نموذج ذو ثمانية رؤوس

في الميكانيكا الإحصائية ، يُعدّ نموذج الرؤوس الثمانية تعميمًا لنماذج الجليد (ذات الرؤوس الستة) . وقد ناقشه كلٌّ من تي. بيل ساذرلاند ^{[ 1 ]} وسي. فان وإف واي وو ^{[ 2 ]} ، وقام رودني باكستر بحلّه في حالة انعدام المجال ^{[ 3 ] .}

كما هو الحال مع نماذج الجليد، فإن نموذج الرؤوس الثمانية هو نموذج شبكي مربع ، حيث تمثل كل حالة مجموعة من الأسهم عند رأس. تحتوي الرؤوس المسموح بها على عدد زوجي من الأسهم التي تشير إلى الرأس؛ وتشمل هذه الأسهم الستة الموروثة من نموذج الجليد (1-6)، والمصارف (7)، والمصادر (8).

نحن نعتبر${\displaystyle N\times N}$شبكة، مع${\displaystyle N^{2}}$الرؤوس و${\displaystyle 2N^{2}}$الحواف. يتطلب فرض شروط الحدود الدورية أن تحدث الحالتان 7 و8 بنفس التواتر، وكذلك الحال بالنسبة للحالتين 5 و6، وبالتالي يمكن اعتبارها متساوية الطاقة. وينطبق الأمر نفسه على الزوجين الآخرين من الحالات في حالة انعدام المجال. كل رأس${\displaystyle j}$له طاقة مصاحبة${\displaystyle \epsilon _{j}}$ووزن بولتزمان

${\displaystyle w_{j}=\exp \left(-{\frac {\epsilon _{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}$

إعطاء دالة التقسيم على الشبكة على النحو التالي

${\displaystyle Z=\sum \exp \left(-{\frac {\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}$

حيث يشمل الجمع الخارجي جميع التكوينات المسموح بها للرؤوس في الشبكة. في هذا الشكل العام، تبقى دالة التقسيم غير محلولة.

تُقابل حالة انعدام المجال في النموذج فيزيائيًا غياب المجالات الكهربائية الخارجية. لذا، يبقى النموذج دون تغيير عند عكس جميع الأسهم. وبالتالي، يجب أن تظهر الحالتان 1 و2، و3 و4، كأزواج. ويمكن إسناد أوزان اختيارية للرؤوس.

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}=w_{2}&=a\\w_{3}=w_{4}&=b\\w_{5}=w_{6}&=c\\w_{7}=w_{8}&=d.\end{aligned}}}$

يعتمد الحل على ملاحظة أن صفوف مصفوفات النقل تتبادل، وذلك لمعاملات معينة لهذه الأوزان الأربعة لبولتزمان. وقد نتج هذا الحل عن تعديل حل بديل لنموذج الرؤوس الستة الذي يستخدم دوال ثيتا الإهليلجية .

دالة المصفوفة${\displaystyle Q(u)}$

أما الجزء الحاسم الآخر من الحل فهو وجود دالة غير منفردة ذات قيم مصفوفية${\displaystyle Q}$بحيث يكون ذلك لجميع المركبات المعقدة${\displaystyle u}$المصفوفات${\displaystyle Q(u),Q(u')}$تتبادل فيما بينها ومع مصفوفات النقل، وتحقق

${\displaystyle \zeta (u)T(u)Q(u)=\phi (u-\eta )Q(u+2\eta )+\phi (u+\eta )Q(u-2\eta )}$

1

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (u)&=[c^{-1}H(2\eta )\Theta (u-\eta )\Theta (u+\eta )]^{N}\\\phi (u)&=[\Theta (0)H(u)\Theta (u)]^{N}.\end{aligned}}}$

يتم إثبات وجود وعلاقات التبادل لمثل هذه الوظيفة من خلال النظر في انتشار الأزواج عبر رأس، وعلاقات الدورية لوظائف ثيتا، بطريقة مماثلة لنموذج الرؤوس الستة.

توجد علاقة طبيعية بين نموذج الرؤوس الثمانية ونموذج إيزينغ مع تفاعلات الجوار الأقرب ثنائية الدوران ورباعية الدوران. حالات هذا النموذج هي دورانات${\displaystyle \sigma =\pm 1}$على أوجه الشبكة المربعة. نظير "الحواف" في نموذج الرؤوس الثمانية هو ناتج دوران على الأوجه المتجاورة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i,j+1}\\\mu _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i+1,j}.\end{aligned}}}$

الشكل الأكثر عمومية للطاقة لهذا النموذج هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &=-\sum _{ij}(J_{h}\mu _{ij}+J_{v}\alpha _{ij}+J\alpha _{ij}\mu _{ij}+J'\alpha _{i+1,j}\mu _{ij}+J''\alpha _{ij}\alpha _{i+1,j})\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle J_{h}}$،${\displaystyle J_{v}}$،${\displaystyle J}$،${\displaystyle J'}$صف التفاعلات الأفقية والرأسية والقطرية ذات اللف المغزلي الثنائي، و${\displaystyle J''}$يصف التفاعل ذو الدوران الرباعي بين أربعة أوجه عند رأس واحد؛ والمجموع يشمل الشبكة بأكملها.

نرمز إلى الدوران الأفقي والرأسي (الأسهم على الحواف) في نموذج الرؤوس الثمانية${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle \alpha }$على التوالي، ونُعرّف الأعلى واليمين كاتجاهين موجبين. ويتمثل القيد المفروض على حالات الرؤوس في أن حاصل ضرب أربعة أضلاع عند رأس ما يساوي 1؛ وهذا ينطبق تلقائيًا على "أضلاع" إيزينغ. كل${\displaystyle \sigma }$ثم يتوافق التكوين مع فريد ${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle \alpha }$التكوين، بينما كل ${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle \alpha }$يُتيح التكوين خيارين من${\displaystyle \sigma }$التكوينات.

مساواة الأشكال العامة لأوزان بولتزمان لكل رأس${\displaystyle j}$، العلاقات التالية بين${\displaystyle \epsilon _{j}}$و${\displaystyle J_{h}}$،${\displaystyle J_{v}}$،${\displaystyle J}$،${\displaystyle J'}$،${\displaystyle J''}$حدد العلاقة بين نماذج الشبكة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{1}&=-J_{h}-J_{v}-J-J'-J'',\quad \epsilon _{2}=J_{h}+J_{v}-J-J'-J''\\\epsilon _{3}&=-J_{h}+J_{v}+J+J'-J'',\quad \epsilon _{4}=J_{h}-J_{v}+J+J'-J''\\\epsilon _{5}&=\epsilon _{6}=J-J'+J''\\\epsilon _{7}&=\epsilon _{8}=-J+J'+J''.\end{aligned}}}$

ويترتب على ذلك أنه في حالة المجال الصفري لنموذج الرؤوس الثمانية، فإن التفاعلات الأفقية والرأسية في نموذج إيزينغ المقابل تتلاشى.

تُعطي هذه العلاقات التكافؤ${\displaystyle Z_{I}=2Z_{8V}}$بين دوال التقسيم لنموذج الرؤوس الثمانية، ونموذج إيزينغ ذي الدوران (2،4). وبالتالي، فإن أي حل في أي من النموذجين سيؤدي مباشرة إلى حل في الآخر.

• نموذج ذو ستة رؤوس
• طريقة مصفوفة النقل
• نموذج إيزينغ

• باكستر، رودني ج. (1982)، نماذج محلولة بدقة في الميكانيكا الإحصائية (ملف PDF) ، لندن: أكاديميك برس إنك. [هاركورت بريس جوفانوفيتش للنشر]، رقم ISBN 978-0-12-083180-7، MR 0690578 ، مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 14-04-2021 ، تم استرجاعه بتاريخ 12-08-2012