مشعب فرعي

مشعب فرعي مغمور من مشعب${\displaystyle M}$هذه هي الصورة${\displaystyle S}$خريطة غامرة​${\displaystyle f:N\rightarrow M}$بشكل عام، لن تكون هذه الصورة متعددة الشعب الفرعية كمجموعة جزئية، ولا يلزم أن تكون خريطة الغمر أحادية (واحد لواحد) - يمكن أن تحتوي على تقاطعات ذاتية. ^{[ 1 ]}

وبشكل أدق، يمكن للمرء أن يشترط أن تكون الخريطة${\displaystyle f:N\rightarrow M}$لنفترض أنها عملية حقن (واحد لواحد)، حيث نسميها غمرًا حقنيًا ، ونعرف الفضاء الفرعي المغمور بأنه مجموعة الصور الفرعية${\displaystyle S}$بالإضافة إلى بنية طوبولوجية وتفاضلية بحيث${\displaystyle S}$هو متعدد الأوجه والتضمين${\displaystyle f}$هو تماثل تفاضلي : هذه مجرد طوبولوجيا على${\displaystyle N}$، وهو ما لا يتوافق عمومًا مع طوبولوجيا المجموعة الجزئية: بشكل عام المجموعة الجزئية${\displaystyle S}$ليس متعدد الشعب الفرعي لـ${\displaystyle M}$، في طوبولوجيا المجموعات الفرعية.

بالنظر إلى أي غمر حقني${\displaystyle f:N\rightarrow M}$صورة​​${\displaystyle N}$في${\displaystyle M}$يمكن تحديدها بشكل فريد من خلال بنية مشعب فرعي مغمور بحيث${\displaystyle f:N\rightarrow f(N)}$هو تماثل تفاضلي . ويترتب على ذلك أن الفضاءات الفرعية المغمورة هي بالضبط صور الغمر الحقني.

لا يشترط أن تكون طوبولوجيا الفضاء الفرعي على فضاء فرعي مغمور هي طوبولوجيا الفضاء الفرعي الموروثة من${\displaystyle M}$. بشكل عام، سيكون أدق من طوبولوجيا الفضاء الجزئي (أي يحتوي على مجموعات مفتوحة أكثر ).

تظهر الفضاءات الفرعية المغمورة في نظرية زمر لي، حيث تُعدّ زمر لي الفرعية فضاءات فرعية مغمورة بطبيعتها. كما تظهر أيضًا في دراسة التوريقات ، حيث توفر الفضاءات الفرعية المغمورة السياق المناسب لإثبات نظرية فروبينيوس .

الفضاء الفرعي المضمن (ويسمى أيضًا الفضاء الفرعي المنتظم ) هو فضاء فرعي مغمور تكون فيه خريطة التضمين عبارة عن تضمين طوبولوجي . أي أن طوبولوجيا الفضاء الفرعي على${\displaystyle S}$هو نفسه طوبولوجيا الفضاء الفرعي.

مع مراعاة أي تضمين${\displaystyle f:N\rightarrow M}$من مشعب${\displaystyle N}$في${\displaystyle M}$الصورة${\displaystyle f(N)}$تتمتع بطبيعتها ببنية فضاء فرعي مضمن. أي أن الفضاءات الفرعية المضمنة هي صور دقيقة للتضمينات.

يوجد تعريف جوهري للمتشعب الفرعي المضمن، وهو تعريف مفيد في كثير من الأحيان. ليكن${\displaystyle M}$كن${\displaystyle n}$مشعب ذو أبعاد n، ولتكن${\displaystyle k}$ليكن عددًا صحيحًا بحيث${\displaystyle 0\leq k\leq n}$أ.${\displaystyle k}$مشعب فرعي مضمن ذو أبعاد n من${\displaystyle M}$هي مجموعة جزئية${\displaystyle S\subset M}$بحيث يكون لكل نقطة${\displaystyle p\in S}$يوجد مخطط${\displaystyle U\subset M,\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$يحتوي على${\displaystyle p}$بحيث${\displaystyle \varphi (S\cap U)}$هو تقاطع${\displaystyle k}$مستوى ذو أبعاد${\displaystyle \varphi (U)}$الأزواج${\displaystyle (S\cap U,\varphi \vert _{S\cap U})}$تشكيل أطلس للبنية التفاضلية على${\displaystyle S}$.

تُعد نظرية ألكسندر ونظرية جوردان-شونفليس أمثلة جيدة على التضمينات السلسة.

توجد بعض الصيغ الأخرى للمتشعبات الفرعية المستخدمة في الأدبيات. المتشعب الفرعي المنتظم هو متشعب تتطابق حدوده مع حدود المتشعب الكلي. ^{[ 2 ]} يُعرّف شارب (1997) نوعًا من المتشعبات الفرعية يقع بين المتشعب الفرعي المُضمّن والمتشعب الفرعي المُغمور.

يُعرّف العديد من المؤلفين أيضًا الفضاءات الفرعية الطوبولوجية. وهي نفسها${\displaystyle C^{r}}$المشعبات الفرعية مع${\displaystyle r=0}$[ ^{3 ]} لا يكون الفضاء الفرعي الطوبولوجي المضمن منتظمًا بالضرورة بمعنى وجود مخطط محلي عند كل نقطة يمتد من التضمين. ومن الأمثلة المضادة على ^ذلك الأقواس والعقد الجامحة .