مصفوفة ويثوف

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، مصفوفة ويثوف هي مصفوفة لانهائية من الأعداد الصحيحة الموجبة ، مشتقة من متتالية فيبوناتشي، وسُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات الهولندي ويليم أبراهام ويثوف . يظهر كل عدد صحيح موجب مرة واحدة فقط في المصفوفة، ويمكن اشتقاق أي متتالية أعداد صحيحة مُعرَّفة بتكرار فيبوناتشي عن طريق إزاحة صف واحد من المصفوفة.

تم تعريف مصفوفة ويثوف لأول مرة بواسطة موريسون (1980) باستخدام أزواج ويثوف، وهي إحداثيات المواضع الفائزة في لعبة ويثوف . ويمكن تعريفها أيضًا باستخدام أعداد فيبوناتشي ونظرية زيكندورف ، أو مباشرةً من النسبة الذهبية وعلاقة التكرار التي تحدد أعداد فيبوناتشي.

قيم

تحتوي مصفوفة Wythoff على القيم

123581321⋯471118294776⋯61016264268110⋯915243963102165⋯1220325284136220⋯1423376097157254⋯17284573118191309⋯⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱{\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&5&8&13&21&\cdots \\4&7&11&18&29&47&76&\cdots \\6&10&16&26&42&68&110&\cdots \\9&15&24&39&63&102&165&\cdots \\12&20&32&52&84&136&220&\cdots \\14&23&37&60&97&157&254&\cdots \\17&28&45&73&118&191&309&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{matrix}}}(التسلسل A035513 في OEIS ) .

تعريفات مكافئة

استلهامًا من مصفوفة ستولارسكي المماثلة التي سبق تعريفها من قبل ستولارسكي (1977) ، عرّف موريسون (1980) مصفوفة ويثوف على النحو التالي.φ=12(1+5){\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}لنرمز إلى النسبة الذهبية ؛ ثمأنا{\displaystyle i}يُحدد وضع الفوز في لعبة ويثوف بواسطة زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة.(⌊أناφ⌋،⌊أناφ2⌋){\displaystyle \left(\left\lfloor i\varphi \right\rfloor ,\left\lfloor i\varphi ^{2}\right\rfloor \right)}حيث تُحدد الأرقام على جانبي الزوج متتاليتين متكاملتين من متتاليات بيتي ، تتضمنان معًا كل عدد صحيح موجب مرة واحدة فقط. يُحدد موريسون أول رقمين في الصفم{\displaystyle m}من المصفوفة لتكون زوج Wythoff المعطى بالمعادلةأنا=⌊مφ⌋{\displaystyle i=\lfloor m\varphi \rfloor }وحيث يتم تحديد الأرقام المتبقية في كل صف بواسطة علاقة التكرار فيبوناتشي. أي، إذاأم،ن{\displaystyle A_{m,n}}يشير إلى الإدخال في الصفم{\displaystyle m}والعمودن{\displaystyle n}من المصفوفة، ثم

أم،1=⌊⌊مφ⌋φ⌋،أم،2=⌊⌊مφ⌋φ2⌋،أم،ن=أم،ن-2+أم،ن-1ل ن>2.{\displaystyle {\begin{aligned}A_{m,1}&=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor ,\\A_{m,2}&=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor ,\\A_{m,n}&=A_{m,n-2}+A_{m,n-1}\quad {\text{for }}n>2\,.\end{aligned}}}

تمثيل زيكندورف لأي عدد صحيح موجب هو تمثيل كمجموع أعداد فيبوناتشي مختلفة، لا يوجد اثنان منها متتاليان في متتالية فيبوناتشي. وكما يوضح كيمبرلينج (1995) ، فإن الأعداد داخل كل صف من المصفوفة لها تمثيل زيكندورف يختلف عن بعضها البعض بعملية إزاحة واحدة، بينما الأعداد داخل كل عمود لها تمثيل زيكندورف يستخدم جميعها أصغر عدد فيبوناتشي نفسه. وعلى وجه الخصوص، المدخلأم،ن{\displaystyle A_{m,n}}جزء من المصفوفة هوم{\displaystyle m}أصغر عدد يبدأ تمثيله وفقًا لنموذج زيكندورف بـ(ن+1){\displaystyle (n+1)}العدد 1 من متتالية فيبوناتشي.

ملكيات

يظهر كل زوج من أزواج ويثوف مرة واحدة فقط في مصفوفة ويثوف، كزوج متتالي من الأرقام في نفس الصف، حيث يكون الرقم الأول فرديًا والثاني زوجيًا. ولأن كل عدد صحيح موجب يظهر في زوج واحد فقط من أزواج ويثوف، فإنه يظهر مرة واحدة فقط في المصفوفة ( موريسون، 1980 ) .

تظهر جميع متتاليات الأعداد الصحيحة الموجبة التي تحقق تكرار فيبوناتشي، مُزاحةً بعدد محدود من المواضع على الأكثر، في مصفوفة وايثوف. وعلى وجه الخصوص، تُمثل متتالية فيبوناتشي نفسها الصف الأول، بينما تظهر متتالية أعداد لوكاس في شكل مُزاح في الصف الثاني ( موريسون 1980 ) .

مراجع