حاسوب كمي طوبولوجي

لكي يرقى الحاسوب الكمومي الطوبولوجي إلى مستوى اسمه، يجب أن يوفر خصائص الحوسبة الفريدة التي يعد بها تصميم الحاسوب الكمومي التقليدي، الذي يستخدم جسيمات كمومية محصورة. في عام 2000، أثبت كل من مايكل إتش. فريدمان ، وأليكسي كيتايف ، ومايكل جيه. لارسن ، وزينغان وانغ أن الحاسوب الكمومي الطوبولوجي قادر، من حيث المبدأ، على إجراء أي عملية حسابية يمكن للحاسوب الكمومي التقليدي القيام بها، والعكس صحيح. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

وجدوا أن جهاز حاسوب كمومي تقليدي، يعمل دوائره المنطقية دون أخطاء، يُعطي حلاً بدقة مطلقة، بينما يُعطي جهاز حاسوب كمومي طوبولوجي يعمل دون خلل الحل بدقة محدودة فقط. مع ذلك، يُمكن الحصول على أي مستوى من الدقة للإجابة بإضافة المزيد من لفات الضفائر (الدوائر المنطقية) إلى الحاسوب الكمومي الطوبولوجي، وفقًا لعلاقة خطية بسيطة. بعبارة أخرى، يُمكن لزيادة معقولة في عدد العناصر (لفات الضفائر) تحقيق درجة عالية من الدقة في الإجابة. تتم الحسابات الفعلية (البوابات) بواسطة حالات الحافة لتأثير هول الكمومي الكسري. هذا ما يجعل نماذج الأنيونات أحادية البعد مهمة. في بُعد مكاني واحد، تُعرَّف الأنيونات جبريًا.

على الرغم من أن الضفائر الكمومية أكثر استقرارًا بطبيعتها من الجسيمات الكمومية المحصورة، إلا أنه لا تزال هناك حاجة للتحكم في التقلبات الحرارية المُسببة للأخطاء، والتي تُنتج أزواجًا عشوائية من الأنيونات تتداخل مع الضفائر المجاورة. ويتمثل التحكم في هذه الأخطاء ببساطة في فصل الأنيونات إلى مسافة ينخفض ​​عندها معدل تداخلها إلى ما يقارب الصفر. وقد تكون محاكاة ديناميكيات الحاسوب الكمومي الطوبولوجي طريقة واعدة لتنفيذ الحوسبة الكمومية المقاومة للأخطاء حتى مع مخطط معالجة المعلومات الكمومية القياسي. وقد درس راوسندورف وهارينغتون وغويال نموذجًا واحدًا، وحققوا نتائج محاكاة واعدة. ^{[ 16 ]}

تُعرَّف أنيونات فيبوناتشي بثلاث صفات:

1. لديهم شحنة طوبولوجية من${\displaystyle \tau }$في هذه المناقشة، سننظر في شحنة أخرى تسمى${\displaystyle 1}$وهي شحنة "الفراغ" إذا تم إفناء الأنيونات مع بعضها البعض.
2. كل من هذه الأنيونات هو جسيم مضاد خاص به.${\displaystyle \tau =\tau ^{*}}$و${\displaystyle 1=1^{*}}$.
3. إذا تم تقريبهما من بعضهما البعض، فسوف يندمجان معًا بطريقة غير عادية. وتحديدًا، قواعد الاندماج هي:
   • ${\displaystyle 1\otimes 1=1}$
   • ${\displaystyle 1\otimes \tau =\tau \otimes 1=\tau }$
   • ${\displaystyle \tau \otimes \tau =1\oplus \tau }$
4. يمكن تفسير العديد من خصائص هذا النظام بشكل مشابه لخصائص جسيمين ذوي لف مغزلي 1/2. على وجه الخصوص، نستخدم نفس حاصل الضرب الموتري.${\displaystyle \otimes }$والمجموع المباشر${\displaystyle \oplus }$المشغلين.

يمكن توسيع قاعدة "الاندماج" الأخيرة لتشمل نظامًا من ثلاثة أنيونات:

${\displaystyle \tau \otimes \tau \otimes \tau =\tau \otimes (1\oplus \tau )=\tau \otimes 1\oplus \tau \otimes \tau =\tau \oplus 1\oplus \tau =1\oplus 2\cdot \tau }$

وبالتالي، فإن دمج ثلاثة أيونات سينتج عنه حالة نهائية من الشحنة الكلية${\displaystyle \tau }$بطريقتين، أو تهمة${\displaystyle 1}$بطريقة واحدة فقط. نستخدم ثلاث حالات لتحديد أساسنا. ^{[ 19 ]} ومع ذلك، ولأننا نرغب في ترميز حالات الأنيونات الثلاث هذه كتراكبات للصفر والواحد، فإننا نحتاج إلى حصر الأساس في فضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد. وبالتالي، فإننا نأخذ في الاعتبار حالتين فقط بشحنة كلية قدرها${\displaystyle \tau }$هذا الاختيار ظاهري بحت. في هذه الحالات، نُجمِّع الأنيونين الأيسرين في "مجموعة ضابطة"، ونترك الأنيون الأيمن "غير حسابي". نصنف${\displaystyle |0\rangle }$تُعتبر هذه الحالة حالةً يكون فيها إجمالي الشحنة "المدمجة" لمجموعة التحكم هو${\displaystyle 1}$وحالة من${\displaystyle |1\rangle }$يحتوي على مجموعة ضابطة بشحنة "مدمجة" إجمالية قدرها${\displaystyle \tau }$للحصول على وصف أكثر اكتمالاً، انظر ناياك. ^{[ 19 ]}

استنادًا إلى الأفكار المذكورة أعلاه، فإنّ جدل هذه الأنيونات حول بعضها البعض بشكل أديباتي سيؤدي إلى تحويل وحدوي. وتُعدّ عوامل الجدل هذه نتاجًا لفئتين فرعيتين من العوامل:

• مصفوفة F​
• مصفوفة R​

يمكن اعتبار مصفوفة R ، من الناحية المفاهيمية، بمثابة الطور الطوبولوجي الذي يُكتسب من الأنيونات أثناء عملية التضفير. فبينما تلتف الأنيونات حول بعضها البعض، فإنها تكتسب طورًا ما نتيجة لتأثير أهارونوف-بوم .

تُعدّ مصفوفة F نتاجًا للدوران الفيزيائي للأنيونات. ونظرًا لتشابكها، من المهم إدراك أن الأنيونين السفليين - مجموعة التحكم - سيظلان يميزان حالة الكيوبت. وبالتالي، سيؤدي تشابك الأنيونات إلى تغيير الأنيونات الموجودة في مجموعة التحكم، ومن ثم تغيير الأساس. نقوم بتقييم الأنيونات دائمًا عن طريق دمج مجموعة التحكم (الأنيونات السفلية) معًا أولًا، لذا فإن تبديل الأنيونات الموجودة ضمن هذه المجموعة سيؤدي إلى دوران النظام. ولأن هذه الأنيونات غير تبديلية ، فإن ترتيب الأنيونات (أي الأنيونات الموجودة ضمن مجموعة التحكم) سيكون مهمًا، وبالتالي سيُحدث تغييرًا في النظام.

يمكن اشتقاق عامل الجديلة الكامل على النحو التالي:

${\displaystyle B=F^{-1}RF}$

لبناء مُؤثري F و R رياضيًا ، يُمكننا النظر في تباديل هذين المُؤثرين. نعلم أنه إذا غيّرنا الأساس الذي نعمل عليه بالتتابع، فسيعود بنا ذلك في النهاية إلى الأساس نفسه. وبالمثل، نعلم أنه إذا جدلنا الأنيونات حول بعضها عددًا مُعينًا من المرات، فسيعود بنا ذلك إلى الحالة نفسها. تُسمى هذه البديهيات بالبديهيات الخماسية والسداسية على التوالي ، حيث يُمكن تصور إجراء العملية باستخدام شكل خماسي/سداسي لتحويلات الحالة. على الرغم من صعوبتها الرياضية، ^{[ 20 ]} إلا أنه يُمكن التعامل معها بصريًا بنجاح أكبر.

باستخدام هذه المؤثرات المضفرة، يمكننا أخيرًا صياغة مفهوم الضفائر من حيث كيفية تأثيرها على فضاء هيلبرت الخاص بنا وبناء بوابات كمومية عالمية عشوائية. ^{[ 21 ]}