وظيفة أوميغا لرايت

في الرياضيات ، يتم تعريف دالة رايت أوميغا أو دالة رايت ، ^{[ ملاحظة 1 ]} ويرمز لها بـ ω ، بدلالة دالة لامبرت W على النحو التالي:

${\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z}).}$

من الأسهل تعريفها بدالة عكسية لها

${\displaystyle z(\omega )=\ln(\omega )+\omega }$

أحد التطبيقات الرئيسية لهذه الوظيفة هو حل المعادلة z  =  ln( z )، حيث أن الحل الوحيد هو z  = e ^{− ω( π i )} .  

y = ω( z ) هو الحل الوحيد، عندما${\displaystyle z\neq x\pm i\pi }$بالنسبة لـ x ≤ − 1، فإن المعادلة y + ln( y ) = z . باستثناء هاتين القيمتين، فإن دالة رايت أوميغا متصلة ، بل تحليلية .      

تحقق دالة أوميغا لرايت العلاقة التالية${\displaystyle W_{k}(z)=\أوميغا (\ln(z)+2\pi ik)}$.

كما أنها تحقق المعادلة التفاضلية

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}$

حيثما تكون ω تحليلية (كما يمكن ملاحظة ذلك من خلال فصل المتغيرات واستعادة المعادلة)${\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}$وبالتالي، يمكن التعبير عن تكامله على النحو التالي:

${\displaystyle \int \omega ^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{cases}}}$

سلسلة تايلور الخاصة بها حول النقطة${\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}$يأخذ الشكل التالي  :

${\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(za)^{n}}{n!}}}$

أين

${\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

في أي

${\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}$

هو عدد أويلري من الدرجة الثانية .

$\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}$

• رسومات بيانية لدالة أوميغا لرايت على المستوى المركب
• 
  ${\displaystyle \Re \{\أوميغا (ض)\}}$
• 
  ${\displaystyle \Im \{\أوميغا (ض)\}}$
• 
  ${\displaystyle |\omega (z)|}$