إحداثيات زاوية الفعل

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُعدّ متغيرات الفعل والزاوية مجموعة من الإحداثيات الأساسية التي تُفيد في توصيف طبيعة التدفقات التبادلية في الأنظمة التكاملية عندما تكون مجموعة مستويات الطاقة المحفوظة مضغوطة، وتكون التدفقات التبادلية كاملة. كما تُعدّ متغيرات الفعل والزاوية مهمة في الحصول على ترددات الحركة التذبذبية أو الدورانية دون الحاجة إلى حل معادلات الحركة . ولا توجد هذه المتغيرات، التي تُقدّم توصيفًا أساسيًا للديناميكيات، إلا عندما يكون النظام تكامليًا تمامًا ، أي عندما يكون عدد ثوابت بواسون التبادلية المستقلة في أقصى حد، ويكون سطح الطاقة المحفوظة مضغوطًا. وعادةً ما يكون لهذا قيمة حسابية عملية عندما تكون معادلة هاميلتون-جاكوبي قابلة للفصل تمامًا، ويمكن إيجاد ثوابت الفصل كدوال على فضاء الطور. تُعرّف متغيرات زاوية الفعل التوريق بواسطة حلقات لاغرانجية ثابتة، لأن التدفقات الناتجة عن ثوابت بواسون التبادلية تبقى ضمن مجموعات مستوياتها المشتركة، بينما يشير تماسك مجموعة مستويات الطاقة إلى أنها حلقات. توفر متغيرات الزاوية إحداثيات على الأوراق التي تكون فيها التدفقات التبادلية خطية.

يتضح الربط بين الأنظمة الهاميلتونية الكلاسيكية وتكميمها في منهج ميكانيكا الموجة لشرودنغر من خلال اعتبار معادلة هاميلتون-جاكوبي الحد الرئيسي في متسلسلة WKB التقاربية لمعادلة شرودنغر. في حالة الأنظمة القابلة للتكامل، استُخدمت شروط بور-سومرفيلد للتكميم لأول مرة، قبل ظهور ميكانيكا الكم، لحساب طيف ذرة الهيدروجين. وتتطلب هذه الشروط وجود متغيرات الفعل والزاوية، وأن تكون مضاعفات صحيحة لثابت بلانك المختزل.${\displaystyle \hbar }$استندت رؤية أينشتاين في نظرية التكميم EBK حول صعوبة تكميم الأنظمة غير القابلة للتكامل على هذه الحقيقة .

تُعدّ إحداثيات الفعل والزاوية مفيدةً أيضاً في نظرية الاضطراب للميكانيكا الهاميلتونية ، لا سيما في تحديد الثوابت الأديباتية . ومن أوائل نتائج نظرية الفوضى ، فيما يتعلق بالاستقرار الديناميكي للأنظمة الديناميكية القابلة للتكامل تحت تأثير الاضطرابات الصغيرة، نظرية KAM ، التي تنص على أن الأسطح الثابتة مستقرة جزئياً.

في النظرية الحديثة للأنظمة التكاملية ، تم استخدام متغيرات الفعل والزاوية في حل شبكة تودا ، وتعريف أزواج لاكس ، أو بشكل عام، التطور متساوي الطيف لمؤثر خطي يميز الديناميكيات التكاملية، وتفسير البيانات الطيفية المرتبطة بها كمتغيرات فعل وزاوية في صياغة هاميلتونية.

تنتج زوايا الفعل من تحويل قانوني من النوع الثاني حيث تكون الدالة المولدة هي دالة هاميلتون المميزة${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$( ليست الدالة الرئيسية لهاملتون)${\displaystyle S}$بما أن الهاميلتوني الأصلي لا يعتمد على الزمن بشكل صريح، فإن الهاميلتوني الجديد${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$هو مجرد هاميلتوني قديم${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$معبر عنها بدلالة الإحداثيات الكنسية الجديدة ، والتي نرمز إليها بـ${\displaystyle \mathbf {w} }$( زوايا الفعل ، وهي الإحداثيات المعممة ) وزخمها المعمم الجديد${\displaystyle \mathbf {J} }$لن نحتاج هنا إلى إيجاد الدالة المولدة.${\displaystyle W}$بدلاً من ذلك، سنستخدمه كوسيلة لربط الإحداثيات الكنسية الجديدة والقديمة .

بدلاً من تحديد زوايا الحركة${\displaystyle \mathbf {w} }$بدلاً من ذلك، نقوم بتعريف زخمها المعمم بشكل مباشر، والذي يشبه الفعل الكلاسيكي لكل إحداثية معممة أصلية.

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

حيث يتم تحديد مسار التكامل ضمنيًا بواسطة دالة الطاقة الثابتة${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$بما أن الحركة الفعلية غير متضمنة في هذا التكامل، فإن هذه الزخمات المعممة${\displaystyle J_{k}}$هي ثوابت الحركة، مما يعني أن الهاميلتوني المحوّل${\displaystyle K}$لا يعتمد على الإحداثيات المعممة المترافقة${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

حيث${\displaystyle w_{k}}$يتم تحديدها بواسطة المعادلة النموذجية للتحويل الكنسي من النوع 2

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

وبالتالي، الهاميلتوني الجديد${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$يعتمد فقط على الزخم المعمم الجديد${\displaystyle \mathbf {J} }$.

تُعطى ديناميكيات زوايا الفعل بواسطة معادلات هاميلتون.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

الجانب الأيمن ثابت في الحركة (لأن جميع${\displaystyle J}$s are). ومن ثم، فإن الحل يُعطى بواسطة

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}}$

أين${\displaystyle \beta _{k}}$هو ثابت التكامل. على وجه الخصوص، إذا خضعت الإحداثيات المعممة الأصلية لتذبذب أو دوران دوري${\displaystyle T}$، زاوية الفعل المقابلة${\displaystyle w_{k}}$التغييرات بواسطة${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$.

هؤلاء${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )}$تمثل ترددات التذبذب/الدوران للإحداثيات المعممة الأصلية.${\displaystyle q_{k}}$ولإثبات ذلك، نقوم بتكامل التغير الصافي في زاوية الفعل${\displaystyle w_{k}}$خلال تغير كامل واحد بالضبط (أي تذبذب أو دوران) لإحداثياتها المعممة${\displaystyle q_{k}}$

$\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {د} J_ {ك}} {\ mathrm {د} J_ {ك}}} = 1}$

تحديد التعبيرين لـ${\displaystyle \Delta w_{k}}$وبتساويها نحصل على المعادلة المطلوبة

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

زوايا الحركة${\displaystyle \mathbf {w} }$هي مجموعة مستقلة من الإحداثيات المعممة . وبالتالي، في الحالة العامة، كل إحداثية معممة أصلية${\displaystyle q_{k}}$يمكن التعبير عنها كمتسلسلة فورييه في جميع زوايا الحركة

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

أين${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$هو معامل متسلسلة فورييه. ولكن في معظم الحالات العملية، يكون هناك إحداثي معمّم أصلي${\displaystyle q_{k}}$سيكون من الممكن التعبير عنه كمتسلسلة فورييه من زوايا الحركة الخاصة به فقط${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty}A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

الإجراء العام يتكون من ثلاث خطوات:

1. احسب الزخم المعمم الجديد${\displaystyle J_{k}}$
2. عبّر عن الهاميلتوني الأصلي بالكامل بدلالة هذه المتغيرات.
3. اشتق دالة هاميلتون بالنسبة لهذه الزخمات للحصول على الترددات.${\displaystyle \nu _{k}}$

في بعض الحالات، تكون ترددات إحداثيين معممين مختلفين متطابقة، أي${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$ل${\displaystyle k\neq l}$في مثل هذه الحالات، تسمى الحركة بالحركة المنحلة .

تشير الحركة المنحلة إلى وجود كميات محفوظة عامة إضافية؛ على سبيل المثال، ترددات مسألة كبلر منحلة، وهو ما يتوافق مع حفظ متجه لابلاس-رونج-لينز .

تشير الحركة المنحلة أيضًا إلى أن معادلات هاميلتون-جاكوبي قابلة للفصل تمامًا في أكثر من نظام إحداثيات واحد؛ على سبيل المثال، مسألة كيبلر قابلة للفصل تمامًا في كل من الإحداثيات الكروية والإحداثيات المكافئة .

• نموذج بور-سومرفيلد
• نظام قابل للتكامل
• طريقة أينشتاين-بريلوين-كيلر
• نظام هاميلتوني فائق التكامل
• شكل واحد تكراري

• لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1976)، الميكانيكا (  الطبعة الثالثة)، دار بيرغامون للنشر، رقم ISBN 0-08-021022-8(غلاف مقوى) ورقم ISBN 0-08-029141-4(غلاف ورقي)
• جولدشتاين، هـ. (1980)، الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثانية  )، أديسون-ويسلي، رقم ISBN 0-201-02918-9
• سارداناشفيلي، ج. (2015)، دليل أنظمة هاميلتونية قابلة للتكامل ، الاتحاد السوفيتي، رقم ISBN 978-5-396-00687-4
• بريفياتو، إيما (2003)، قاموس الرياضيات التطبيقية للمهندسين والعلماء ، دار نشر سي آر سي ، رمز Bibcode : 2003dame.book.....P ، رقم ISBN 978-1-58488-053-0