لاغرانجيان (نظرية المجال)

لحقل قياسي واحد${\displaystyle \varphi }$، ستأخذ كثافة لاغرانج الشكل التالي: ^{[ nb 1 ] [ 3 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

بالنسبة للعديد من الحقول العددية $$// ر،\ldots،\mathbf {x}،t)}$$

في الصياغات الرياضية، يُفهم أن الحقول العددية هي إحداثيات على حزمة ألياف ، ويُفهم أن مشتقات الحقل هي مقاطع من حزمة النفاثات .

يمكن تعميم ما سبق ليشمل الحقول المتجهة ، والحقول الموترية ، والحقول الدورانية . في الفيزياء، تُوصف الفرميونات بالحقول الدورانية، بينما تُوصف البوزونات بالحقول الموترية، والتي تشمل الحقول العددية والمتجهة كحالات خاصة.

على سبيل المثال، إذا كان هناك${\displaystyle m}$الحقول العددية ذات القيم الحقيقية ،${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$إذن، يكون المجال المتعدد هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$إذا كان الحقل حقلاً متجهياً حقيقياً ، فإن مشعب الحقل يكون متماثلاً مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

يُطلق على التكامل الزمني للدالة لاغرانجية اسم الفعل ، ويُرمز له بالرمز S. في نظرية الحقول، يُفرّق أحيانًا بين الدالة لاغرانجية L ، التي يُمثل تكاملها الزمني الفعل. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$ وكثافة لاغرانج${\displaystyle {\mathcal {L}}}$، والتي يتم دمجها على كامل الزمكان للحصول على الحدث: $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla}}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

التكامل الحجمي المكاني لكثافة لاغرانج هو لاغرانج؛ في ثلاثة أبعاد، $${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

غالباً ما يُشار إلى هذا الفعل باسم "الفعل الوظيفي "، لأنه دالة للحقول (ومشتقاتها).

في وجود الجاذبية أو عند استخدام الإحداثيات المنحنية العامة، تكون كثافة لاغرانج${\displaystyle {\mathcal {L}}}$سيشمل ذلك عاملاً من${\textstyle {\sqrt {g}}}$يضمن هذا أن يكون الفعل ثابتًا تحت تحويلات الإحداثيات العامة. في الأدبيات الرياضية، يُعتبر الزمكان متعدد الشعب الريماني .${\displaystyle M}$ويصبح التكامل حينها على شكل حجمي$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

هنا،${\displaystyle \wedge }$هو ناتج الوتد و${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$هو الجذر التربيعي للمحدد${\displaystyle |g|}$من موتر القياس${\displaystyle g}$على${\displaystyle M}$في حالة الزمكان المسطح (مثل زمكان مينكوفسكي )، يكون حجم الوحدة واحدًا، أي${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$لذا، يُحذف عادةً عند مناقشة نظرية الحقول في الزمكان المسطح. وبالمثل، لا يُضيف استخدام رموز الضرب الخارجي أي فهم إضافي لمفهوم الحجم في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، ولذلك تُحذف هذه الرموز أيضًا. بعض الكتب الدراسية القديمة، مثل كتاب لاندو وليفشيتز، تكتب${\textstyle {\sqrt {-g}}}$بالنسبة لصيغة الحجم، حيث أن الإشارة السالبة مناسبة لموترات القياس ذات التوقيع (+−−−) أو (−+++) (لأن المحدد سالب في كلتا الحالتين). عند مناقشة نظرية الحقول على مشعبات ريمانية عامة، تُكتب صيغة الحجم عادةً بالترميز المختصر.${\displaystyle *(1)}$أين${\displaystyle *}$هو نجم هودج . أي $${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$ وهكذا $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

في كثير من الأحيان، يُعتبر الرمز أعلاه زائداً تماماً، و $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$ يُلاحظ هذا الأمر بشكل متكرر. لا تنخدع: فصيغة الحجم موجودة ضمنيًا في التكامل أعلاه، حتى وإن لم تُكتب صراحةً.

تصف معادلات أويلر -لاغرانج التدفق الجيوديسي للحقل${\displaystyle \varphi }$كدالة للزمن. مع الأخذ في الاعتبار التغير بالنسبة إلى${\displaystyle \varphi }$، يحصل المرء $${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

وبحل هذه المعادلات، مع مراعاة الشروط الحدية ، نحصل على معادلات أويلر-لاغرانج : $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

غالبًا ما يتكون لاغرانجيان من مجموع حدود متعددة الحدود ، حيث تحدد تناظرات النظرية والحقول المعنية أنواع الحدود المسموح بها. على سبيل المثال، في النظريات النسبية ، يجب أن يكون كل حد ثابتًا تحت تحويلات لورنتز، بينما في نظرية ذات حقل قياسي ، يجب أن تكون ثابتة تحت تحويلات القياس.

تُعرف الحدود التي تحتوي على حاصل ضرب حقلين ولا تحتوي على مشتقات باسم حدود الكتلة ، وهي التي تُعطي كتلة للحقول. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، حقل قياسي حقيقي واحد${\displaystyle \phi (x)}$من الكتلة${\displaystyle m}$له حد كتلة معطى بواسطة

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}=-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}(x).}$

أما الحدود الأخرى التي تحتوي على حقلين، أي تلك التي لها مشتقة واحدة على الأقل، فتُعرف بالحدود الحركية . وهي تُضفي على الحقول طابعًا ديناميكيًا ، حيث تتطلب معظم النظريات تقييد الحدود الحركية بحيث لا تتجاوز مشتقتين للحفاظ على الاحتمالات في نظرية الكم . كما أنها عادةً ما تكون موجبة التحديد لضمان طاقات موجبة. ^{[ ملاحظة 2 ]} على سبيل المثال، يُعطى الحد الحركي لحقل قياسي حقيقي نسبي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi .}$

يمكن أيضاً إيجاد حقول لا تحتوي على حدود حركية، وتلعب دور الحقول المساعدة أو حقول الخلفية أو التيارات . أما النظريات التي تحتوي فقط على حدود حركية وكتلية، فتشكل نظريات الحقول الحرة .

أي حد يحتوي على أكثر من حقلين لكل حد يُعرف بحد التفاعل . ^{[ 5 ]} يؤدي وجود هذه الحدود إلى ظهور نظريات التفاعل حيث يمكن للجسيمات أن تتشتت بفعل بعضها البعض. تُعرف المعاملات التي تسبق هذه الحدود بثوابت الاقتران ، وهي التي تحدد قوة التفاعل. على سبيل المثال، يُعطى التفاعل من الدرجة الرابعة في نظرية حقل قياسي حقيقي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}=-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4},}$

أين${\displaystyle g}$هو ثابت اقترانه. يُنتج هذا الحد عمليات تشتت حيث يمكن لحقلين قياسيين أن يتشتتا عن بعضهما البعض. يمكن أن يكون للحدود المتفاعلة أي عدد من المشتقات، حيث يوفر كل مشتق اعتمادًا على الزخم لحد التشتت كما يمكن رؤيته بالانتقال إلى فضاء الزخم .

تُعرف الحدود التي تحتوي على حقل واحد فقط باسم حدود الشرغوف، لأنها تُنتج مخططات فاينمان على شكل شرغوف . ^{[ 4 ] : ​​415} في النظريات ذات التناظرات الانتقالية ، يمكن عادةً حذف هذه الحدود عن طريق إعادة تعريف بعض الحقول من خلال إزاحة. ^{[ ملاحظة 3 ]}

لا تُؤثر الحدود الثابتة، أي تلك التي لا تحتوي على حقول، على أي نتائج فيزيائية في النظريات غير الجاذبية. ^{[ 6 ]} في نظريات الحقول الكلاسيكية، تعتمد معادلات الحركة فقط على تغيرات لاغرانجيان، لذا لا تلعب الحدود الثابتة أي دور. وفي نظريات الحقول الكمومية، تُضيف هذه الحدود حدًا ضربيًا إجماليًا غير ذي صلة لدالة التوزيع ، وبالتالي لا تلعب أي دور أيضًا. فيزيائيًا، يعود ذلك إلى عدم وجود مقياس طاقة مطلق في هذه النظريات، إذ يُمكن دائمًا تغيير طاقة الوضع بثابت اختياري دون تغيير الخصائص الفيزيائية. مع ذلك، في الأنظمة الجاذبية، تُضرب الحدود الثابتة بمحدد المقياس، ما يربطها بالزمكان. وتلعب هذه الحدود دور الثابت الكوني ، مُؤثرةً بشكل مباشر على ديناميكيات النظرية على المستويين الكلاسيكي والكمومي.

غالبًا ما تُعبَّر الحدود متعددة الحدود باستخدام بعض الصيغ المعيارية ، التي تُستخدم لتبسيط قواعد فاينمان المشتقة منها. عادةً ما يُقسَّم الحد على حاصل ضرب مضروب تعدد الحقول . على سبيل المثال، في نظرية تحتوي على حقلين قياسيين حقيقيين، يكون الحد على الصورة التالية:${\displaystyle g\phi ^{n}\varphi ^{m}}$سيتم تقسيم المصطلح على${\displaystyle n!m!}$يتم التمييز بين الجسيمات والجسيمات المضادة في هذا العد، بحيث يكون مصطلح الحقل القياسي المركب على الشكل${\displaystyle g'{\bar {\phi }}^{p}\phi ^{p}}$يقسم على${\displaystyle p!p!}$بدلاً من${\displaystyle (2p)!}$.

كثافة لاغرانج للجاذبية النيوتونية هي:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ حيث Φ هو الجهد التثاقلي ، وρ هي كثافة الكتلة، و G بوحدة م³ ^· كغ⁻¹ ^· ث⁻² ^هو ثابت الجاذبية . الكثافة${\displaystyle {\mathcal {L}}}$وحداتها هي جول/م³ ^. هنا، يتضمن حد التفاعل كثافة كتلة مستمرة ρ بوحدة كجم/م³ ^. هذا ضروري لأن استخدام مصدر نقطي للحقل سيؤدي إلى صعوبات رياضية.

يمكن كتابة هذه الدالة اللاغرانجية على النحو التالي:${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$، مع${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$توفير مصطلح حركي، والتفاعل${\displaystyle V=\rho \Phi }$الحدّ الكامن. انظر أيضًا نظرية نوردستروم للجاذبية لمعرفة كيفية تعديلها للتعامل مع التغيرات عبر الزمن. يُعاد استخدام هذا الشكل في المثال التالي لنظرية المجال القياسي.

يكون تغير التكامل بالنسبة إلى Φ كما يلي: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

بعد إجراء التكامل بالتجزئة، وإهمال التكامل الكلي، والقسمة على δ Φ، تصبح الصيغة كالتالي: $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ وهو ما يعادل: $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ مما ينتج عنه قانون جاوس للجاذبية .

لاغرانجيان حقل قياسي يتحرك في جهد${\displaystyle V(\phi )}$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$ ليس من قبيل المصادفة على الإطلاق أن تشبه النظرية العددية نظرية لاغرانج في كتاب الطالب الجامعي${\displaystyle L=T-V}$بالنسبة للحد الحركي لجزيء نقطي حر مكتوب على النحو التالي${\displaystyle T=mv^{2}/2}$تُعدّ النظرية العددية تعميمًا لنظرية المجال لحركة جسيم في مجال كموني. عندما${\displaystyle V(\phi )}$إذا كان هذا هو جهد القبعة المكسيكية ، فإن الحقول الناتجة تسمى حقول هيغز .

يصف نموذج سيجما حركة جسيم نقطي قياسي مقيد بالحركة على سطح ريماني ، مثل دائرة أو كرة. وهو يعمم حالة الحقول القياسية والمتجهة، أي الحقول المقيدة بالحركة على سطح مستوٍ. ويُكتب لاغرانجيان عادةً بإحدى الصيغ الثلاث المتكافئة التالية: $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$ حيث${\displaystyle \mathrm {d} }$هو التفاضل . والتعبير المكافئ هو $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$ مع${\displaystyle g_{ij}}$المقياس الريماني على مشعب الحقل؛ أي الحقول${\displaystyle \phi _{i}}$هي مجرد إحداثيات محلية على مخطط إحداثيات المتشعب. وهناك شكل شائع ثالث هو $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$ مع $${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$ و${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$، زمرة لي SU(N) . يمكن استبدال هذه الزمرة بأي زمرة لي أخرى، أو بشكل أعم، بفضاء متناظر . الأثر هو ببساطة شكل كيلينغ مخفيًا؛ يوفر شكل كيلينغ شكلًا تربيعيًا على مشعب الحقل، وبالتالي فإن لاغرانجيان هو مجرد سحب عكسي لهذا الشكل. بدلاً من ذلك، يمكن أيضًا اعتبار لاغرانجيان بمثابة سحب عكسي لشكل ماورر-كارتان إلى الزمكان الأساسي.

بشكل عام، تُظهر نماذج سيجما حلولاً طوبولوجية من نوع السوليتون . وأشهر هذه النماذج وأكثرها دراسة هو السكيرميون ، الذي يُعد نموذجاً للنيوكليون صمد أمام اختبار الزمن.

لنفترض جسيمًا نقطيًا، جسيمًا مشحونًا، يتفاعل مع المجال الكهرومغناطيسي . حدود التفاعل $${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$ يتم استبدالها بمصطلحات تتضمن كثافة شحنة مستمرة ρ بوحدة أمبير·ثانية·متر⁻³ ^وكثافة تيار${\displaystyle \mathbf {j} }$بوحدة أمبير متر ^مربع . كثافة لاغرانج الناتجة للمجال الكهرومغناطيسي هي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

بتغيير هذا بالنسبة إلى ϕ ، نحصل على $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$ مما ينتج عنه قانون جاوس .

بدلاً من ذلك، تختلف فيما يتعلق بـ${\displaystyle \mathbf {A} }$، نحصل $${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$ مما يؤدي إلى قانون أمبير .

باستخدام ترميز الموتر ، يمكننا كتابة كل هذا بشكل أكثر إيجازًا. المصطلح${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$هو في الواقع حاصل الضرب الداخلي لمتجهين رباعيين . نُضمّن كثافة الشحنة في المتجه الرباعي للتيار، والجهد في المتجه الرباعي للجهد. هذان المتجهان الجديدان هما $${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$ يمكننا بعد ذلك كتابة مصطلح التفاعل على النحو التالي: $${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$ بالإضافة إلى ذلك، يمكننا تجميع المجالين الكهربائي والمغناطيسي فيما يُعرف باسم موتر الكهرومغناطيسية${\displaystyle F_{\mu \nu }}$نُعرّف هذا الموتر على النحو التالي: $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$ اتضح أن المصطلح الذي نبحث عنه هو $${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$ استخدمنا مقياس مينكوفسكي لرفع مؤشرات موتر القوة الدافعة الكهربائية. في هذه الصيغة، تكون معادلات ماكسويل كما يلي: $${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$ حيث ε هو موتر ليفي-تشيفيتا . لذا فإن كثافة لاغرانج للكهرومغناطيسية في النسبية الخاصة، مكتوبة بدلالة متجهات وموترات لورنتز، هي $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$ في هذا الترميز، يتضح أن الكهرومغناطيسية الكلاسيكية نظرية ثابتة لورنتز. وبموجب مبدأ التكافؤ ، يصبح من السهل توسيع مفهوم الكهرومغناطيسية ليشمل الزمكان المنحني. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

باستخدام الصيغ التفاضلية ، الفعل الكهرومغناطيسي S في الفراغ على مشعب (شبه) ريماني${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يمكن كتابتها (باستخدام الوحدات الطبيعية ، c = ε ₀ = 1 ) على النحو التالي $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$ هنا، يرمز A إلى الجهد الكهرومغناطيسي من الدرجة الأولى، و J إلى التيار من الدرجة الأولى، وF إلى شدة المجال من الدرجة الثانية، وتشير النجمة إلى مؤثر هودج النجمي . هذا هو نفس لاغرانجيان القسم السابق تمامًا، باستثناء أن المعالجة هنا لا تعتمد على الإحداثيات؛ إذ يؤدي توسيع التكامل إلى أساس إلى نفس التعبير الطويل. لاحظ أنه مع الأشكال، لا يلزم مقياس تكامل إضافي لأن الأشكال تتضمن تفاضلات إحداثية. يؤدي تغيير الفعل إلى $${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$ هذه معادلات ماكسويل للجهد الكهرومغناطيسي. وبالتعويض عن F = dA نحصل مباشرة على معادلة المجالات. $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$ لأن F هي صيغة دقيقة .

يمكن فهم المجال A على أنه اتصال أفيني على حزمة ألياف U (1) . أي أن الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، بكل تأثيراتها ومعادلاتها، يمكن فهمها بالكامل من خلال حزمة دائرية فوق فضاء مينكوفسكي .

يمكن كتابة معادلات يانغ -ميلز بنفس الشكل المذكور أعلاه تمامًا، وذلك باستبدال زمرة لي U(1) للكهرومغناطيسية بزمرة لي اختيارية. في النموذج القياسي ، يُفترض عادةً أن تكون${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$على الرغم من أن الحالة العامة ذات أهمية عامة، إلا أنه في جميع الحالات، لا حاجة لإجراء أي تكميم. مع أن معادلات يانغ-ميلز متجذرة تاريخيًا في نظرية الحقل الكمومي، فإن المعادلات المذكورة أعلاه كلاسيكية بحتة. ^{[ 2 ]}

على غرار ما سبق، يمكن دراسة الفعل في بُعد أقل، أي في إطار هندسة التلامس . وهذا يُعطي دالة تشيرن-سيمونز ، والتي تُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

تم استكشاف نظرية تشيرن-سيمونز بعمق في الفيزياء، كنموذج مبسط لمجموعة واسعة من الظواهر الهندسية التي يمكن توقع وجودها في نظرية التوحيد الكبرى .

تجمع كثافة لاغرانج لنظرية جينزبورغ-لانداو بين لاغرانج لنظرية الحقل القياسي ولاغرانج لفعل يانغ-ميلز . ويمكن كتابتها على النحو التالي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$ أين${\displaystyle \psi }$هو جزء من حزمة متجهة ذات ألياف${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. ال${\displaystyle \psi }$يتوافق مع معامل الترتيب في الموصل الفائق ؛ أو بشكل مكافئ، يتوافق مع حقل هيغز ، بعد ملاحظة أن الحد الثاني هو جهد "قبعة سومبريرو" الشهير .${\displaystyle A}$هو حقل القياس (غير الأبلي)، أي حقل يانغ-ميلز و${\displaystyle F}$هي شدة مجالها. معادلات أويلر-لاغرانج للدالة غينزبورغ-لانداو هي معادلات يانغ-ميلز.$${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$ و $${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$ أين${\displaystyle {\star }}$هو مؤثر هودج النجمي ، أي الموتر المتناظر تمامًا. ترتبط هذه المعادلات ارتباطًا وثيقًا بمعادلات يانغ-ميلز-هيغز . ويوجد لاغرانجيان آخر وثيق الصلة في نظرية سيبرغ-ويتن .

كثافة لاغرانج لحقل ديراك هي: ^{[ 10 ] : 143}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$ أين${\displaystyle \psi }$هو سبينور ديراك ،${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$وهو المرافق الديراكي الخاص به ، و${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$رمز فاينمان المائل هو${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$ لا توجد حاجة ماسة للتركيز على سبينورات ديراك في النظرية الكلاسيكية. توفر سبينورات فايل أساسًا أكثر عمومية؛ إذ يمكن بناؤها مباشرةً من جبر كليفورد للزمكان؛ ويعمل هذا البناء في أي عدد من الأبعاد، ^{[ 11 ]} وتظهر سبينورات ديراك كحالة خاصة . تتميز سبينورات فايل بميزة إضافية تتمثل في إمكانية استخدامها في إطار متعدد الأبعاد للمقياس على مشعب ريماني؛ وهذا يُتيح مفهوم بنية الدوران ، والتي تُعدّ، باختصار، طريقة لصياغة السبينورات بشكل متسق في زمكان منحني.

تجمع كثافة لاغرانج في الديناميكا الكهربائية الكمية بين لاغرانج حقل ديراك ولاغرانج الديناميكا الكهربائية بطريقة ثابتة القياس. وهي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$ أين${\displaystyle F^{\mu \nu }}$يمثل الموتر الكهرومغناطيسي ، وD هو المشتق المتغير للمقياس ، و${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$تدوين فاينمان لـ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$مع${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$أين${\displaystyle A_{\sigma }}$هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي . على الرغم من ظهور كلمة "كم" أعلاه، إلا أنها أثر تاريخي. لا يتطلب تعريف حقل ديراك أي تكميم على الإطلاق، إذ يمكن كتابته كحقل كلاسيكي بحت من سبينورات فايل المضادة للتبادل، مُنشأ من مبادئ أولية من جبر كليفورد . ^{[ 11 ]} ترد الصيغة الكلاسيكية الكاملة الثابتة تحت المقياس في بليكر. ^{[ 2 ]}

تجمع كثافة لاغرانج في الديناميكا اللونية الكمومية بين لاغرانج واحد أو أكثر من سبينورات ديراك الضخمة ولاغرانج فعل يانغ-ميلز ، الذي يصف ديناميكيات حقل قياس؛ ولاغرانج المدمج ثابت تحت تأثير القياس. ويمكن كتابته على النحو التالي: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$ حيث D هي المشتقة المتغيرة للمقياس في نظرية الكروموديناميكا الكمية ، و n = 1، 2، ...، 6 تمثل أنواع الكواركات ، و${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$هو موتر شدة مجال الغلوون . وكما هو الحال في الديناميكا الكهربائية المذكورة أعلاه، فإن ظهور كلمة "كم" هنا إنما هو إقرار بتطورها التاريخي. ويمكن صياغة ومعالجة لاغرانجيان وثباته القياسي بطريقة كلاسيكية بحتة. ^{[ 2 ] [ 11 ]}

كثافة لاغرانج للنسبية العامة في وجود حقول المادة هي $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$ أين${\displaystyle \Lambda }$هو الثابت الكوني ،${\displaystyle R}$هو مقياس الانحناء ، وهو عبارة عن موتر ريتشي مضروبًا في موتر القياس ، وموتر ريتشي هو موتر ريمان مضروبًا في دالة كرونكر دلتا . تكامل${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$يُعرف هذا باسم فعل أينشتاين-هيلبرت . موتر ريمان هو موتر قوة المد والجزر ، ويُبنى من رموز كريستوفيل ومشتقاتها، التي تُحدد اتصال المقياس على الزمكان. تاريخيًا، نُسب مجال الجاذبية نفسه إلى موتر المقياس؛ أما الرأي الحديث فيرى أن هذا الاتصال "أكثر جوهرية". ويعود ذلك إلى فهم إمكانية كتابة اتصالات ذات التواء غير صفري . تُغير هذه الاتصالات المقياس دون تغيير الهندسة قيد أنملة. أما بالنسبة إلى "الاتجاه الذي تشير إليه الجاذبية" (على سبيل المثال، على سطح الأرض، تشير إلى الأسفل)، فهذا يأتي من موتر ريمان: فهو الذي يصف "مجال قوة الجاذبية" الذي تشعر به الأجسام المتحركة وتتفاعل معه. (يجب توضيح هذه العبارة الأخيرة: لا يوجد "مجال قوة" بحد ذاته ؛ فالأجسام المتحركة تتبع الخطوط الجيوديسية على الفضاء المتعدد الذي يصفه الاتصال. إنها تتحرك في " خط مستقيم ").

يمكن كتابة لاغرانجيان النسبية العامة بصيغة تجعله مشابهًا بشكل واضح لمعادلات يانغ-ميلز. يُعرف هذا بمبدأ فعل أينشتاين-يانغ-ميلز. ويتم ذلك بملاحظة أن معظم الهندسة التفاضلية تعمل بشكل جيد على الحزم ذات الاتصال الأفيني ومجموعة لي اختيارية. ثم، بتعويض SO(3,1) لمجموعة التناظر هذه، أي لحقول الإطار ، نحصل على المعادلات المذكورة أعلاه. ^{[ 2 ] [ 11 ]}

بإدخال دالة لاغرانج هذه في معادلة أويلر-لاغرانج وأخذ موتر القياس${\displaystyle g_{\mu \nu }}$وباعتباره المجال، نحصل على معادلات مجال أينشتاين$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$هو موتر الطاقة والزخم ، ويُعرَّف بواسطة $${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$ أين${\displaystyle g}$هو محدد موتر القياس عند اعتباره مصفوفة. عمومًا، في النسبية العامة، يكون مقياس التكامل لفعل كثافة لاغرانج هو${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$هذا يجعل الإحداثي التكاملي مستقلاً، لأن جذر محدد المقياس يكافئ محدد جاكوبي . الإشارة السالبة هي نتيجة لتوقيع المقياس (المحدد بحد ذاته سالب). ^{[ 7 ]} هذا مثال على شكل الحجم ، الذي نوقش سابقًا، والذي يتجلى في الزمكان غير المسطح.

تحتوي كثافة لاغرانج للكهرومغناطيسية في النسبية العامة أيضًا على فعل أينشتاين-هيلبرت من الأعلى. إن لاغرانجيان الكهرومغناطيسي الخالص هو تحديدًا لاغرانجيان المادة${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$. لاغرانجيان هو $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

يتم الحصول على هذه الدالة اللاغرانجية ببساطة عن طريق استبدال مقياس مينكوفسكي في الدالة اللاغرانجية المسطحة المذكورة أعلاه بمقياس أكثر عمومية (ربما منحني).${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$يمكننا توليد معادلات أينشتاين للمجال في وجود مجال كهرومغناطيسي باستخدام هذا اللاغرانجي. موتر الطاقة-الزخم هو $${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ يمكن إثبات أن موتر الطاقة والزخم هذا عديم الأثر، أي أن $${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$ إذا أخذنا أثر طرفي معادلات أينشتاين للمجال، فسنحصل على $${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$ لذا فإن انعدام أثر موتر الطاقة والزخم يعني أن كمية الانحناء القياسية في المجال الكهرومغناطيسي تتلاشى. وتكون معادلات أينشتاين عندئذٍ $${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ بالإضافة إلى ذلك، فإن معادلات ماكسويل هي $${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$ أين${\displaystyle D_{\mu }}$هي المشتقة المتغيرة . بالنسبة للفضاء الحر، يمكننا جعل موتر التيار مساوياً للصفر.${\displaystyle j^{\mu }=0}$يؤدي حل معادلات أينشتاين وماكسويل حول توزيع كتلة متناظر كرويًا في الفضاء الحر إلى الثقب الأسود المشحون لريسنر-نوردستروم ، مع عنصر الخط المحدد (مكتوب بالوحدات الطبيعية ومع الشحنة Q ): ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

إحدى الطرق الممكنة لتوحيد لاغرانجيات الكهرومغناطيسية والجاذبية (باستخدام بُعد خامس) هي نظرية كالوزا-كلاين . ^{[ 2 ]} عمليًا، يتم إنشاء حزمة خطية، كما هو الحال في معادلات يانغ-ميلز المذكورة سابقًا، ثم يُدرس التأثير بشكل منفصل على الأجزاء رباعية الأبعاد وأحادية الأبعاد. وقد ساهمت هذه التحليلات ، مثل إمكانية كتابة الكرة السباعية كحاصل ضرب الكرة الرباعية الأبعاد والكرة الثلاثية الأبعاد، أو كون الكرة الأحد عشرية الأبعاد ناتج ضرب الكرة الرباعية الأبعاد والكرة السباعية الأبعاد، في الكثير من الحماس المبكر لاكتشاف نظرية شاملة . لكن لسوء الحظ، لم تكن الكرة السباعية الأبعاد كبيرة بما يكفي لاحتواء النموذج القياسي بأكمله ، مما بدد هذه الآمال.

• يصف نموذج لاغرانجيان BF ، اختصارًا لـ "حقل الخلفية"، نظامًا ذا ديناميكيات بسيطة عند كتابته على فضاء-زمن مسطح. أما على فضاء-زمن غير بسيط طوبولوجيًا، فسيكون للنظام حلول كلاسيكية غير بسيطة، يمكن تفسيرها على أنها سوليتونات أو لحظات . وتوجد امتدادات متنوعة لهذا النموذج، تُشكل أساس نظريات الحقول الطوبولوجية .