو، وي (2010). "الترشيح التعاوني الزمني باستخدام تحليل الموتر الاحتمالي البايزي". وقائع المؤتمر الدولي لجمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية لعام 2010 حول استخراج البيانات . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ص 329-340 . 
  34. ↑ جيناتون، رودولف؛ أوبوزينسكي، غيوم؛ باخ، فرانسيس (2012). "نموذج العامل الكامن للبيانات متعددة العلاقات للغاية". التطورات في أنظمة معالجة المعلومات العصبية . المجلد 25. الصفحات 1588-1596 .  
  35. ↑ بوردس، أنطوان؛ أوسونييه، نيكولاس؛ غارسيا-دوران، أنطونيو؛ ويستون، جيسون؛ كولوبيرت، رونان (2014). "دالة طاقة المطابقة الدلالية للتعلم باستخدام البيانات متعددة العلاقات: تطبيق على إزالة الغموض عن معاني الكلمات". تعلم الآلة . 94 (2): 233-259 . doi : 10.1007/s10994-013-5353-8 .
  36. ↑ سوشر، ريتشارد؛ تشين، دانكي؛ مانينغ، كريستوفر د.؛ نغ، أندرو ي. (2013). "الاستدلال باستخدام الشبكات العصبية الموترية لإكمال قاعدة المعرفة". التطورات في أنظمة معالجة المعلومات العصبية . المجلد 26. الصفحات 936-944 .  
  37. ↑ شو، ياو لي؛ مانديتش، دانيلو ب. (2021). "شبكات موتر الرسم البياني المتكررة: إطار عمل منخفض التعقيد لنمذجة المتتاليات متعددة الأبعاد عالية الأبعاد". المؤتمر الأوروبي التاسع والعشرون لمعالجة الإشارات (EUSIPCO) لعام 2021. IEEE. doi : 10.23919/EUSIPCO54551.2021.9616091 .
  38. ↑ برناردي، أليساندرا؛ داليو، نوح س.؛ هاوينشتاين، جوناثان د.؛ مورين، برنارد (ديسمبر 2017). "تحليل الموترات واستمرار التماثل". الهندسة التفاضلية وتطبيقاتها . 55 : 78-105 . arXiv : 1512.04312 . doi : 10.1016/j.difgeo.2017.07.009 . ISSN 0926-2245 . S2CID 119147635 .  
  39. ↑ ويرياثامابهوم، بيراتام؛ كيجسيريكول، بونسيرم (2009). "اختيار الأساس للتعرف على الوجوه باستخدام مقياس فيشر في خوارزمية 2DLDA". المؤتمر الدولي لمعالجة المعلومات العصبية . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ.
  40. ↑ ماهانتا، محمد شاهين؛ بلاتانيوتيس، قسطنطينوس ن. (2014). "ترتيب ميزات 2DLDA بناءً على تمييز فيشر". المؤتمر الدولي لعام 2014 لهندسة الصوت والكلام ومعالجة الإشارات (ICASSP) . فلورنسا، إيطاليا: IEEE.
  41. ↑ أناندكومار، أنيماشري؛ جي، رونغ؛ هسو، دانيال؛ كاكادي، شام م؛ تيلغارسكي، ماتوس (2014). "تحليل الموترات لتعلم نماذج المتغيرات الكامنة". مجلة أبحاث تعلم الآلة . 15 (1): 2773-2832 .

للمزيد من القراءة

  • كولدا، تمارا ج .؛ بادر، بريت و. (2009). "تحليل الموترات وتطبيقاتها". مجلة SIAM للمراجعات ، 51 (3): 455-500 . رمز Bibcode : 2009SIAMR..51..455K . CiteSeerX : 10.1.1.153.2059 . doi : 10.1137/07070111X . S2CID : 16074195 .  
  • لاندسبيرغ، جوزيف م. (2012). الموترات: الهندسة والتطبيقات . الجمعية الأمريكية للرياضيات.
  • كروننبرغ، بيتر م. (2008). تطبيق تحليل البيانات متعددة الاتجاهات . جون وايلي وأولاده.