SL 2 ( R )

في الرياضيات ، المجموعة الخطية الخاصة SL(2, R) أو SL ₂ (R) هي مجموعة المصفوفات الحقيقية 2 × 2 ذات المحدد الواحد:

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ and }}ad-bc=1\right\}.}$

إنها مجموعة لي حقيقية بسيطة متصلة وغير مضغوطة ذات بُعد 3 ولها تطبيقات في الهندسة والطوبولوجيا ونظرية التمثيل والفيزياء .

تؤثر المجموعة SL(2, R ) على النصف العلوي المركب من المستوى المركب بتحويلات خطية كسرية . ويتحلل تأثير المجموعة من خلال خارج القسمة PSL(2, R) ( المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية 2 × 2 على R ). وبشكل أكثر تحديدًا،

PSL(2, R ) = SL(2, R ) / {± I },  

حيث تشير I إلى مصفوفة الوحدة 2 × 2. وهي تحتوي على المجموعة النمطية PSL(2, Z ).

كما أن مجموعة التغطية الثنائية ، Mp(2, R )، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بها، وهي مجموعة ميتابليكتيكية (باعتبار SL(2, R ) مجموعة سيمبليكتية ).

وهناك مجموعة أخرى ذات صلة هي SL ^± (2, R )، وهي مجموعة المصفوفات الحقيقية 2 × 2 ذات المحدد ±1؛ ومع ذلك، فإن هذا يستخدم بشكل أكثر شيوعًا في سياق المجموعة النمطية .

SL(2, R ) هي مجموعة جميع التحويلات الخطية لـ R² التي تحافظ على المساحة الموجهة ^. وهي متماثلة مع المجموعة التبسيطية Sp(2, R ) والمجموعة الوحدوية الخاصة SU(1, 1) . كما أنها متماثلة مع مجموعة الكواتيرنيونات ذات الطول الواحد . تحافظ المجموعة SL ^± (2, R ) على المساحة غير الموجهة: أي أنها قد تعكس الاتجاه.

يحتوي خارج القسمة PSL(2, R ) على العديد من الأوصاف المثيرة للاهتمام، وصولاً إلى تماثل زمرة لي:

• إنها مجموعة التحويلات الإسقاطية التي تحافظ على الاتجاه للخط الإسقاطي الحقيقي R ∪ {∞}.
• إنها مجموعة التشاكلات المطابقة للقرص الواحد .
• إنها مجموعة من التماثلات التي تحافظ على اتجاه المستوى الزائدي .
• هي مجموعة لورنتز المقيدة لفضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد . وبصورة مكافئة، فهي متماثلة مع المجموعة المتعامدة غير المحددة SO ⁺ (1,2). ويترتب على ذلك أن SL(2, R ) متماثلة مع مجموعة الدوران Spin(2,1) ⁺ .

عناصر المجموعة النمطية PSL(2, Z ) لها تفسيرات إضافية، وكذلك عناصر المجموعة SL(2, Z ) (كتحويلات خطية للطورس)، ويمكن أيضًا النظر إلى هذه التفسيرات في ضوء النظرية العامة لـ SL(2, R ).

تحقق القيم الذاتية للعنصر A ∈ SL(2, R ) متعددة الحدود المميزة

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

وبالتالي

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

يؤدي هذا إلى التصنيف التالي للعناصر، مع ما يقابله من تأثير على المستوى الإقليدي:

• لو${\displaystyle |\mathrm {tr} (أ)|<2}$، عندئذٍ يُطلق على A اسم القطع الناقص، وهو مترافق مع الدوران .
• لو${\displaystyle |\mathrm {tr} (أ)|=2}$، عندئذٍ يُطلق على A اسم القطع المكافئ، وهو عبارة عن تحويل قصي .
• لو${\displaystyle |\mathrm {tr} (أ)|>2}$، ثم يُطلق على A اسم القطع الزائد، وهو عبارة عن خريطة ضغط .

تتوافق الأسماء مع تصنيف القطوع المخروطية حسب اللامركزية : إذا عرّفنا اللامركزية على أنها نصف القيمة المطلقة للأثر (ε = 1 / 2 | tr|؛ القسمة على 2 تصحح تأثير البعد، بينما القيمة المطلقة تتوافق مع تجاهل عامل إجمالي قدره ±1 كما هو الحال عند العمل في PSL(2, R ))، فإن هذا ينتج عنه:${\displaystyle \epsilon <1}$، إهليلجي؛${\displaystyle \epsilon =1}$، مكافئ؛${\displaystyle \epsilon >1}$، زائدي.

العنصر المحايد 1 والعنصر المحايد السالب −1 (في PSL(2, R ) هما نفس الشيء)، لهما أثر ±2، وبالتالي وفقًا لهذا التصنيف، فهما عنصران مكافئان، على الرغم من أنهما غالبًا ما يتم اعتبارهما بشكل منفصل.

يتم استخدام نفس التصنيف لـ SL(2, C ) و PSL(2, C ) ( تحويلات موبيوس ) و PSL(2, R ) (تحويلات موبيوس الحقيقية)، مع إضافة تحويلات "لوكسودرومية" المقابلة للآثار المعقدة؛ ويتم استخدام تصنيفات مماثلة في أماكن أخرى.

تُسمى المجموعة الفرعية التي تحتوي على العناصر الإهليلجية (على التوالي، القطع المكافئ، القطع الزائد)، بالإضافة إلى العنصر المحايد والعنصر المحايد السلبي، مجموعة فرعية إهليلجية (على التوالي، مجموعة فرعية قطع مكافئ ، مجموعة فرعية قطع زائد ).

إن تقسيم SL(2, R ) إلى عناصر إهليلجية وقطع مكافئ وقطع زائد هو تصنيف إلى مجموعات جزئية، وليس زمر جزئية: فهذه المجموعات ليست مغلقة تحت عملية الضرب (ليس بالضرورة أن يكون حاصل ضرب عنصرين من عناصر القطع المكافئ قطعًا مكافئًا، وهكذا). ومع ذلك، فإن كل عنصر مترافق مع عنصر من إحدى الزمر الجزئية القياسية الثلاث ذات المعامل الواحد (ربما مضروبة في ±1)، كما هو موضح أدناه.

من الناحية الطوبولوجية، وبما أن الأثر دالة متصلة، فإن العناصر الإهليلجية (باستثناء ±1) تُشكل مجموعة مفتوحة ، وكذلك العناصر الزائدية (باستثناء ±1). في المقابل، تُشكل العناصر المكافئة، مع ±1، مجموعة مغلقة غير مفتوحة.

يُعد تحليل إيواساوا لمجموعة ما طريقةً لبناء المجموعة كحاصل ضرب ثلاث مجموعات لي جزئية K و A و N.${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}$هذه المجموعات الفرعية الثلاث هي

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

هذه العناصر الثلاثة هي مولدات المجموعات الفرعية الإهليلجية والزائدية والمكافئة على التوالي.

يمكن وصف الفضاء الطوبولوجي PSL (2, R ) بأنه حزمة المماس الوحدوية للمستوى الزائدي. وهو حزمة دائرية ، وله بنية تماس طبيعية ناتجة عن البنية التبسيطية على المستوى الزائدي. أما SL(2, R ) فهو غطاء ثنائي لـ PSL(2, R )، ويمكن اعتباره حزمة من السبينورات على المستوى الزائدي.

المجموعة الأساسية لـ SL(2, R ) هي المجموعة الدورية اللانهائية Z. المجموعة الشاملة للتغطية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$، هو مثال على زمرة لي ذات أبعاد منتهية ليست زمرة مصفوفات . أي،${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$لا يقبل أي تمثيل أمين ذي أبعاد محدودة .

كمساحة طوبولوجية،${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$هي حزمة خطية فوق المستوى الزائدي. عند تزويدها بمقياس ثابت من اليسار ، فإن المتشعب ثلاثي الأبعاد${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$يصبح أحد الأشكال الهندسية الثمانية لثورستون . على سبيل المثال،${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$هو الغطاء الشامل لحزمة المماس الوحدوي لأي سطح زائدي . أي مشعب مصمم على${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$قابلة للتوجيه، وهي عبارة عن حزمة دائرية فوق بعض الفضاءات ذات الأبعاد الزائدية ( فضاء ألياف سيفرت ).

تحت هذا الغطاء، تكون الصورة العكسية للمجموعة النمطية PSL(2, Z ) هي مجموعة الجدائل على 3 مولدات، B3 _، وهي الامتداد المركزي الشامل للمجموعة النمطية. هذه شبكات داخل المجموعات الجبرية ذات الصلة، وهذا يتوافق جبريًا مع مجموعة التغطية الشاملة في الطوبولوجيا.

يمكن تحديد مجموعة التغطية الثنائية على أنها Mp(2, R )، وهي مجموعة ميتابليكتيكية ، مع اعتبار SL(2, R ) بمثابة المجموعة السيمبليكتية Sp(2, R ).

تشكل المجموعات المذكورة أعلاه معًا سلسلة:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

ومع ذلك، هناك مجموعات تغطية أخرى لـ PSL(2, R ) تتوافق مع جميع n ، حيث n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2, R ))، والتي تشكل شبكة من مجموعات التغطية عن طريق قابلية القسمة؛ تغطي هذه SL(2, R ) إذا وفقط إذا كان n زوجيًا.

مركز SL(2, R ) هو المجموعة المكونة من عنصرين {±1}، والقسمة PSL (2, R ) بسيطة .

تُسمى الزمر الجزئية المنفصلة من PSL(2, R ) بالزمر الفوشية . وهي النظير الزائدي لزمر ورق الجدران الإقليدية وزمر فريز . وأشهرها الزمرة النمطية PSL(2, Z )، التي تؤثر على تبليط المستوى الزائدي بواسطة مثلثات مثالية.

مجموعة الدائرة SO (2) هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من SL(2, R )، والدائرة SO(2) / {±1} هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من PSL(2, R ).

إن مُضاعِف شور للمجموعة المنفصلة PSL(2, R ) أكبر بكثير من Z ، كما أن الامتداد المركزي الشامل أكبر بكثير من مجموعة التغطية الشاملة. مع ذلك، فإن هذه الامتدادات المركزية الكبيرة لا تأخذ الطوبولوجيا في الحسبان، وهي تُعدّ شاذة إلى حد ما.

SL(2, R ) هي زمرة لي بسيطة حقيقية غير متراصة ، وهي الشكل الحقيقي المنفصل لزمرة لي المركبة SL(2, C ). جبر لي الخاص بـ SL(2, R )، ويرمز له بـ sl(2, R )، هو جبر جميع المصفوفات الحقيقية عديمة الأثر من الرتبة 2 × 2. وهو جبر بيانكي من النوع الثامن.

تُكافئ نظرية التمثيل ذات الأبعاد المحدودة لـ SL(2, R ) نظرية التمثيل لـ SU(2) ، وهي الصيغة الحقيقية المدمجة لـ SL(2, C ). وبالتحديد، لا تمتلك SL(2, R ) أي تمثيلات وحدوية غير تافهة ذات أبعاد محدودة. هذه سمة من سمات كل زمرة لي بسيطة متصلة غير مدمجة. للاطلاع على ملخص البرهان، انظر: عدم وحدوية التمثيلات .

تُعدّ نظرية التمثيل اللانهائي الأبعاد لـ SL(2, R ) مثيرة للاهتمام للغاية. تحتوي المجموعة على عدة عائلات من التمثيلات الوحدوية، والتي تمّ شرحها بالتفصيل من قِبل جيلفاند ونايمارك (1946)، و ف. بارغمان (1947)، وهاريش-شاندرا (1952).

• بارغمان، فالنتاين (1947). "التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لمجموعة لورنتز". حوليات الرياضيات . 48 (3): 568-640 . doi : 10.2307/1969129 . JSTOR 1969129. MR 0021942 .  
• جيلفاند، إسرائيل مويسيفيتش؛ نيومارك، مارك أرونوفيتش (1946). "التمثيلات الوحدوية لمجموعة لورنتز". أكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي. مجلة الفيزياء 10 : 93-94 . MR 0017282 . 
• هاريش-تشاندرا (1952). "صيغة بلانشيريل للمجموعة أحادية المعامل الحقيقية 2×2" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية . 38 (4): 337-342 . Bibcode : 1952PNAS...38..337H . doi : 10.1073 / pnas.38.4.337 . MR 0047055. PMC 1063558. PMID 16589101 .   
• لانغ، سيرج (1985).${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  105. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . ISBN 0-387-96198-4MR 0803508 .​ 
• ثورستون، ويليام (1997). سيلفيو ليفي (محرر). الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد. المجلد 1. سلسلة برينستون الرياضية. المجلد  35. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-08304-5MR 1435975 .​