الكتلة المضافة

في ميكانيكا الموائع ، تُعرف الكتلة المضافة أو الكتلة الافتراضية بالقصور الذاتي الذي يُضاف إلى النظام لأن الجسم المتسارع أو المتباطئ يجب أن يُحرك (أو يُغير) حجمًا من المائع المحيط به أثناء حركته فيه. تُعد الكتلة المضافة مشكلة شائعة لأن الجسم والمائع المحيط به لا يمكنهما شغل نفس الحيز المادي في آن واحد. ولتبسيط الأمر، يمكن نمذجة ذلك على أنه حجم من المائع يتحرك مع الجسم، مع العلم أنه في الواقع سيتسارع "كل" المائع بدرجات متفاوتة.

معامل الكتلة المضافة عديم الأبعاد هو الكتلة المضافة مقسومة على كتلة السائل المزاح، أي مقسومة على كثافة السائل مضروبة في حجم الجسم. وبشكل عام، تُعد الكتلة المضافة موترًا من الدرجة الثانية ، يربط متجه تسارع السائل بمتجه القوة الناتج المؤثر على الجسم. ^{[ 1 ]}

اقترح فريدريك فيلهلم بيسل مفهوم الكتلة المضافة عام 1828 لوصف حركة البندول في سائل. وقد ازداد زمن دورة هذا البندول مقارنةً بزمن دورته في الفراغ (حتى بعد مراعاة تأثيرات الطفو )، مما يشير إلى أن السائل المحيط يزيد من الكتلة الفعالة للنظام. ^{[ 2 ]}

يُعدّ مفهوم الكتلة المضافة، بلا شك، أول مثال على إعادة التطبيع في الفيزياء. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} ويمكن اعتبار هذا المفهوم نظيرًا في الفيزياء الكلاسيكية لمفهوم الجسيمات شبه الحقيقية في ميكانيكا الكم . مع ذلك، لا ينبغي الخلط بينه وبين زيادة الكتلة النسبية .

كثيراً ما يُقال خطأً أن الكتلة المضافة تُحدد بزخم المائع. ويتضح عدم صحة ذلك عند النظر في حالة المائع داخل صندوق كبير، حيث يكون زخم المائع صفراً تماماً في كل لحظة. في الواقع، تُحدد الكتلة المضافة بالزخم شبه الحقيقي: فالكتلة المضافة مضروبة في تسارع الجسم تساوي المشتق الزمني للزخم شبه الحقيقي للمائع. ^{[ 4 ]}

يمكن تقسيم القوى غير المستقرة الناتجة عن تغير السرعة النسبية لجسم مغمور في سائل إلى جزأين: تأثير الكتلة الظاهرية وقوة باسيت .

يكمن أصل هذه القوة في أن السائل سيكتسب طاقة حركية على حساب العمل الذي يقوم به جسم مغمور متسارع.

يمكن إثبات أن قوة الكتلة الافتراضية، بالنسبة لجزيء كروي مغمور في سائل غير لزج وغير قابل للانضغاط، هي ^{[ 6 ]}

$// ر}}\يمين)،}$

حيث تشير الرموز الغامقة إلى المتجهات،${\displaystyle \mathbf {u} }$هي سرعة تدفق السائل ،${\displaystyle \mathbf {v} }$هي سرعة الجسيم الكروي ،${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }}$هي كثافة كتلة السائل (الطور المستمر) ،${\displaystyle V_{\mathrm {p} }}$يمثل حجم الجسيم، و D/D t يشير إلى المشتق المادي .

يتضح أصل مفهوم "الكتلة الافتراضية" عندما نلقي نظرة على معادلة الزخم للجسيم.

$// {u} {\mathrm {D} t}} - {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)،}$

أين${\displaystyle \sum \mathbf {F} }$هو مجموع جميع حدود القوة الأخرى المؤثرة على الجسيم، مثل الجاذبية ، وتدرج الضغط ، والسحب ، والرفع ، وقوة باسيت ، وما إلى ذلك.

بنقل مشتقة سرعة الجسيم من الجانب الأيمن للمعادلة إلى الجانب الأيسر، نحصل على

${\displaystyle \left(m_{\mathrm {p}}+{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\right){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} {\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _ {\mathrm {c}}V_{\mathrm {p} }}{2}}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}},}$

لذا فإن الجسيم يتسارع كما لو كان لديه كتلة إضافية تساوي نصف كتلة السائل الذي يزيحه، وهناك أيضًا مساهمة قوة إضافية على الجانب الأيمن بسبب تسارع السائل.

يمكن إدخال الكتلة المضافة في معظم المعادلات الفيزيائية من خلال اعتبار الكتلة الفعالة مجموع الكتلة والكتلة المضافة. ويُعرف هذا المجموع عادةً باسم "الكتلة الافتراضية".

يُتيح التعبير البسيط عن الكتلة المضافة لجسم كروي كتابة قانون نيوتن الثاني الكلاسيكي على النحو التالي:

${\displaystyle F=m\,a}$ يصبح ${\displaystyle F=(m+m_{\text{added}})\,a.}$

يمكن إثبات أن الكتلة المضافة للكرة (نصف قطرها${\displaystyle r}$) يكون${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{fluid}}}$وهي نصف حجم الكرة مضروبًا في كثافة السائل. بالنسبة لجسم عام، تصبح الكتلة المضافة موترًا (يُشار إليه باسم موتر الكتلة المستحثة)، وتعتمد مركباته على اتجاه حركة الجسم. لا تمتلك جميع عناصر موتر الكتلة المضافة بُعد الكتلة، فبعضها يكون الكتلة  ×  الطول، وبعضها الآخر يكون الكتلة  × ^مربع  الطول .

تتأثر جميع الأجسام المتسارعة في سائل بالكتلة المضافة، ولكن نظرًا لأن هذه الكتلة تعتمد على كثافة السائل، غالبًا ما يُهمل تأثيرها على الأجسام الكثيفة الساقطة في سوائل أقل كثافة. أما في الحالات التي تكون فيها كثافة السائل مساوية أو أكبر من كثافة الجسم، فقد تكون الكتلة المضافة أكبر من كتلة الجسم، وإهمالها قد يُدخل أخطاءً كبيرة في الحسابات.

فعلى سبيل المثال، تبلغ كتلة فقاعة هواء كروية تصعد في الماء 10 ...${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{air}}}$لكن كتلة إضافية من${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{water}}.}$بما أن الماء أكثر كثافة من الهواء بحوالي 800 مرة (عند درجة حرارة الغرفة )، فإن الكتلة المضافة في هذه الحالة تبلغ حوالي 400 ضعف كتلة الفقاعة.

• قوة باسيت لوصف تأثير تاريخ الحركة النسبية للجسم على قوى اللزوجة في تدفق ستوكس
• معادلة باسيت-بوسينسك-أوسين لوصف حركة جسيم يتحرك في تدفق غير مستقر عند أرقام رينولدز المنخفضة، والقوى المؤثرة عليه.
• الانجراف الدارويني للعلاقة بين الكتلة المضافة وحجم الانجراف الدارويني
• رقم كيوليجان-كاربنتر هو معامل لا بُعدي يُعطي الأهمية النسبية لقوة السحب مقارنةً بالقصور الذاتي في تحميل الأمواج
• معادلة موريسون لنموذج قوة تجريبي في تحميل الأمواج، تتضمن الكتلة المضافة والسحب
• مُعامل سعة الاستجابة لاستخدام الكتلة المضافة في تصميم السفن

• موارد معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا التعليمية المفتوحة
• مختبر الهندسة المدنية البحرية
• Det Norske Veritas DNV-RP-H103 نمذجة وتحليل العمليات البحرية ، مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في Wayback Machine