جبر توبليتز

في جبر المؤثرات ، ^يُعرف جبر توبليتز بأنه جبر C* الناتج عن الإزاحة أحادية الجانب على فضاء هيلبرت l² ( N ) . ^{[ 1 ]} وبتعريف l² ( N ) بفضاء هاردي H² ^، يتكون جبر توبليتز من عناصر على الشكل التالي ^:

${\displaystyle T_{f}+K\;}$

أين${\displaystyle T_{f}}$هو عامل توبليتز ذو رمز متصل${\textstyle f}$و K هو عامل مضغوط .

تتبادل معاملات توبليتز ذات الرموز المتصلة بتردد المعاملات المدمجة. لذا، يمكن اعتبار جبر توبليتز امتدادًا لجبر C* للدوال المتصلة على الدائرة بواسطة المعاملات المدمجة. يُسمى هذا الامتداد بامتداد توبليتز .

بحسب نظرية أتكينسون ، عنصر من عناصر جبر توبليتز${\textstyle T_{f}+K\;}$يكون عامل فريدهولم إذا وفقط إذا كان الرمز${\textstyle f}$ل${\displaystyle T_{f}}$قابلة للعكس. في هذه الحالة، يكون مؤشر فريدهولم لـ${\displaystyle T_{f}+K\;}$يمثل هذا العدد تحديدًا عدد لفات الدالة f ، وهو فئة التكافؤ للدالة f في المجموعة الأساسية للدائرة. وهذه حالة خاصة من نظرية مؤشر أتياس-سينجر .

يُعرّف تحليل وولد التماثلات الصحيحة التي تعمل على فضاء هيلبرت. ومن هذا، بالإضافة إلى خصائص مؤثرات توبليتز، يمكن استنتاج أن جبر توبليتز هو جبر C* الشامل الناتج عن تماثل صحيح؛ وهذه هي نظرية كوبورن ^{[ 2 ]} .