استمرارية مطلقة

يترك${\displaystyle I}$ليكن فاصلاً في خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$دالة${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$مستمر تمامًا​${\displaystyle I}$إذا كان لكل عدد موجب${\displaystyle \varepsilon }$، يوجد عدد موجب${\displaystyle \delta }$بحيث أنه كلما كانت متتالية منتهية من الفترات الفرعية المنفصلة مثنى مثنى${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ل${\displaystyle I}$مع${\displaystyle x_{k}<y_{k}}$يفي بـ ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

ثم

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

مجموعة جميع الدوال المتصلة بشكل مطلق على${\displaystyle I}$يُشار إليه بـ${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$.

الشروط التالية على دالة حقيقية f على فترة مغلقة [ a , b ] متكافئة: ^{[ 2 ]}

1. الدالة f متصلة بشكل مطلق؛
2. للدالة f مشتقة f ′ في كل مكان تقريبًا ، والمشتقة قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ، و$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$لكل x على [ a , b ]؛
3. توجد دالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ g على الفترة [ a , b ] بحيث$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$لكل x في [ a , b ].

إذا تحققت هذه الشروط المكافئة، فإن أي دالة g كما في الشرط 3 تحقق بالضرورة g = f ′ في كل مكان تقريبًا.

يُعرف التكافؤ بين (1) و (3) باسم النظرية الأساسية لحساب التكامل لليبيغ ، والتي تعود إلى ليبيغ . ^{[ 3 ]}

للحصول على تعريف مكافئ من حيث المقاييس، انظر قسم العلاقة بين مفهومي الاستمرارية المطلقة .

• مجموع وفرق دالتين متصلتين اتصالاً مطلقاً هما أيضاً دالتان متصلتان اتصالاً مطلقاً. إذا كانت الدالتان معرفتين على فترة مغلقة (محدودة) ، فإن حاصل ضربهما يكون أيضاً متصلاً اتصالاً مطلقاً. ^{[ 4 ]} قد لا ينطبق هذا على الفترات غير المحدودة: على سبيل المثال على${\displaystyle \mathbb {R} }$، الوظيفة${\displaystyle f(x)=x}$متصلة تمامًا، ولكن${\displaystyle f(x)^{2}}$وهي ليست متصلة بشكل منتظم حتى.
• إذا كانت الدالة f متصلة اتصالاً مطلقاً ومُعرَّفة على فترة مغلقة (محدودة) ولا تساوي صفرًا في أي مكان، فإن 1/f تكون متصلة اتصالاً مطلقاً. ^{[ 5 ]}
• كل دالة متصلة اتصالاً مطلقاً (على فترة ما) تكون متصلة اتصالاً منتظماً ، وبالتالي فهي متصلة . كل دالة متصلة اتصالاً ليبشيتز (على مستوى العالم) تكون متصلة اتصالاً مطلقاً. ^{[ 6 ]}
• إذا كانت f : [ a , b ] → R متصلة بشكل مطلق، فإنها قابلة للتفاضل بشكل ضعيف ؛ وعلى العكس من ذلك، إذا كانت f : [ a , b ] → R قابلة للتفاضل بشكل ضعيف، فإنها تتطابق تقريبًا في كل مكان مع دالة متصلة بشكل مطلق ^{[ 7 ]} ؛ وهذا يوفر توصيفًا لفضاءات سوبوليف على فترات من الخط الحقيقي.
• إذا كانت الدالة f : [ a , b ] → R متصلة اتصالاً مطلقاً، فإنها تكون ذات تباين محدود على [ a , b ]. ^{[ 8 ]}
• إذا كانت f : [ a , b ] → R متصلة بشكل مطلق، فيمكن كتابتها على أنها الفرق بين دالتين متصلتين بشكل مطلق غير متناقصتين على [ a , b ].
• إذا كانت الدالة f : [ a , b ] → R متصلة اتصالاً مطلقاً، فإنها تتمتع بخاصية لوزين N (أي، لأي${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$بحيث${\displaystyle \lambda (N)=0}$ويرى ذلك أن${\displaystyle \lambda (f(N))=0}$، أين${\displaystyle \lambda }$يرمز إلى مقياس ليبيغ على R ).
• تكون الدالة f : [ a , b ] → R متصلة اتصالاً مطلقاً إذا وفقط إذا كانت متصلة، وذات تباين محدود، وتتمتع بخاصية لوزين N. تُعرف هذه العبارة أيضاً باسم نظرية باناخ-زاريكي. ^{[ 9 ]}
• إذا كانت الدالة f : I → R متصلة بشكل مطلق، والدالة g : R → R متصلة بشكل شامل وفقًا لشرط ليبشيتز ، فإن التركيب g${\displaystyle \circ }$الدالة f متصلة اتصالاً مطلقاً. وعلى العكس، لكل دالة g غير متصلة اتصالاً مطلقاً وفقاً لشرط ليبشيتز، توجد دالة f متصلة اتصالاً مطلقاً بحيث g${\displaystyle \circ }$الدالة f ليست متصلة بشكل مطلق. ^{[ 10 ]}

الدوال التالية متصلة بانتظام ولكنها ليست متصلة بشكل مطلق:

• دالة كانتور على [0، 1] (هي ذات تباين محدود ولكنها ليست متصلة بشكل مطلق)؛
• الوظيفة:$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$$على فترة زمنية محدودة تحتوي على نقطة الأصل.

الدوال التالية متصلة بشكل مطلق ولكنها ليست متصلة وفقًا لمعيار α-Hölder:

• الدالة f ( x )  = xβ على ^الفترة [0, c ]، لأي قيمة β < α < 1  

الدوال التالية متصلة بشكل مطلق ومتصلة وفقًا لشرط α-Hölder ولكنها ليست متصلة وفقًا لشرط Lipschitz :

• الدالة f ( x )  = √ x على [0, c ]، لـ α ≤ 1/2.    

ليكن ( X , d ) فضاءً متريًا ، ولتكن I فترةً في خط الأعداد الحقيقية R. تكون الدالة f : I → X متصلة اتصالًا مطلقًا على I إذا كان لكل عدد موجب${\displaystyle \varepsilon }$، يوجد عدد موجب${\displaystyle \delta }$بحيث أنه كلما حققت متتالية منتهية من الفترات الفرعية المنفصلة مثنى مثنى [ x _k , y _k ] من I ما يلي:

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

ثم:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .}$

يُرمز إلى مجموعة جميع الدوال المتصلة بشكل مطلق من I إلى X بالرمز AC( I ; X ).

تعميم آخر هو الفضاء AC ^p ( I ; X ) للمنحنيات f : I → X بحيث: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ لجميع }}[s,t]\subseteq I}$

لبعض m في فضاء L ^p L ^p (I).

• كل دالة متصلة بشكل مطلق (على فترة مغلقة) تكون متصلة بانتظام ، وبالتالي فهي متصلة . كل دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز تكون متصلة بشكل مطلق.
• إذا كانت f : [ a , b ] → X متصلة بشكل مطلق، فإنها ذات تباين محدود على [ a , b ].
• بالنسبة لـ f ∈ AC ^p ( I ; X )، فإن المشتقة المترية لـ f موجودة لـ λ - تقريبًا في جميع الأوقات في I ، والمشتقة المترية هي أصغر m ∈ L ^p ( I ; R ) بحيث: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ لجميع }}[s,t]\subseteq I.}$$

مقياس​${\displaystyle \mu }$تكون الدالة على مجموعات بوريل الفرعية للخط الحقيقي متصلة اتصالاً مطلقاً بالنسبة لمقياس ليبيغ.${\displaystyle \lambda }$إذا كان لكل مجموعة بوريل${\displaystyle A,}$${\displaystyle \lambda (A)=0}$يشير إلى${\displaystyle \mu (A)=0}$أو بعبارة أخرى، ${\displaystyle \mu (A)>0}$يشير إلى${\displaystyle \lambda (A)>0}$يُكتب هذا الشرط على النحو التالي:${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$نقول${\displaystyle \mu }$يهيمن عليها​${\displaystyle \lambda .}$

في معظم التطبيقات، إذا قيل ببساطة أن مقياسًا على الخط الحقيقي متصل بشكل مطلق - دون تحديد المقياس الآخر الذي يكون متصلًا بشكل مطلق بالنسبة له - فإن المقصود هو الاتصال المطلق بالنسبة لمقياس ليبيغ.

وينطبق المبدأ نفسه على المقاييس الموجودة على مجموعات بوريل الفرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

الشروط التالية على مقياس محدود${\displaystyle \mu }$المجموعات الفرعية لبوريل من الخط الحقيقي متكافئة: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle \mu }$متصلة بشكل مطلق؛
2. لكل عدد موجب${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد موجب${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$لجميع مجموعات بوريل${\displaystyle A}$قياس ليبيغ أقل من${\displaystyle \delta$ ;}
3. توجد دالة قابلة للتكامل وفقًا لمقياس لوبيغ${\displaystyle g}$على خط الأعداد الحقيقية بحيث:$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$لجميع المجموعات الفرعية لبوريل${\displaystyle A}$من الخط الحقيقي.

للحصول على تعريف مكافئ من حيث الدوال، انظر قسم العلاقة بين مفهومي الاستمرارية المطلقة .

أي دالة أخرى تحقق الشرط (3) تساوي${\displaystyle g}$في كل مكان تقريبًا. تُسمى هذه الدالة مشتقة رادون-نيكوديم ، أو كثافة المقياس المتصل تمامًا.${\displaystyle \mu .}$

ينطبق التكافؤ بين (1) و(2) و(3) أيضًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

وبالتالي، فإن التدابير المستمرة تمامًا على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي تحديداً تلك التي لها كثافات؛ كحالة خاصة، فإن مقاييس الاحتمالية المستمرة تماماً هي تحديداً تلك التي لها دوال كثافة احتمالية .

لو${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$هما قياسان على نفس المساحة القابلة للقياس${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \mu }$يقال إنهبشكل مستمر تماماً فيما يتعلق بـ${\displaystyle \nu }$لو${\displaystyle \mu (A)=0}$لكل مجموعة${\displaystyle A}$والتي${\displaystyle \nu (A)=0.}$^{[ 14 ]} هذا مكتوب على النحو التالي "${\displaystyle \mu \ll \nu }$". إنه: $${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

متى${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ثم${\displaystyle \nu }$يقال إنهمسيطر${\displaystyle \mu .}$

إن استمرارية القياسات المطلقة انعكاسية ومتعدية ، لكنها ليست مضادة للتناظر ، لذا فهي ترتيب جزئي وليست ترتيبًا جزئيًا . بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle \mu \ll \nu }$و${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$التدابير${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$يقال إنها متكافئة . وبالتالي فإن الاستمرارية المطلقة تؤدي إلى ترتيب جزئي لفئات التكافؤ هذه .

لو${\displaystyle \mu }$إذا كان مقياسًا موقعًا أو معقدًا ، يُقال إن${\displaystyle \mu }$متصل تمامًا فيما يتعلق بـ${\displaystyle \nu }$إذا كان تنوعه${\displaystyle |\mu |}$يرضي${\displaystyle |\mu |\ll \nu$ ;} أو بعبارة أخرى، إذا كانت كل مجموعة${\displaystyle A}$والتي${\displaystyle \nu (A)=0}$يكون${\displaystyle \mu }$- باطل .

تنص نظرية رادون -نيكوديم ^{[ 15 ] على أنه إذا}${\displaystyle \mu }$متصل تمامًا فيما يتعلق بـ${\displaystyle \nu ,}$وإذا كان كلا المقياسين محدودين من الدرجة σ ، فإن${\displaystyle \mu }$له كثافة، أو "مشتق رادون-نيكوديم"، بالنسبة إلى${\displaystyle \nu ,}$مما يعني وجود${\displaystyle \nu }$- دالة قابلة للقياس${\displaystyle f}$أخذ القيم في${\displaystyle [0,+\infty ),}$يرمز إليه بـ${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$بحيث يكون لأي${\displaystyle \nu }$مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle A}$لدينا: $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

باستخدام نظرية تفكيك لوبيغ ، ^{[ 16 ]} يمكن تفكيك كل مقياس سيغما-محدود إلى مجموع مقياس متصل تمامًا ومقياس شاذ بالنسبة لمقياس سيغما-محدود آخر. انظر المقياس الشاذ للاطلاع على أمثلة لمقاييس غير متصلة تمامًا.