البنيوية (فلسفة الرياضيات)

البنيوية نظرية في فلسفة الرياضيات ترى أن النظريات الرياضية تصف بنى الكائنات الرياضية . تُعرَّف الكائنات الرياضية تعريفًا شاملًا بموقعها في هذه البنى. ونتيجةً لذلك، ترى البنيوية أن الكائنات الرياضية لا تمتلك أي خصائص جوهرية ، بل تُعرَّف بعلاقاتها الخارجية في النظام. على سبيل المثال، ترى البنيوية أن العدد 1 يُعرَّف تعريفًا شاملًا بكونه العدد التالي للعدد 0 في بنية نظرية الأعداد الطبيعية ؛ وبتعميم هذا المثال، يُعرَّف أي عدد طبيعي بموقعه في تلك النظرية. ومن الأمثلة الأخرى على الكائنات الرياضية الخطوط والمستويات في الهندسة ، أو العناصر والعمليات في الجبر المجرد .

تُعدّ البنيوية رؤية واقعية من الناحية المعرفية ، إذ ترى أن للعبارات الرياضية قيمة صدق موضوعية . مع ذلك، فإنّ ادعاءها الأساسي لا يتناول سوى نوع الكيان الذي يُمثّله الكائن الرياضي، وليس نوع الوجود الذي تتمتّع به الكائنات أو البنى الرياضية (أي أنطولوجيتها ). يعتمد نوع الوجود الذي تتمتّع به الكائنات الرياضية على نوع الوجود الذي تتمتّع به البنى التي تندرج ضمنها؛ وتُقدّم فروع البنيوية المختلفة ادعاءات أنطولوجية مختلفة في هذا الصدد. ^{[ 1 ]}

ترتبط البنيوية في فلسفة الرياضيات بشكل خاص ببول بيناسيراف ، وجيفري هيلمان ، ومايكل ريسنيك ، وستيوارت شابيرو ، وجيمس فرانكلين .

ينبع الدافع التاريخي لتطور البنيوية من مشكلة أساسية في علم الوجود . فمنذ العصور الوسطى ، ناقش الفلاسفة ما إذا كان علم وجود الرياضيات يتضمن كائنات مجردة . وفي فلسفة الرياضيات، يُعرَّف الكائن المجرد تقليديًا بأنه كيان:

(1) موجود بشكل مستقل عن العقل؛ (2) موجود بشكل مستقل عن العالم التجريبي؛ و (3) له خصائص أبدية وغير قابلة للتغيير.

يؤكد المذهب الأفلاطوني الرياضي التقليدي أن مجموعة من العناصر الرياضية - كالأعداد الطبيعية ، والأعداد الحقيقية ، والدوال ، والعلاقات ، والأنظمة - هي كائنات مجردة. في المقابل، ينكر المذهب الاسمي الرياضي وجود أي كائنات مجردة من هذا القبيل في علم وجود الرياضيات.

في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، اكتسبت العديد من البرامج المناهضة للأفلاطونية شعبيةً واسعة، ومنها الحدسية ، والشكلية ، والتنبؤية . إلا أنه بحلول منتصف القرن العشرين، واجهت هذه النظريات المناهضة للأفلاطونية العديد من المشكلات الخاصة بها، مما أدى لاحقًا إلى عودة الاهتمام بالأفلاطونية. وفي هذا السياق التاريخي، نشأت دوافع البنيوية. في عام ١٩٦٥، نشر بول بيناسيراف مقالًا مؤثرًا بعنوان "ما لا يمكن أن تكون عليه الأعداد". ^{[ ٢ ]} وخلص بيناسيراف، استنادًا إلى حجتين رئيسيتين، إلى أن الأفلاطونية القائمة على نظرية المجموعات لا يمكن أن تنجح كنظرية فلسفية للرياضيات.

أولًا، جادل بيناسراف بأن المناهج الأفلاطونية لا تجتاز الاختبار الأنطولوجي. ^{[ 2 ]} وقد طوّر حجةً ضد أنطولوجيا الأفلاطونية القائمة على نظرية المجموعات، والتي تُعرف تاريخيًا باسم مشكلة بيناسراف في تحديد الهوية . لاحظ بيناسراف وجود طرق نظرية مجموعات متكافئة مبدئيًا لربط الأعداد الطبيعية بالمجموعات النقية . مع ذلك، إذا طُلب تحديد عبارات الهوية "الحقيقية" لربط الأعداد الطبيعية بالمجموعات النقية، فإن الطرق المختلفة القائمة على نظرية المجموعات تُنتج عبارات هوية متناقضة عند ربط هذه المجموعات المتكافئة مبدئيًا. ^{[ 2 ]} وهذا يُولّد مغالطة نظرية المجموعات. ونتيجةً لذلك، استنتج بيناسراف أن هذه المغالطة النظرية تُثبت استحالة وجود أي طريقة أفلاطونية لاختزال الأعداد إلى مجموعات تكشف عن أي كائنات مجردة.

ثانيًا، جادل بيناسراف بأن المناهج الأفلاطونية لا تجتاز الاختبار المعرفي . فقد زعم بيناسراف أنه لا توجد طريقة تجريبية أو عقلانية للوصول إلى الأشياء المجردة. وإذا لم تكن الأشياء الرياضية مكانية أو زمانية، فإن بيناسراف يستنتج أن هذه الأشياء لا يمكن الوصول إليها من خلال النظرية السببية للمعرفة . ^{[ 3 ]} ومن ثم، تبرز المشكلة المعرفية الأساسية أمام الأفلاطوني لتقديم تفسير معقول لكيفية تمكّن عالم رياضيات ذي عقل تجريبي محدود من الوصول بدقة إلى حقائق أبدية مستقلة عن العقل والعالم. ومن هذه الاعتبارات - الحجة الأنطولوجية والحجة المعرفية - حفّزت انتقادات بيناسراف المناهضة للأفلاطونية تطور البنيوية في فلسفة الرياضيات (مع مراعاة ما سيرد لاحقًا بشأن الأنواع الأفلاطونية من الأخيرة).

يقسم ستيوارت شابيرو البنيوية إلى ثلاث مدارس فكرية رئيسية. ^{[ 4 ]} ويشار إلى هذه المدارس باسم مدرسة ما قبل الموضوع ، ومدرسة الموضوع ، ومدرسة ما بعد الموضوع .

• تتشابه البنيوية السابقة للشيء ^{[ 5 ]} ، أو البنيوية المجردة ^{[ 4 ]} ، أو التجريدية ^{[ 6 ] [ أ ]} (المرتبطة بشكل خاص بمايكل ريسنيك ^{[ 4 ]} ، وستيوارت شابيرو ^{[ 4 ]} ، وإدوارد زالتا ^{[ 7 ]،} وبوب هيل وكريسبين رايت ^{[ 8 ]} ،وأويستين لينيبو ^{[ 9 ]} ،في أنطولوجياها مع الأفلاطونية (انظر أيضًا المنطق الجديد الموجه ). ويُعتقد أن للبنى وجودًا حقيقيًا، وإن كان مجردًا وغير مادي. وعلى هذا النحو، فإنها تواجه المشكلة المعرفية المعتادة ، كما أشار بيناسيراف، والمتمثلة في تفسير التفاعل بين هذه البنى المجردة والرياضيين من لحم ودم. ^{[ 3 ]} بُذلت عدة محاولات لمواجهة هذا التحدي: على سبيل المثال، يقترح ريسنيك وشابيرو أن المعرفة اللازمة بالبنى الرياضية المجردة تُكتسب عبر بناء أنظمة من البديهيات، التي توفر تعريفات ضمنية للبنى ذات الصلة، مما يُغني عن أي حاجة للتواصل بين العقل والمجردات؛ وبدلاً من ذلك، وربما الأكثر نجاحًا، طور لينسكي وزالتا(بالتعاون)، وبالاغوير ( بشكل منفصل)، منهجًا يُسمى الأفلاطونية الكاملة (أو الأفلاطونية "الكاملة")، حيث يُفترض أن جميع الكائنات الرياضية التي يُمكن أن توجد موجودة بالفعل، وبالتالي، لا حاجة للتواصل مع هذه المجردة: فكل نظرية رياضية متسقة داخليًا ستصف بدقة مجموعة من الكائنات الرياضية (الموجودة بالفعل). ^{[ 10 ]}
• في البنيوية ^{[ 5 ]} ("في الشيء")، أو البنيوية المشروطة ^{[ 4 ]} (المرتبطة بشكل خاص بجيفري هيلمان )، ^{[ 4 ]} تُعادل الواقعية الأرسطية ^{[ 11 ]} (الواقعية في قيمة الصدق، ولكنها مناهضة للواقعية فيما يتعلق بالأشياء المجردة في الأنطولوجيا). يُفترض وجود البنى بقدر ما يُجسدها نظام ملموس؛ أو، بالنسبة للبنيوي المشروط، بقدر ما يكون من الممكن أن توجد. يُثير هذا الأمر المشكلات المعتادة، وهي أن بعض البنى المشروعة تمامًا قد لا توجد بالصدفة، وأن العالم المادي المحدود قد لا يكون "كبيرًا" بما يكفي لاستيعاب بعض البنى المشروعة. ^{[ ب ]} تُعد الواقعية الأرسطية لجيمس فرانكلين أيضًا بنيوية في جوهرها ، إذ تُجادل بأن الخصائص البنيوية، مثل التناظر، تتجسد في العالم المادي، وبالتالي يُمكن إدراكها. ^{[ 12 ]} ردًا على مشكلة البنى غير المُجسَّدة التي تفوق حجمها حجم العالم المادي، يشير فرانكلين إلى أن العلوم الأخرى يمكنها أيضًا التعامل مع الكليات غير المُجسَّدة؛ فعلى سبيل المثال، يمكن لعلم الألوان أن يتعامل مع درجة من اللون الأزرق لا تظهر في أي جسم حقيقي. ^{[ 13 ]}
• البنيوية ما بعد الواقعية ^{[ 14 ]} ("ما بعد الشيء")، أو البنيوية الإقصائية ^{[ 4 ]} (المرتبطة بشكل خاص ببول بيناسيراف ) ^{[ 4 ]،} هي مناهضة للواقعية فيما يتعلق بالبنى، بطريقة تُوازي الاسمية . ومثل الاسمية، ينكر منهج ما بعد الواقعية وجود كائنات رياضية مجردة ذات خصائص أخرى غير موقعها في بنية علائقية. ووفقًا لهذا الرأي، فإن الأنظمة الرياضية موجودة، وتشترك في سمات بنيوية؛ فإذا كان شيء ما صحيحًا في بنية ما، فسيكون صحيحًا في جميع الأنظمة التي تُجسد تلك البنية. ومع ذلك، فإن الحديث عن كون البنى "مشتركة" بين الأنظمة ليس إلا وسيلةً نفعية: فهي في الواقع لا وجود مستقل لها.

• نظرية الكائن المجرد
• أسس الرياضيات
• أسس أحادية التكافؤ
• فلسفة الرياضيات الواقعية الأرسطية

مقدمات

• نيكولاس بورباكي

• البنيوية الرياضية ، موسوعة الإنترنت للفلسفة
• التجريدية ، موسوعة الإنترنت للفلسفة
• مشروع بحثي بعنوان "أسس البنيوية" ، جامعة بريستول، المملكة المتحدة