معادلة موريسون

في تدفق متذبذب بسرعة تدفق${\displaystyle u(t)}$، تعطي معادلة موريسون القوة المضمنة الموازية لاتجاه التدفق: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle F\,=\,\underbrace {\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} _{F_{I}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|} _{F_{D}},}$

أين

• ${\displaystyle F(t)}$هي القوة الكلية المؤثرة على الجسم في خط مستقيم،
• ${\displaystyle {\dot {u}}\equiv {\text{d}}u/{\text{d}}t}$يمثل تسارع التدفق، أي المشتق الزمني لسرعة التدفق.${\displaystyle u(t),}$
• قوة القصور الذاتي${\displaystyle F_{I}\,=\,\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}}$، هو مجموع قوة فرود-كريلوف${\displaystyle \rho \,V\,{\dot {u}}}$وقوة الكتلة الهيدروديناميكية${\displaystyle \rho \,C_{a}\,V\,{\dot {u}},}$
• قوة السحب${\displaystyle F_{D}\,=\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|}$وفقًا لمعادلة السحب ،
• ${\displaystyle C_{m}=1+C_{a}}$هو معامل القصور الذاتي، و${\displaystyle C_{a}}$معامل الكتلة المضافة ،
• A هي منطقة مرجعية، على سبيل المثال مساحة المقطع العرضي للجسم العمودي على اتجاه التدفق،
• V هو حجم الجسم.

فعلى سبيل المثال، بالنسبة لأسطوانة دائرية قطرها D في تدفق تذبذبي، تكون مساحة المرجع لكل وحدة طول أسطوانة هي${\displaystyle A=D}$وحجم الأسطوانة لكل وحدة طول أسطوانة هو${\displaystyle V={\scriptstyle {\frac {1}{4}}}\pi {D^{2}}}$. نتيجة ل،${\displaystyle F(t)}$هي القوة الكلية لكل وحدة طول أسطوانة:

${\displaystyle F\,=\,C_{m}\,\rho \,{\frac {\pi }{4}}D^{2}\,{\dot {u}}\,+\,C_{d}\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,D\,u\,|u|.}$

إلى جانب القوة المؤثرة في اتجاه التدفق، توجد أيضًا قوى رفع تذبذبية عمودية على اتجاه التدفق، ناتجة عن انفصال الدوامات . هذه القوى لا يشملها قانون موريسون، الذي يقتصر على القوى المؤثرة في اتجاه التدفق فقط.

وفي حال تحرك الجسم أيضاً، بسرعة${\displaystyle v(t)}$تصبح معادلة موريسون كما يلي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle F=\underbrace {\rho \,V{\dot {u}}} _{a}+\underbrace {\rho \,C_{a}V\left({\dot {u}}-{\dot {v}}\right)} _{b}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\rho \,C_{d}A\left(uv\right)\left|uv\right|} _{c}.}$

حيث تكون مساهمات القوة الإجمالية كالتالي:

• أ : قوة فرود-كريلوف ، الناتجة عن تدرج الضغط عند موضع الجسم بسبب تسارع السائل${\displaystyle {\dot {u}}}$،
• ب : قوة الكتلة الهيدروديناميكية،
• ج : قوة السحب .

لاحظ أن معامل الكتلة المضافة${\displaystyle C_{a}}$يرتبط بمعامل القصور الذاتي${\displaystyle C_{m}}$مثل${\displaystyle C_{m}=1+C_{a}}$.