نموذج سيجما غير الخطي

في نظرية الحقل الكمومي ، يصف نموذج سيجما غير الخطي حقلاً Σ يأخذ قيماً في فضاء غير خطي يُسمى الفضاء المستهدف T. وقد قدّم جيل مان وليفي (1960 ، §6) نموذج سيجما غير الخطي ، وأطلقوا عليه هذا الاسم نسبةً إلى حقل يُقابل ميزون sp يُسمى σ في نموذجهم. ^{[ 1 ]} تتناول هذه المقالة بشكل أساسي تكميم نموذج سيجما غير الخطي؛ يُرجى الرجوع إلى المقالة الأساسية حول نموذج سيجما للاطلاع على التعريفات العامة والصياغات والنتائج الكلاسيكية (غير الكمومية). 

يتم تزويد المتشعب المستهدف T بمقياس ريماني g . Σ عبارة عن خريطة قابلة للتفاضل من فضاء مينكوفسكي M (أو أي فضاء آخر) إلى T.  

تُعطى كثافة لاغرانج في شكلها الكيرالي المعاصر ^{[ 2 ] بواسطة}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}$

حيث استخدمنا توقيعًا متريًا  + −  −  − ويتم إعطاء المشتق الجزئي ∂Σ بواسطة مقطع من حزمة النفاثات T × M و V هو الجهد.

في تدوين الإحداثيات، مع الإحداثيات Σ ^a ، حيث a  =  1،  ...، n حيث n هو بُعد T ،  

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).}$

في أكثر من بُعدين، تحتوي نماذج سيجما غير الخطية على ثابت اقتران ذي أبعاد، وبالتالي لا يمكن إعادة تطبيعها اضطرابياً. ومع ذلك، فإنها تُظهر نقطة ثابتة فوق بنفسجية غير تافهة لمجموعة إعادة التطبيع، سواء في صياغة الشبكة ^{[ 3 ] [ 4 ]} أو في التوسع المزدوج الذي اقترحه كينيث ج. ويلسون في الأصل ^{[ 5 ]} .

في كلا النهجين، يُلاحظ أن النقطة الثابتة غير التافهة لمجموعة إعادة التطبيع، التي تم التوصل إليها للنموذج المتناظر O(n)، تصف ببساطة، في الأبعاد الأكبر من اثنين، النقطة الحرجة التي تفصل بين الطور المرتب والطور غير المرتب. إضافةً إلى ذلك، يمكن مقارنة تنبؤات نظرية الشبكة أو نظرية المجال الكمومي المحسّنة بالتجارب المخبرية على الظواهر الحرجة ، نظرًا لأن نموذج O(n) يصف مغناطيسات هايزنبرغ الحديدية الفيزيائية والأنظمة ذات الصلة. تشير النتائج المذكورة أعلاه، بالتالي، إلى قصور نظرية الاضطراب البسيطة في وصف السلوك الفيزيائي للنموذج المتناظر O(n) بدقة في الأبعاد الأكبر من اثنين، وإلى الحاجة إلى طرق غير اضطرابية أكثر تطورًا، مثل صياغة الشبكة.

هذا يعني أنها لا يمكن أن تنشأ إلا كنظريات حقل فعّالة . ثمة حاجة إلى فيزياء جديدة عند مقياس المسافة الذي تكون فيه دالة الارتباط بين نقطتين متصلتين من نفس رتبة انحناء الفضاء المستهدف. يُطلق على هذا اسم الإكمال فوق البنفسجي للنظرية. توجد فئة خاصة من نماذج سيجما غير الخطية ذات زمرة التناظر الداخلي G *. إذا كانت G زمرة لي و H زمرة لي جزئية ، فإن فضاء القسمة G / H يكون فضاءً متعدد الشعب (مع مراعاة بعض القيود التقنية، مثل كون H مجموعة جزئية مغلقة) وهو أيضًا فضاء متجانس لـ G ، أو بعبارة أخرى، تجسيد غير خطي لـ G. في كثير من الحالات، يمكن تزويد G / H بمقياس ريماني ثابت تحت تأثير G. هذا هو الحال دائمًا، على سبيل المثال، إذا كانت G متراصة . يُطلق على نموذج σ غير الخطي الذي يكون فيه G/H هو المتشعب المستهدف مع مقياس ريماني ثابت G وجهد صفري اسم نموذج σ غير الخطي في فضاء القسمة (أو فضاء المشاركة).   

عند حساب تكاملات المسار ، يجب " ترجيح" المقياس الوظيفي بالجذر التربيعي لمحدد g . 

${\displaystyle {\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .}$

أثبت هذا النموذج أهميته في نظرية الأوتار، حيث يُطلق على الفضاء ثنائي الأبعاد اسم " السطح العالمي" . وقد قدّم دانيال فريدان تقديرًا لإمكانية إعادة تطبيعه المعممة . ^{[ 6 ]} بيّن أن النظرية تقبل معادلة مجموعة إعادة التطبيع، عند الرتبة الأولى لنظرية الاضطراب، على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}$

R _ab هو موتر ريتشي للمتشعب المستهدف.

يمثل هذا تدفق ريتشي ، يخضع لمعادلات أينشتاين للمجال للمتشعب المستهدف كنقطة ثابتة. إن وجود مثل هذه النقطة الثابتة أمر مهم، لأنه يضمن، عند هذا المستوى من نظرية الاضطراب، عدم فقدان الثبات المطابق بسبب التصحيحات الكمومية، وبالتالي فإن نظرية المجال الكمومي لهذا النموذج منطقية (قابلة لإعادة التطبيع).

يؤدي إضافة التفاعلات غير الخطية التي تمثل شذوذات النكهة والكيرالية إلى نموذج ويس-زومينو-ويتن ، ^{[ 7 ]} الذي يُوسّع هندسة التدفق لتشمل الالتواء ، مع الحفاظ على إمكانية إعادة التطبيع، ويؤدي أيضًا إلى نقطة ثابتة في نطاق الأشعة تحت الحمراء ، وذلك بسبب التوازي عن بُعد ("التوازن الهندسي"). ^{[ 8 ]}

ومن الأمثلة الشهيرة، ذات الأهمية الخاصة نظرًا لخصائصها الطوبولوجية، نموذج سيجما غير الخطي من الرتبة O(3) في بُعدين 1 + 1، مع كثافة لاغرانجية  

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

حيث n ̂ = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) مع القيد n ̂ ⋅ n ̂ = 1 و μ = 1,2.

يُتيح هذا النموذج حلولًا طوبولوجية محدودة الفعل، إذ يجب أن تتلاشى كثافة لاغرانج عند الزمكان اللانهائي، ما يعني أن n̂ = ثابت عند اللانهاية. لذلك، في فئة حلول الفعل المحدود، يمكن اعتبار النقاط عند اللانهاية نقطة واحدة، أي يمكن تعريف الزمكان بكرة ريمان .

بما أن الحقل n ̂ موجود على كرة أيضًا، فإن التطبيق S ² → S ² موجود، ويتم تصنيف حلوله بواسطة مجموعة التماثل الثانية للكرة 2: تسمى هذه الحلول باللحظات O(3) .

يمكن أيضًا دراسة هذا النموذج في بُعدين مكانيين (1+2)، حيث تُستمد البنية الطوبولوجية من الشرائح المكانية فقط. تُنمذج هذه الشرائح على أنها فضاء R² بنقطة عند اللانهاية، وبالتالي لها نفس البنية الطوبولوجية للوحدات الزمنية O(3) في بُعدين مكانيين (1+1). تُسمى هذه الوحدات كتل نموذج سيجما.

• نموذج سيجما
• النموذج الكيرالي
• هيغز الصغير
• سكيرميون ، سوليتون في نماذج سيجما غير الخطية
• إجراء بولياكوف
• نموذج WZW
• مقياس فوبيني-ستودي ، وهو مقياس يُستخدم غالبًا مع نماذج سيجما غير الخطية
• تدفق ريتشي
• ثبات المقياس

• كيتوف، سيرجي (2009). "نموذج سيجما غير الخطي" . موسوعة سكولاربيديا . 4 (1): 8508. رمز Bibcode : 2009SchpJ...4.8508K . doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .
• كولشريشتا، يو.؛ كولشريشتا، دي إس (2002). "صيغة هاميلتونية أمامية، وتكامل مسار، وBRST لنموذج سيجما غير الخطي". المجلة الدولية للفيزياء النظرية . 41 (10): 1941-1956 . doi : 10.1023/A:1021009008129 . S2CID 115710780 .