التمايز الأنوسوفي

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجالي الأنظمة الديناميكية والطوبولوجيا الهندسية ، يُعدّ تطبيق أنوسوف على متشعب M نوعًا خاصًا من التطبيقات، من M إلى نفسه، مع اتجاهات محلية واضحة نسبيًا لـ "التوسع" و"الانكماش". تُعتبر أنظمة أنوسوف حالة خاصة من أنظمة البديهية A.

تم تقديم تحويلات أنوسوف التفاضلية بواسطة ديمتري فيكتوروفيتش أنوسوف ، الذي أثبت أن سلوكها عام بمعنى مناسب (عندما تكون موجودة أصلاً). [ 1 ]

ملخص

يجب التمييز بين ثلاثة تعريفات وثيقة الصلة:

  • إذا كانت للدالة التفاضلية f على M بنية زائدية على حزمة المماس ، فإنها تُسمى دالة أنوسوف . ومن الأمثلة على ذلك دالة برنولي ، ودالة قطة أرنولد .
  • إذا كانت الخريطة عبارة عن تحويل تفاضلي ، فإنها تسمى تحويل أنوسوف التفاضلي .
  • إذا قام تدفق على مشعب بتقسيم الحزمة المماسية إلى ثلاث حزم فرعية ثابتة ، مع حزمة فرعية واحدة تتقلص بشكل أسي، وأخرى تتوسع بشكل أسي، وحزمة فرعية ثالثة أحادية البعد غير متوسعة وغير متقلصة (يمتدها اتجاه التدفق)، فإن التدفق يسمى تدفق أنوسوف .

يُعد مثال أرنولد للقطط مثالاً كلاسيكياً على التماثل التفاضلي لأنوسوف .

أثبت أنوسوف أن تحويلات أنوسوف مستقرة هيكليًا وتشكل مجموعة فرعية مفتوحة من التعيينات (التدفقات) مع طوبولوجيا C 1 .

لا تقبل جميع المتشعبات تماثلات أنوسوف التفاضلية؛ فعلى سبيل المثال، لا توجد مثل هذه التماثلات على الكرة . وأبسط الأمثلة على المتشعبات المدمجة التي تقبلها هي الطارات: فهي تقبل ما يُسمى بتماثلات أنوسوف التفاضلية الخطية ، وهي تماثلات خطية ليس لها قيمة ذاتية تساوي 1. وقد ثبت أن أي تماثل أنوسوف تفاضلي آخر على طارة يكون مترافقًا طوبولوجيًا مع تماثل من هذا النوع.

تبين أن مشكلة تصنيف المشعبات التي تقبل تحويلات أنوسوف التفاضلية صعبة للغاية، ولا تزال كذلك حتى عام 2023.لا يوجد حل للأبعاد التي تزيد عن 3. الأمثلة المعروفة الوحيدة هي infranilmanifolds ، ويُفترض أنها الوحيدة.

الشرط الكافي للتعدي هو أن تكون جميع النقاط غير متجولة:Ω(و)=م{\displaystyle \Omega (f)=M}ينطبق هذا بدوره على تحويلات أنوسوف التفاضلية ذات البعد المشترك الواحد (أي تلك التي تكون فيها الحزمة الفرعية المنكمشة أو المتوسعة أحادية البعد) [ 2 ]، وعلى تدفقات أنوسوف ذات البعد المشترك الواحد على مشعبات ذات أبعاد أكبر من ثلاثة [ 3 ]، وكذلك تدفقات أنوسوف التي يقع طيف ماثر الخاص بها ضمن حلقتين رقيقتين بما فيه الكفاية. [ 4 ] ولا يُعرف ما إذا كانت تحويلات أنوسوف التفاضلية متعدية (باستثناء المشعبات تحت الصفر)، ولكن تدفقات أنوسوف ليست بالضرورة متعدية طوبولوجيًا. [ 5 ]

كما أنه من غير المعروف ما إذا كان كلج1{\displaystyle C^{1}}إن تحويل أنوسوف التفاضلي الحافظ للحجم هو تحويل إرجودي. وقد أثبت أنوسوف ذلك في ظلج2{\displaystyle C^{2}}هذا افتراض. وينطبق هذا أيضاً علىج1+α{\displaystyle C^{1+\alpha }}تحويلات أنوسوف التباينية التي تحافظ على الحجم.

لج2{\displaystyle C^{2}}التمايز المتعدي لأنوسوفو:م→م{\displaystyle f\colon M\to M}يوجد مقياس SRB فريد (يرمز الاختصار إلى سيناء، رويل، وبوين).μو{\displaystyle \mu _{f}}مدعوم علىم{\displaystyle M}بحيث يكون حوضهاب(μو){\displaystyle B(\mu _{f})}بكامل قوتها، حيث

ب(μو)={x∈م:1ن∑ك=0ن-1دلتاوكx→μو}.{\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}

تدفق أنوسوف على (حزم مماسية من) أسطح ريمان

كمثال، يتناول هذا القسم حالة تدفق أنوسوف على الحزمة المماسية لسطح ريمان ذي انحناء سالب . يمكن فهم هذا التدفق من خلال التدفق على الحزمة المماسية لنموذج بوانكاريه لنصف المستوى في الهندسة الزائدية. يمكن تعريف أسطح ريمان ذات الانحناء السالب كنماذج فوكسية ، أي كحاصل قسمة نصف المستوى العلوي على مجموعة فوكسية . فيما يلي، ليكن H هو نصف المستوى العلوي؛ ولتكن Γ مجموعة فوكسية؛ وليكن M  = H /Γ سطح ريمان ذو انحناء سالب كحاصل قسمة H على تأثير المجموعة Γ، و تي1م{\displaystyle T^{1}M}لتكن حزمة المماس للمتجهات ذات الطول الواحد على المتشعب M ، ولتكنتي1ح{\displaystyle T^{1}H}ليكن حزمة المماس للمتجهات ذات الطول الواحد على H. لاحظ أن حزمة المتجهات ذات الطول الواحد على سطح ما هي الحزمة الرئيسية لحزمة خطية معقدة .

حقول متجهات لي

يبدأ المرء بملاحظة أنتي1ح{\displaystyle T^{1}H}متماثل مع زمرة لي PSL(2, R ) . هذه الزمرة هي زمرة التماثلات المحافظة على الاتجاه لنصف المستوى العلوي. جبر لي لـ PSL(2, R ) هو sl(2, R )، وهو مُوَلَّد بواسطة المصفوفات.

ج=(1/200-1/2)،X=(0100)،Y=(0010){\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}},\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}

باستخدام قوس الكذب

[ج،X]=X،[ج،Y]=-Y،[X،Y]=2ج.{\displaystyle [J,X]=X,\qquad [J,Y]=-Y,\qquad [X,Y]=2J.}

الخرائط الأسية

زت=خبرة⁡(تج)=(هـت/200هـ-ت/2)حت*=خبرة⁡(تX)=(1ت01)حت=خبرة⁡(تY)=(10ت1){\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}

عرّف التدفقات الثابتة من اليمين على مشعبتي1ح=دوري السوبر الباكستاني⁡(2،R){\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}وكذلك علىتي1م{\displaystyle T^{1}M}تعريفP=تي1ح{\displaystyle P=T^{1}H}وسؤال=تي1م{\displaystyle Q=T^{1}M}تُعرّف هذه التدفقات حقولًا متجهة على P و Q، حيث تقع متجهاتها في TP و TQ . هذه هي حقول لي المتجهة القياسية العادية على متشعب زمرة لي، والعرض أعلاه هو شرح قياسي لحقل لي المتجه.

تدفق أنوسوف

ينبع الارتباط بتدفق أنوسوف من إدراك أنزت{\displaystyle g_{t}}يمثل التدفق الجيوديسي على P و Q. وبما أن حقول متجهات لي (بحكم تعريفها) ثابتة من اليسار تحت تأثير عنصر المجموعة، فإن هذه الحقول تكون ثابتة من اليسار تحت تأثير العناصر المحددة.زت{\displaystyle g_{t}}من التدفق الجيوديسي. بعبارة أخرى، تُقسّم المساحتان TP و TQ إلى ثلاث مساحات أحادية البعد، أو حزم فرعية ، كل منها ثابتة تحت تأثير التدفق الجيوديسي. الخطوة الأخيرة هي ملاحظة أن حقول المتجهات في إحدى الحزم الفرعية تتمدد (وتتمدد أُسّيًا)، بينما تبقى تلك الموجودة في حزمة فرعية أخرى دون تغيير، وتتقلص تلك الموجودة في حزمة فرعية ثالثة (وتتقلص أُسّيًا).

وبشكل أدق، يمكن كتابة حزمة المماس TQ على شكل مجموع مباشر

تيسؤال=هـ+⊕هـ0⊕هـ-{\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}

أو عند نقطة ماز⋅هـ=q∈سؤال{\displaystyle g\cdot e=q\in Q}المجموع المباشر

تيqسؤال=هـq+⊕هـq0⊕هـq-{\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}

تتوافق مع مولدات جبر لي Y و J و X على التوالي، والتي يتم نقلها، بواسطة التأثير الأيسر لعنصر المجموعة g ، من نقطة الأصل e إلى النقطة q . أي أن لديناهـهـ+=Y،هـهـ0=ج{\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}وهـهـ-=X{\displaystyle E_{e}^{-}=X}تُمثل هذه المساحات كل منها حزمة فرعية ، وهي محفوظة (ثابتة) تحت تأثير التدفق الجيوديسي ؛ أي تحت تأثير عناصر المجموعة.ز=زت{\displaystyle g=g_{t}}.

لمقارنة أطوال المتجهات فيتيqسؤال{\displaystyle T_{q}Q}عند نقاط مختلفة q ، نحتاج إلى مقياس. أي جداء داخلي عندتيهـP=sل(2،R){\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}يمتد إلى مقياس ريماني ثابت من اليسار على P ، وبالتالي إلى مقياس ريماني على Q. طول المتجهv∈هـq+{\displaystyle v\in E_{q}^{+}}يتوسع بشكل أسي كـ exp(t) تحت تأثيرزت{\displaystyle g_{t}}طول المتجهv∈هـq-{\displaystyle v\in E_{q}^{-}}يتقلص بشكل أسي بمعدل exp(-t) تحت تأثيرزت{\displaystyle g_{t}}المتجهات فيهـq0{\displaystyle E_{q}^{0}}لا تتغير. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال دراسة كيفية تبادل عناصر المجموعة. التدفق الجيوديسي ثابت.

زsزت=زتزs=زs+ت{\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}

أما الاثنان الآخران فيتقلصان ويتمددان:

زsحت*=حتخبرة⁡(-s)*زs{\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}

و

زsحت=حتخبرة⁡(s)زs{\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}

حيث نتذكر أن متجه المماس فيهـq+{\displaystyle E_{q}^{+}}يُعطى بواسطة مشتقة المنحنى بالنسبة إلى الزمن tحت{\displaystyle h_{t}}الإعدادت=0{\displaystyle t=0}.

التفسير الهندسي لتدفق أنوسوف

عند التصرف بناءً على هذه النقطةz=أنا{\displaystyle z=i}من النصف العلوي للمستوى،زت{\displaystyle g_{t}}يتوافق مع خط جيوديسي على النصف العلوي من المستوى، يمر عبر النقطةz=أنا{\displaystyle z=i}. الفعل هو فعل تحويل موبيوس القياسي لـ SL(2, R ) على النصف العلوي من المستوى، بحيث

زت⋅أنا=(خبرة⁡(ت/2)00خبرة⁡(-ت/2))⋅أنا=أناخبرة⁡(ت){\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}

يُعطى المسار الجيوديسي العام بالصيغة التالية:

(أبجد)⋅أناخبرة⁡(ت)=أأناخبرة⁡(ت)+بجأناخبرة⁡(ت)+د{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}

مع أ ، ب، ج ، د أعداد حقيقية، معأد-بج=1{\displaystyle ad-bc=1}المنحنياتحت*{\displaystyle h_{t}^{*}}وحت{\displaystyle h_{t}}تُسمى هذه الأشكال بالدوائر الأفقية . وتتوافق هذه الأشكال مع حركة المتجهات العمودية للكرة الأفقية على النصف العلوي من المستوى.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ديمتري ف. أنوسوف ، التدفقات الجيوديسية على مشعبات ريمان المغلقة ذات الانحناء السالب ، (1967) وقائع معهد ستيكلوف للرياضيات. 90 .
  2. ↑ نيوهاوس، شيلدون إي. (1970). "حول التشاكلات التفاضلية من نوع أنوسوف ذات البعد المشترك الواحد" . المجلة الأمريكية للرياضيات . 92 : 761-770 . doi : 10.2307/2373372 .
  3. ^ فيرجوفسكي ، ألبرتو (1974). "تدفقات Codimension One Anosov". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. الدوري الثاني . 19 (2): 49-77 .
  4. ^ برين، ميتشيغن (1977). “النقاط غير المتجولة في أشكال أنوسوف التفاضلية”. النجمية . 49 : 11 - 18.
  5. ↑ بيغوين، فرانسوا؛ بوناتي، كريستيان؛ يو، بين (2017). "بناء تدفقات أنوسوف على متعددات الشعب ثلاثية الأبعاد" . الهندسة والطوبولوجيا . 21 (3): 1837-1930 . arXiv : 1408.3951 . doi : 10.2140/gt.2017.21.1837 .

مراجع

  • "نظام Y، نظام U، نظام C" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
  • أنتوني مانينغ، ديناميكيات التدفقات الجيوديسية والدورية على أسطح ذات انحناء سالب ثابت ، (1991)، يظهر كالفصل 3 في نظرية الإرجودية، والديناميكيات الرمزية، والفضاءات الزائدية ، تيم بيدفورد، ومايكل كين، وكارولين سيريز، المحررون. مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد (1991). ISBN 0-19-853390-X(يقدم مقدمة توضيحية لتدفق أنوسوف على SL(2, R ).)
  • تتضمن هذه المقالة مواد من معادلة أنوسوف التفاضلية على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .
  • توشيكازو سونادا ، التدفقات المغناطيسية على سطح ريمان ، وقائع ورشة عمل الرياضيات في KAIST (1993)، 93-108.