نظام قابل للتكامل

في الرياضيات، تُعدّ قابلية التكامل خاصيةً لبعض الأنظمة الديناميكية ، وتعني تقريبًا أن حلول النظام "بسيطة" بما يكفي لكتابتها بدقة (من حيث المبدأ). وبشكل أدق، مع وجود عدة تعريفات رسمية متميزة، يُمكن اعتبار النظام القابل للتكامل نظامًا ديناميكيًا يحتوي على عدد كافٍ من الكميات المحفوظة ، أو التكاملات الأولى ، بحيث تقتصر حركته على فضاء فرعي ذي أبعاد أصغر بكثير من أبعاد فضاء الطور الخاص به . وبهذا المعنى، تُعدّ الأنظمة القابلة للتكامل نقيضًا للأنظمة الفوضوية ، حيث تُحدث تغييرات طفيفة في الشروط الابتدائية انحرافات كبيرة في سلوك حلول فضاء الطور.

تُعرف ثلاث سمات غالباً بأنها تميز الأنظمة القابلة للتكامل: ^{[ 1 ]}

• وجود مجموعة قصوى من الكميات المحفوظة (الخاصية التعريفية المعتادة للتكامل الكامل )
• وجود الثوابت الجبرية ، التي تستند إلى الهندسة الجبرية (وهي خاصية تُعرف أحيانًا باسم التكامل الجبري ).
• التحديد الصريح للحلول في شكل وظيفي صريح (ليس خاصية جوهرية، ولكنه شيء يشار إليه غالبًا باسم قابلية الحل )

يمكن اعتبار الأنظمة التكاملية مختلفة تمامًا من حيث طبيعتها النوعية عن الأنظمة الديناميكية الأكثر عمومية ، والتي هي في الغالب أنظمة فوضوية . فالأنظمة الأخيرة لا تحتوي عمومًا على كميات محفوظة، وهي غير قابلة للحل التقاربي، حيث أن أي اضطراب صغير في الشروط الابتدائية قد يؤدي إلى انحرافات كبيرة في مساراتها على مدى فترة زمنية طويلة بما فيه الكفاية.

تتميز العديد من الأنظمة التي تُدرس في الفيزياء بقابليتها الكاملة للتكامل، لا سيما بالمعنى الهاميلتوني ، ومن أبرز الأمثلة على ذلك المذبذبات التوافقية متعددة الأبعاد. ومن الأمثلة الشائعة الأخرى حركة الكواكب حول مركز ثابت واحد (مثل الشمس) أو مركزين. وتشمل الأمثلة الأولية الأخرى حركة جسم صلب حول مركز كتلته ( قمة أويلر ) وحركة جسم صلب متناظر محوريًا حول نقطة على محور تناظره ( قمة لاغرانج ).

في أواخر الستينيات، تبيّن وجود أنظمة فيزيائية قابلة للتكامل تمامًا ذات عدد لا نهائي من درجات الحرية، مثل بعض نماذج أمواج المياه الضحلة ( معادلة كورتيغ-دي فريس )، وتأثير كير في الألياف البصرية، الموصوف بمعادلة شرودنغر غير الخطية ، وبعض الأنظمة متعددة الأجسام القابلة للتكامل، مثل شبكة تودا . وقد أُعيد إحياء النظرية الحديثة للأنظمة القابلة للتكامل مع الاكتشاف العددي للسوليتونات بواسطة مارتن كروسكال ونورمان زابوسكي عام 1965، مما أدى إلى ظهور طريقة تحويل التشتت العكسي عام 1967.

في حالة الأنظمة الهاميلتونية، إذا وُجد عدد كافٍ من التكاملات الأولى المستقلة والمتبادلة من نوع بواسون لمعاملات التدفق بحيث يمكن استخدامها كنظام إحداثيات على مجموعات المستويات الثابتة (أوراق التوريق اللاغرانجي ) ، وإذا كانت التدفقات كاملة ومجموعة مستويات الطاقة مضغوطة، فإن هذا يستلزم نظرية ليوفيل-أرنولد ؛ أي وجود متغيرات الفعل والزاوية . لا تمتلك الأنظمة الديناميكية العامة مثل هذه الكميات المحفوظة؛ ففي حالة الأنظمة الهاميلتونية المستقلة ، تكون الطاقة هي الكمية الوحيدة المحفوظة عادةً، وتكون التدفقات على مجموعات مستويات الطاقة فوضوية في الغالب.

يُعدّ مبدأ فروبينيوس عنصرًا أساسيًا في توصيف الأنظمة القابلة للتكامل ، إذ ينصّ على أن النظام يكون قابلاً للتكامل وفقًا لمبدأ فروبينيوس (أي أنه مُولّد بواسطة توزيع قابل للتكامل) إذا كان، محليًا، يمتلك توريقًا بواسطة مشعبات تكاملية قصوى. لكن التكامل، بمعنى الأنظمة الديناميكية ، خاصية شاملة وليست محلية، لأنه يتطلب أن يكون التوريق منتظمًا، مع تضمين الأوراق في مشعبات فرعية.

لا يعني التكامل بالضرورة أنه يمكن التعبير عن الحلول العامة بشكل صريح من حيث مجموعة معروفة من الدوال الخاصة ؛ إنها خاصية جوهرية لهندسة وطوبولوجيا النظام، وطبيعة الديناميكيات.

في سياق الأنظمة الديناميكية التفاضلية ، يشير مفهوم التكاملية إلى وجود توريقات منتظمة وثابتة ؛ أي تلك التي تكون أوراقها عبارة عن فضاءات فرعية مضمنة ذات أصغر بُعد ممكن، وتكون ثابتة تحت تأثير التدفق . وبالتالي، يوجد مفهوم متغير لدرجة التكاملية، يعتمد على بُعد أوراق التوريق الثابت. ويكتسب هذا المفهوم دقةً أكبر في حالة الأنظمة الهاميلتونية ، تُعرف بالتكاملية الكاملة وفقًا لمفهوم ليوفيل (انظر أدناه)، وهو المصطلح الأكثر شيوعًا في هذا السياق.

يُمكن تطبيق مفهوم التكامل أيضاً على الأنظمة المنفصلة مثل الشبكات. ويمكن تكييف هذا التعريف لوصف معادلات التطور التي إما أن تكون أنظمة معادلات تفاضلية أو معادلات فرقية محدودة .

إن التمييز بين الأنظمة الديناميكية القابلة للتكامل وغير القابلة للتكامل له دلالة نوعية تتمثل في الحركة المنتظمة مقابل الحركة الفوضوية ، وبالتالي فهو خاصية جوهرية، وليس مجرد مسألة ما إذا كان من الممكن دمج النظام بشكل صريح في شكل دقيق.

في سياق الأنظمة الهاميلتونية ، لدينا مفهوم التكاملية بمعناه الليوفيلي (انظر نظرية ليوفيل-أرنولد ). تعني التكاملية الليوفيلية وجود تقسيم منتظم لفضاء الطور بواسطة مشعبات ثابتة، بحيث تمتد حقول المتجهات الهاميلتونية المرتبطة بثوابت هذا التقسيم على توزيع المماس. وبعبارة أخرى، توجد مجموعة قصوى من الثوابت التبادلية المستقلة وظيفيًا وفقًا لتوزيع بواسون (أي دوال مستقلة على فضاء الطور، تتلاشى أقواس بواسون الخاصة بها مع هاميلتوني النظام، ومع بعضها البعض).

في الأبعاد المحدودة، إذا كان فضاء الطور متماثلًا (أي أن مركز جبر بواسون يتكون فقط من ثوابت)، فلا بد أن يكون له بُعد زوجي .${\displaystyle 2n,}$والحد الأقصى لعدد الثوابت التبادلية المستقلة لبواسون (بما في ذلك الهاميلتوني نفسه) هو${\displaystyle n}$تكون أوراق التوريق متناحية الخواص تمامًا بالنسبة للشكل التبسيطي، ويُطلق على هذا النوع الأقصى من التوريق المتناحي اسم التوريق اللاغرانجي . جميع الأنظمة الهاميلتونية المستقلة (أي تلك التي لا يعتمد فيها الهاميلتوني وأقواس بواسون صراحةً على الزمن) لها ثابت واحد على الأقل؛ وهو الهاميلتوني نفسه، الذي تمثل قيمته على طول التدفق الطاقة. إذا كانت مجموعات مستويات الطاقة مضغوطة، فإن أوراق التوريق اللاغرانجي تكون أسطوانات حلقية ، وتُسمى الإحداثيات الخطية الطبيعية عليها متغيرات "الزاوية". دورات النظام الكنسي${\displaystyle 1}$تُسمى هذه المتغيرات بمتغيرات الفعل، وتُسمى الإحداثيات الكنسية الناتجة بمتغيرات زاوية الفعل (انظر أدناه).

يوجد أيضًا تمييز بين التكامل التام ، بمفهوم ليوفيل ، والتكامل الجزئي، بالإضافة إلى مفهومي التكامل الفائق والتكامل الفائق الأقصى. وتتوافق هذه التمييزات أساسًا مع أبعاد أوراق التوريق. عندما يكون عدد الثوابت المستقلة المتبادلة وفقًا لتوزيع بواسون أقل من العدد الأقصى (ولكن، في حالة الأنظمة المستقلة، يكون أكثر من واحد)، نقول إن النظام قابل للتكامل جزئيًا. وعندما توجد ثوابت أخرى مستقلة وظيفيًا، تتجاوز العدد الأقصى الذي يمكن أن يكون متبادلًا وفقًا لتوزيع بواسون، وبالتالي يكون بُعد أوراق التوريق الثابت أقل من n، نقول إن النظام قابل للتكامل الفائق . إذا كان هناك توريق منتظم بأوراق (منحنيات) أحادية البعد، يُسمى هذا النظام قابلًا للتكامل الفائق الأقصى.

عندما يكون نظام هاميلتوني ذو أبعاد محدودة قابلاً للتكامل تمامًا وفقًا لمعيار ليوفيل، وتكون مجموعات مستويات الطاقة متراصة، تكون التدفقات كاملة، وتكون أوراق التوريق الثابت عبارة عن أسطح حلقية . وبالتالي، كما ذُكر سابقًا، توجد مجموعات خاصة من الإحداثيات القانونية على فضاء الطور تُعرف بمتغيرات الفعل والزاوية ، بحيث تكون الأسطح الحلقية الثابتة هي مجموعات المستويات المشتركة لمتغيرات الفعل . توفر هذه المجموعات بالتالي مجموعة كاملة من ثوابت التدفق الهاميلتوني (ثوابت الحركة)، وتكون متغيرات الزاوية هي الإحداثيات الدورية الطبيعية على الأسطح الحلقية. تكون الحركة على الأسطح الحلقية الثابتة، المُعبر عنها بدلالة هذه الإحداثيات القانونية، خطية في متغيرات الزاوية.

في نظرية التحويلات الكلاسيكية ، توجد طريقة هاميلتون - جاكوبي ، حيث تُبحث حلول معادلات هاميلتون من خلال إيجاد حل كامل لمعادلة هاميلتون-جاكوبي المرتبطة بها . في المصطلحات الكلاسيكية، يُوصف هذا بأنه تحديد تحويل إلى مجموعة إحداثيات كلاسيكية تتكون من متغيرات يمكن إهمالها تمامًا؛ أي تلك التي لا يعتمد فيها الهاميلتوني على مجموعة كاملة من إحداثيات "الموضع" الكلاسيكية، وبالتالي فإن الزخم المترافق المتناظر هو كمية محفوظة. في حالة مجموعات مستويات الطاقة المدمجة، تُعد هذه الخطوة الأولى نحو تحديد متغيرات الفعل والزاوية . في النظرية العامة للمعادلات التفاضلية الجزئية من نوع هاميلتون - جاكوبي ، يوجد حل كامل (أي حل يعتمد على n من ثوابت التكامل المستقلة، حيث n هو بُعد فضاء التكوين) في حالات عامة جدًا، ولكن فقط بالمعنى المحلي. لذلك، فإن وجود حل كامل لمعادلة هاميلتون-جاكوبي لا يُعد بأي حال من الأحوال وصفًا للتكامل الكامل بالمعنى الذي قصده ليوفيل. معظم الحالات التي يمكن "تكاملها صراحةً" تتضمن فصلًا تامًا للمتغيرات ، حيث توفر ثوابت الفصل المجموعة الكاملة من ثوابت التكامل المطلوبة. فقط عندما يمكن إعادة تفسير هذه الثوابت، ضمن إطار فضاء الطور الكامل، على أنها قيم مجموعة كاملة من دوال بواسون التبادلية المقيدة بأوراق توريق لاغرانجي، يمكن اعتبار النظام قابلاً للتكامل تمامًا بالمعنى الليوفيلي.

شهدت الأنظمة التكاملية الكلاسيكية عودة الاهتمام بها مع اكتشاف، في أواخر الستينيات، أن السوليتونات ، وهي حلول مستقرة وموضعية لمعادلات تفاضلية جزئية مثل معادلة كورتيغ-دي فريس (التي تصف ديناميكيات الموائع أحادية البعد غير المبددة في الأحواض الضحلة)، يمكن فهمها من خلال اعتبار هذه المعادلات أنظمة هاميلتونية تكاملية لا نهائية الأبعاد. وقد أدت دراستها إلى منهج مثمر للغاية لـ"تكامل" هذه الأنظمة، وهو تحويل التشتت العكسي وطرق الطيف العكسي الأكثر عمومية (التي غالبًا ما تُختزل إلى مسائل ريمان-هيلبرت )، والتي تعمم الطرق الخطية المحلية مثل تحليل فورييه إلى التخطيط الخطي غير المحلي، من خلال حل المعادلات التكاملية المرتبطة بها.

تعتمد الفكرة الأساسية لهذه الطريقة على إدخال مؤثر خطي يُحدد موضعه في فضاء الطور، ويتطور وفقًا لديناميكيات النظام قيد الدراسة، بحيث يكون "طيفه" (بمعنى مُعمم مناسب) ثابتًا أثناء التطور، كما في زوج لاكس . يوفر هذا، في بعض الحالات، عددًا كافيًا من الثوابت، أو "تكاملات الحركة"، لجعل النظام قابلًا للتكامل تمامًا. في حالة الأنظمة ذات عدد لا نهائي من درجات الحرية، مثل معادلة كورتيغ-دي فريس (KdV)، لا يكفي هذا لتحديد خاصية قابلية تكامل ليوفيل بدقة. مع ذلك، بالنسبة لشروط حدودية مُحددة بشكل مناسب، يمكن تفسير التحويل الطيفي، في الواقع، على أنه تحويل إلى إحداثيات يمكن إهمالها تمامًا ، حيث تُشكل الكميات المحفوظة نصف مجموعة لانهائية مزدوجة من الإحداثيات الأساسية، ويصبح التدفق خطيًا في هذه الإحداثيات. في بعض الحالات، يمكن اعتبار هذا تحويلاً إلى متغيرات زاوية الفعل، على الرغم من أن عددًا محدودًا فقط من متغيرات "الموقع" هي في الواقع إحداثيات زاوية، والباقي غير مضغوط.

ظهرت وجهة نظر أخرى في النظرية الحديثة للأنظمة التكاملية، نشأت من منهج حسابي رائد ابتكره ريوغو هيروتا ^{[ 2 ]} ، والذي تضمن استبدال النظام الديناميكي غير الخطي الأصلي بنظام ثنائي الخطية من معادلات ذات معاملات ثابتة لكمية مساعدة، عُرفت لاحقًا باسم دالة تاو . تُعرف هذه المعادلات الآن باسم معادلات هيروتا . على الرغم من ظهورها في البداية كأداة حسابية فقط، دون أي علاقة واضحة بمنهج التشتت العكسي أو بنية هاميلتون، إلا أنها وفرت طريقة مباشرة للغاية يمكن من خلالها اشتقاق فئات مهمة من الحلول، مثل السوليتونات .

وفي وقت لاحق، تم تفسير هذا من قبل ميكيو ساتو ^{[ 3 ]} وطلابه ^{[ 4 ] [ 5 ]} في البداية لحالة التسلسلات الهرمية القابلة للتكامل للمعادلات التفاضلية الجزئية، مثل التسلسل الهرمي كادومتسيف-بيتفياشفيلي ، ولكن بعد ذلك لفئات أكثر عمومية من التسلسلات الهرمية القابلة للتكامل، كنوع من نهج فضاء الطور العالمي ، حيث يتم عادةً النظر إلى الديناميكيات التبادلية ببساطة على أنها محددة بواسطة فعل مجموعة أبيلية ثابتة (محدودة أو غير محدودة) على مشعب غراسمان (محدود أو غير محدود) . تم اعتبار دالة τ بمثابة محدد عامل الإسقاط من عناصر مدار المجموعة إلى أصل ما داخل غراسمانيان، ومعادلات هيروتا على أنها تعبر عن علاقات بلوكر ، التي تميز تضمين بلوكر لغراسمانيان في إسقاط فضاء خارجي محدد بشكل مناسب (لا نهائي) ، والذي يُنظر إليه على أنه فضاء فوك فرميوني .

يترك${\displaystyle \phi }$ليكن تطبيقًا ثنائي النسب يعمل على فضاء إسقاطي يُنظر إليه على حقل منتهٍ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}(\mathbb {F} _{q})}$يقال إنها قابلة للتكامل الديوفانتي إذا كان لأي نقطة نسبية${\displaystyle P}$، ارتفاع التكرارات${\displaystyle h(\phi ^{n}(P))}$لا ينمو أسرع من النمو متعدد الحدود في${\displaystyle n}$[ ^{8 ]​}

وهناك أيضاً مفهوم الأنظمة الكمومية القابلة للتكامل.

في سياق ميكانيكا الكم، يجب استبدال الدوال في فضاء الطور بمؤثرات ذاتية الترافق في فضاء هيلبرت ، واستبدال مفهوم دوال بواسون التبادلية بمؤثرات تبادلية. كما يجب تخصيص مفهوم قوانين الحفظ ليقتصر على قوانين الحفظ المحلية . ^{[ 9 ]} لكل هاميلتوني مجموعة لانهائية من الكميات المحفوظة، تُعطى بواسطة المساقط على حالاته الذاتية للطاقة . مع ذلك، لا يستلزم هذا أي بنية ديناميكية خاصة.

لشرح التكامل الكمومي، من المفيد النظر إلى نموذج الجسيم الحر. في هذا النموذج، تكون جميع الديناميكيات قابلة للاختزال إلى جسيم واحد. يُقال إن النظام الكمومي قابل للتكامل إذا كانت ديناميكياته قابلة للاختزال إلى جسيمين. تُعد معادلة يانغ-باكستر نتيجةً لهذا الاختزال، وتؤدي إلى متطابقات الأثر التي توفر مجموعة لانهائية من الكميات المحفوظة. تُدمج جميع هذه الأفكار في طريقة التشتت العكسي الكمومي، حيث يمكن استخدام فرضية بيث الجبرية للحصول على حلول صريحة. من أمثلة النماذج القابلة للتكامل الكمومي نموذج ليب-لينجر ، ونموذج هوبارد ، والعديد من التباينات على نموذج هايزنبرغ . ^{[ 10 ]} تُعرف أنواع أخرى من التكامل الكمومي في مسائل الكم المعتمدة على الزمن بشكل صريح، مثل نموذج تافيس-كامينغز المُحفَّز. ^{[ 11 ]}

في الفيزياء، تُعرف الأنظمة القابلة للتكامل تمامًا، وخاصة في حالة الأنظمة ذات الأبعاد اللانهائية، غالبًا باسم النماذج القابلة للحل بدقة. وهذا يُخفي التمييز بين التكامل، بالمعنى الهاميلتوني، والمعنى الأكثر عمومية للأنظمة الديناميكية.

توجد أيضًا نماذج قابلة للحل بدقة في الميكانيكا الإحصائية، وهي أقرب إلى الأنظمة التكاملية الكمومية منها إلى الأنظمة الكلاسيكية. هناك طريقتان مترابطتان بشكل وثيق: طريقة بيث أنساتز ، بمعناها الحديث، القائمة على معادلات يانغ-باكستر ، وطريقة التشتت العكسي الكمومي ، وهما تُقدمان نظائر كمومية لطرق الطيف العكسي. وتُعد هاتان الطريقتان على نفس القدر من الأهمية في دراسة النماذج القابلة للحل في الميكانيكا الإحصائية.

يُستخدم أحيانًا مفهوم غير دقيق لـ"الحل التام" بمعنى: "يمكن التعبير عن الحلول صراحةً بدلالة بعض الدوال المعروفة مسبقًا"، كما لو كان هذا خاصية جوهرية للنظام نفسه، بدلًا من كونه ميزة حسابية بحتة تتمثل في توفر بعض الدوال "المعروفة" التي يمكن التعبير عن الحلول بدلالتها. هذا المفهوم لا يحمل معنى جوهريًا، لأن المقصود بالدوال "المعروفة" غالبًا ما يُحدد بدقة من خلال كونها تُحقق معادلات معينة، وقائمة هذه "الدوال المعروفة" في ازدياد مستمر. مع أن هذا الوصف لـ"التكامل" لا يتمتع بصحة جوهرية، إلا أنه غالبًا ما يُشير إلى نوع من الانتظام المتوقع في الأنظمة القابلة للتكامل.

• نظام هيتشين

• أرنولد، السادس (1997). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-0-387-96890-2.
• أودين، م. (1996). البلابل: دورة في الأنظمة التكاملية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  51. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-77919-7.
• بابلون، أ.؛ برنارد، د.؛ تالون، م. (2003). مقدمة في الأنظمة التكاملية الكلاسيكية . مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511535024 . ISBN 0-521-82267-X.
• باكستر، آر جيه (1982). نماذج محلولة بدقة في الميكانيكا الإحصائية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-083180-7.
• دوناجسكي، م. (2009). السوليتونات، والإنستونات، والتويستورات . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-857063-9.
• فادييف، إل دي ؛ تاختاجان، إل إيه (1987). الأساليب الهاميلتونية في نظرية السوليتونات . أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-387-15579-1.
• فومينكو، أ. ت. (1995). الهندسة التبسيطية: الأساليب والتطبيقات (الطبعة الثانية  ). غوردون وبريتش. ISBN 978-2-88124-901-3.
• فومينكو، أ. ت .؛ بولسينوف، أ. ف. (2003). أنظمة هاميلتونية قابلة للتكامل: الهندسة، والطوبولوجيا، والتصنيف . تايلور وفرانسيس. ISBN 978-0-415-29805-6.
• جولدشتاين، هـ. (1980). الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-02918-9.
• هارناد، ج .؛ وينترنيتز، ب .؛ سابيدوسي، ج. ، محرران. (2000). الأنظمة التكاملية: من الكلاسيكية إلى الكم . الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-2093-1.
• هارناد، ج .؛ بالوغ، ف. (2021). دوال تاو وتطبيقاتها . سلسلة كامبريدج للدراسات في الفيزياء الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/9781108610902 . ISBN 978-1-108-49268-3. S2CID 222379146 . 
• هيتارينتا، ج.؛ جوشي، ن .؛ نيجهوف، ف. (2016). الأنظمة المنفصلة وقابلية التكامل . مطبعة جامعة كامبريدج . Bibcode : 2016dsi..book.....H . doi : 10.1017/CBO9781107337411 . ISBN 978-1-107-04272-8.
• كوريبين، في إي ؛ بوغوليوبوف، إن إم؛ إيزرجين، إيه جي (1997). طريقة التشتت العكسي الكمي ودوال الارتباط . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-58646-7.
• الأماكن القريبة : أرنولد, السادس ; إلياشينكو، يو. س . شيلنيكوف، ليرة لبنانية (1989). الأنظمة الديناميكية V . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-18173-3.
• موساردو، جوزيبي (2010). نظرية الحقول الإحصائية: مقدمة في النماذج المحلولة بدقة في الفيزياء الإحصائية . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-954758-6.
• سارداناشفيلي، ج. (2015). دليل أنظمة هاميلتون التكاملية . الاتحاد السوفيتي. رقم ISBN 978-5-396-00687-4.

• بيلينسون، أ. ؛ درينفيلد، ف. "تكميم نظام هيتشين المتكامل وحزم هيك الذاتية" (PDF) .
• دوناجي، ر.؛ ماركمان، إ. (1996). "الأغلفة الطيفية، والأنظمة الهاميلتونية القابلة للتكامل جبريًا بالكامل، ومعاملات الحزم". الأنظمة القابلة للتكامل والمجموعات الكمومية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1620. سبرينغر. الصفحات 1-119 . doi : 10.1007/BFb0094792 . ISBN  978-3-540-60542-3.
• سوناد، كيران ج.؛ كاري، جون ر. (2004). "إيجاد شبكة غير خطية ذات قابلية تكامل محسّنة باستخدام نظرية اضطراب تحويل لي". مجلة Physical Review E. 69 ( 5) 056501. Bibcode : 2004PhRvE..69e6501S . doi : 10.1103/PhysRevE.69.056501 . PMID 15244955 . 

• "النظام القابل للتكامل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "SIDE - التناظرات وقابلية التكامل لمعادلات الفرق" ، وهو مؤتمر مخصص لدراسة معادلات الفرق القابلة للتكامل والمواضيع ذات الصلة. ^{[ 13 ]}