نظام غارنييه المتكامل

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء الرياضية ، يُعرف نظام غارنييه التكاملي ، أو نموذج غودان الكلاسيكي ، بأنه نظام ميكانيكي كلاسيكي اكتشفه رينيه غارنييه [ 1 ] عام 1917، ويُحل باستخدام التكاملات الأبيلية على أسطح ريمان المدمجة (المنحنيات الجبرية) ذات الجنس العالي كيفيًا. ويُستنتج هذا النظام من خلال " تبسيط بانليفيه " أو "الحد المستقل" لمعادلات شليزنجر [ 2 ] . ويمكن تفسيره على أنه الحد الكلاسيكي لنموذج غودان الكمي الذي وضعه ميشيل غودان [ 3 ] . (وبالمثل، تُعد معادلات شليزنجر الحد الكلاسيكي لمعادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف ، المُعبر عنها بتمثيل هايزنبرغ [ 4 ] [ 5 ] ).

تبين لاحقًا أن أنظمة غارنييه من النوع الهاميلتوني [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] ، المعرفة على فضاء طور يتكون من حاصل الضرب الديكارتي لـشمال{\displaystyle N}نسخ من الثنائيزل(ر)*{\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}من جبر ليزل(ر)*{\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}، لشمال{\displaystyle N}عدد صحيح موجب، وقابل للتكامل تمامًا بالمعنى الهاميلتوني.

كما أنها حالة خاصة من أنظمة هيتشين التكاملية ، عندما يكون المنحنى الجبري الذي تُعرَّف عليه النظرية هو كرة ريمان ويكون النظام متفرعًا بشكل معتدل .

كحد لمعادلات شليزنجر

معادلات شليزنجر هي نظام من المعادلات التفاضلية لـن+2{\displaystyle n+2}الدوال ذات القيم المصفوفيةأأنا:جن+2→مأت(م،ج){\displaystyle A_{i}:\mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathrm {Mat} (m,\mathbb {C} )}، مقدمة من ∂أأنا∂λج=[أأنا،أج]λأنا-λجج≠أنا{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}∑ج∂أأنا∂λج=0.{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}

يتم تحديد "الحد المستقل" عن طريق استبدالλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}الاعتماد في المقام بواسطة الثوابتαأنا{\displaystyle \alpha _{i}}معαن+1=0،αن+2=1{\displaystyle \alpha _{n+1}=0,\alpha _{n+2}=1}: ∂أأنا∂λج=[أأنا،أج]αأنا-αجج≠أنا{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}∑ج∂أأنا∂λج=0.{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.} هذا هو نظام غارنييه بالشكل الذي اشتقته غارنييه في الأصل.

كما هو الحال في نموذج غودان الكلاسيكي

يوجد نموذج لنظام غارنييه كنظام ميكانيكي كلاسيكي، وهو نموذج غودان الكلاسيكي، والذي يُكمّم إلى نموذج غودان الكمومي، وتكون معادلات حركته مكافئة لنظام غارنييه. يصف هذا القسم هذا النموذج. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

كما هو الحال مع أي نظام كلاسيكي، يتم تحديد نموذج غودان بواسطة مشعب بواسونم{\displaystyle M}ويشار إليه باسم فضاء الطور ، ودالة سلسة على المتشعب تسمى الهاميلتوني .

فضاء الطور

يتركز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}ليكن جبر لي تربيعي ، أي جبر لي ذو شكل ثنائي خطي ثابت غير منحلκ{\displaystyle \kappa }. لوز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}معقد وبسيط ، ويمكن اعتبار هذا شكلاً من أشكال القتل .

الثنائي ، الذي يُرمز إليهز*{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}، ويمكن تحويلها إلى بنية بواسون خطية بواسطة قوس كيريلوف-كوستانت .

فضاء الطورم{\displaystyle M}إذن، فإن نموذج غودان الكلاسيكي هو حاصل الضرب الديكارتي لـشمال{\displaystyle N}نسخ منز*{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}لشمال{\displaystyle N}عدد صحيح موجب.

المواقع

ترتبط بكل نسخة من هذه النسخ نقطة فيج{\displaystyle \mathbb {C} }، المشار إليهλ1،⋯،λشمال{\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}}، ويشار إليها باسم المواقع .

مصفوفة متراخية

تحديد أساس جبر لي{أناأ}{\displaystyle \{I^{a}\}}مع ثوابت هيكليةوجأب{\displaystyle f_{c}^{ab}}هناك وظائفX(ر)أ{\displaystyle X_{(r)}^{a}}معر=1،⋯،شمال{\displaystyle r=1,\cdots ,N}على فضاء الطور الذي يحقق قوس بواسون {X(ر)أ،X(s)ب}=دلتارsوجأبX(ر)ج.{\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}

وتُستخدم هذه بدورها لتحديدز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}الدوال ذات القيم السالبة X(ر)=κأبأناأ⊗X(ر)ب{\displaystyle X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}} مع الجمع الضمني .

بعد ذلك، تُستخدم هذه البيانات لتعريف مصفوفة لاكس ، وهي أيضًاز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}دالة ذات قيم على فضاء الطور والتي تعتمد بالإضافة إلى ذلك بشكل ميرومورفي على معلمة طيفيةλ{\displaystyle \lambda }، ل(λ)=∑ر=1شمالX(ر)λ-λر+Ω،{\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Omega ,} وΩ{\displaystyle \Omega }هو عنصر ثابت فيز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}، بمعنى أنها تتبادل بواسون (لها قوس بواسون متلاشي) مع جميع الدوال.

الهاميلتوني (التربيعي)

الهاميلتوني (التربيعي) هو ح(λ)=12κ(ل(λ)،ل(λ)){\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))} وهي في الواقع دالة على فضاء الطور، والتي تعتمد بالإضافة إلى ذلك على معلمة طيفيةλ{\displaystyle \lambda }ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي: ح(λ)=Δ∞+∑ر=1شمال(Δر(λ-λر)2+حرλ-λر)،{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),} مع Δر=12κ(X(ر)،X(ر))،Δ∞=12κ(Ω،Ω){\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )} و حر=∑s≠رκ(X(ر)،X(s))λر-λs+κ(X(ر)،Ω).{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}

من علاقة بواسون بين الأقواس {ح(λ)،ح(μ)}=0،∀λ،μ∈ج،{\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,} عن طريق التغييرλ{\displaystyle \lambda }وμ{\displaystyle \mu }لا بد أن يكون صحيحاً أنحر{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}'s, theΔر{\displaystyle \Delta _{r}}'رملΔ∞{\displaystyle \Delta _{\infty }}جميعها في حالة انطواء. يمكن إثبات أنΔر{\displaystyle \Delta _{r}}'رملΔ∞{\displaystyle \Delta _{\infty }}تتبادل دوال بواسون مع جميع الدوال في فضاء الطور، ولكنحر{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}لا تفعل ذلك بشكل عام. هذه هي الشحنات المحفوظة في عملية الانعكاس لأغراض قابلية التكامل وفقًا لـ Arnol'd Liouville .

معادلة لاكس

يمكن للمرء أن يُظهر {حر،ل(λ)}=[X(ر)λ-λر،ل(λ)]،{\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],} إذن، تحقق مصفوفة لاكس معادلة لاكس عندما يكون التطور الزمني معطى بأي من الهاميلتونيانحر{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}وكذلك أي توليفة خطية منها.

الهاميلتونيين الأعلى

تُقابل معادلة كازيمير التربيعية متعددة حدود تربيعية ثابتة لـ Weyl في جبر ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}لكن في الواقع، يمكن توليد العديد من رسوم التنقل المحفوظة باستخدامز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}كثيرات الحدود الثابتة. يمكن إيجاد هذه كثيرات الحدود الثابتة باستخدام تماثل هاريش-تشاندرا في الحالةز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}معقد وبسيط ومحدود.

نظريات المجال القابلة للتكامل كنماذج غودين الكلاسيكية

يمكن صياغة بعض نظريات الحقول الكلاسيكية القابلة للتكامل كنماذج غودين الكلاسيكية الأفينية، حيثز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}هي جبر لي أفيني . تشمل نظريات الحقول الكلاسيكية هذه النموذج الكيرالي الرئيسي ، ونماذج سيجما للمجموعات المشاركة، ونظرية حقل تودا الأفينية . [ 10 ] على هذا النحو، يمكن اعتبار نماذج غودان الأفينية "نظرية رئيسية" للأنظمة القابلة للتكامل، ولكنها تُصاغ بشكل طبيعي أكثر في الصيغة الهاميلتونية، على عكس النظريات الرئيسية الأخرى مثل نظرية تشيرن-سيمونز رباعية الأبعاد أو نظرية يانغ-ميلز المضادة للازدواجية الذاتية .

نماذج غودين الكمومية

هناك الكثير من المعلومات المعروفة حول البنية التكاملية لنماذج غودين الكمومية . وعلى وجه الخصوص، درسها كل من فيجين وفرينكل وريشيتكين باستخدام نظرية جبر مؤثرات الرؤوس ، موضحين علاقة نماذج غودين بمواضيع في الرياضيات تشمل معادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف وتطابق لانجلاندز الهندسي . [ 11 ]

مراجع

  1. ^ غارنييه ، رينيه (ديسمبر 1919). "Sur une classe de systèmes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 43 (1): 155– 191. دوى : 10.1007 / BF03014668 . S2CID 120557738 . 
  2. ^ تشودنوفسكي ، DV (ديسمبر 1979). “أنظمة شليزنجر المبسطة”. حرف آل نوفو سيمنتو . 26 (14): 423-427 . دوى : 10.1007 / BF02817023 . S2CID 122196561 . 
  3. ^ جودين، ميشيل (1976). ""قطرية فئة الدوران"" . جورنال دي فيزيك . 37 (10): 1087-1098 . دوى : 10.1051 / jphys:0197600370100108700 . تم الاسترجاع في 26 سبتمبر 2022 .
  4. ^ ريشيتيخين، ن. (1992). “نظام Knizhnik-Zamolodchikov كتشوه لمشكلة التساوي المتساوي”. بادئة رسالة. الرياضيات. فيز . 26 : 166– 177. دوى : 10.1007 / BF00420750 .
  5. ↑ هارناد، ج. (1996). "التشوهات الكمومية متساوية المونودرومية ومعادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف". سلسلة وقائع ومحاضرات مركز البحوث المغناطيسية 9، (تحرير د. ليفي، ل. فينيت، وب. وينترنيتز) . 9 : 155-161 .
  6. 1 2 آدامز، م.؛ هارناد، ج.؛ بريفياتو، إ. (1988). "تدفقات هاميلتونية متساوية الطيف في الأبعاد المحدودة وغير المحدودة. الجزء الأول: مسألة موسر المعممة وخرائط العزوم في جبر الحلقات". مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 117 : 451-500 .
  7. 1 2 آدامز، م.؛ هارناد، ج.؛ هورتوبيز، ج. (1990). "تدفقات هاميلتونية متساوية الطيف في الأبعاد المحدودة وغير المحدودة II. تكامل التدفقات". مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 134 : 555-585 .
  8. 1 2 آدامز، م.؛ هارناد، ج.؛ هورتوبيز، ج. (1993). "إحداثيات داربو وتكامل ليوفيل-أرنولد في جبر الحلقات". مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 155 : 385-413 .
  9. ^ لاكروا، سيلفان (2018). النماذج المتكاملة مع وظيفة تطور ونماذج جودين (أطروحة دكتوراه). جامعة ليون .
  10. ↑ فيسيدو، بينوا (2017). "حول نظريات الحقول القابلة للتكامل كنماذج غودان ثنائية السطوح الأفينية". arXiv : 1701.04856 [ hep-th ].
  11. ^ فيجين ، بوريس. فرنكل، إدوارد. ريشيتيكين ، نيكولاي (3 أبريل 1994). “نموذج جودين وبيث أنساتز والمستوى الحرج”. مشترك. الرياضيات. فيز . 166 (1): 27– 62. أرخايف : التهاب الكبد الوبائي/9402022 . بيب كود : 1994CMaPh.166...27F . دوى : 10.1007/BF02099300 . S2CID 17099900 .