معادلة السحب

بما أن الهواء غاز وبالتالي سائل (بالمعنى الفيزيائي) يمكننا اشتقاق معادلة السحب باستخدام معادلة برنولي ومعادلة الضغط الأساسية .

${\displaystyle P={\frac {D}{A}}\Rightarrow D=PA}$

من معادلة برنولي${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h}$

اجمع هاتين المعادلتين وستحصل على${\displaystyle D=({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h)A}$

ثم أدخل معامل السحب${\displaystyle C}$والذي يأخذ في الاعتبار معايير أخرى أيضًا، وقد تم التوصل إليه تجريبيًا أيضًا.

${\displaystyle D=({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h)AC}$ وبذلك تحصل على معادلة مقاومة الهواء. لكن قد تلاحظ أنها تختلف عن المعادلة التي عرضتها أعلاه، وهذا صحيح بالفعل. فهذه المعادلة تحتوي على جزء إضافي:${\displaystyle +\rho g\Del h}$وذلك لأن فرق الارتفاع ∆h يتم تجاهله عادة، لأنه يقال إنه صغير بالنسبة لما يعطينا إياه الجزء الآخر من المعادلة.

عندها يمكننا الحصول على معادلة كهذه:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}C\rho Av^{2}}$

أين:

• ${\displaystyle D}$هي مقدار قوة السحب التي يؤثر بها السائل على الجسم المتحرك بالنسبة للسائل
• ${\displaystyle C}$معامل السحب
• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل
• ${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي للجسم الذي يتحرك بالنسبة للسائل
• ${\displaystyle v}$يمثل مقدار السرعة النسبية بين الجسم والسائل. هذه إحدى طرق اشتقاق معادلة يمكننا من خلالها حساب القوة التي يؤثر بها السائل على جسم يتحرك بالنسبة له.

يمكن اشتقاق معادلة السحب بدقة تصل إلى ثابت ضربي باستخدام طريقة التحليل البُعدي . إذا اصطدم سائل متحرك بجسم ما، فإنه يؤثر عليه بقوة. لنفترض أن السائل سائل، وأن المتغيرات المعنية - في ظل شروط معينة -

• السرعة u ،
• كثافة السائل ρ ،
• اللزوجة الحركية ν للسائل،
• حجم الجسم، معبراً عنه بمساحة سطحه المبلل A ، و
• قوة السحب F _d .

باستخدام خوارزمية نظرية باكنغهام باي ، يمكن اختزال هذه المتغيرات الخمسة إلى مجموعتين بلا أبعاد:

• معامل السحب c و _d
• رقم رينولدز Re.

ويتضح ذلك عندما يتم التعبير عن قوة السحب F _d كجزء من دالة للمتغيرات الأخرى في المسألة:

$${\displaystyle f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.}$$

يُستخدم هذا الشكل التعبيري غير المألوف نوعًا ما لأنه لا يفترض وجود علاقة تناظرية. هنا، f _{_a} دالة (غير معروفة حتى الآن) تأخذ خمسة وسائط. وبما أن الطرف الأيمن يساوي صفرًا في أي نظام وحدات، فمن المفترض أن يكون من الممكن التعبير عن العلاقة التي تصفها f _{_a} بدلالة مجموعات لا بُعدية فقط.

توجد طرق عديدة لدمج الوسائط الخمسة للدالة f _a لتكوين مجموعات لا بُعدية، لكن نظرية باكنغهام π تنص على وجود مجموعتين من هذا النوع. وأكثرها ملاءمة هو عدد رينولدز، المعطى بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}}$$

ومعامل السحب، المعطى بواسطة

$${\displaystyle c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.}$$

وبالتالي، يمكن استبدال الدالة المكونة من خمسة متغيرات بدالة أخرى مكونة من متغيرين فقط:

$${\displaystyle f_{b}\left({\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}},{\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)=0.}$$

حيث f _b دالة ما لمتغيرين. وبذلك، يُختزل القانون الأصلي إلى قانون يتضمن هذين العددين فقط.

بما أن المجهول الوحيد في المعادلة أعلاه هو قوة السحب F _d ، فمن الممكن التعبير عنها على النحو التالي

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}&=f_{c}\left({\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\\F_{\rm {d}}&={\tfrac {1}{2}}\rho Au^{2}f_{c}(\mathrm {Re} )\\c_{\rm {d}}&=f_{c}(\mathrm {Re} )\end{aligned}}}$$

وبالتالي فإن القوة هي ببساطة ⁠ 1 / 2 ⁠ ρ A u ² مضروبة في دالة (غير معروفة حتى الآن) f _c لعدد رينولدز Re - وهو نظام أبسط بكثير من دالة الوسائط الخمسة الأصلية المذكورة أعلاه.

وبالتالي فإن التحليل البُعدي يجعل مشكلة معقدة للغاية (محاولة تحديد سلوك دالة لخمسة متغيرات) مشكلة أبسط بكثير: تحديد السحب كدالة لمتغير واحد فقط، وهو رقم رينولدز.

إذا كان المائع غازًا، فإن بعض خصائص الغاز تؤثر على مقاومة الهواء، ويجب أخذ هذه الخصائص في الحسبان. تُعتبر هذه الخصائص عادةً درجة الحرارة المطلقة للغاز، ونسبة حرارته النوعية. تحدد هاتان الخاصيتان سرعة الصوت في الغاز عند درجة حرارته المحددة. ومن ثم، تُفضي نظرية باكنغهام باي إلى مجموعة ثالثة لا بُعدية، وهي نسبة السرعة النسبية إلى سرعة الصوت، والمعروفة باسم عدد ماخ . وبالتالي، عندما يتحرك جسم ما بالنسبة لغاز، يتغير معامل مقاومة الهواء بتغير عدد ماخ وعدد رينولدز.

يُقدّم التحليل أيضاً معلومات أخرى قيّمة، إذ يُبيّن أنه مع ثبات العوامل الأخرى، تتناسب قوة السحب طردياً مع كثافة السائل. غالباً ما تُثبت هذه المعلومات أهميتها البالغة، لا سيما في المراحل الأولى من أي مشروع بحثي.

لتحديد اعتماد رقم رينولدز تجريبياً، بدلاً من إجراء التجارب على جسم كبير باستخدام سوائل سريعة التدفق (مثل الطائرات بالحجم الطبيعي في أنفاق الرياح )، يمكن إجراء التجارب باستخدام نموذج صغير في تدفق ذي سرعة أعلى، لأن هذين النظامين يحققان تشابهاً في رقم رينولدز. إذا تعذر الحصول على نفس رقم رينولدز ورقم ماخ باستخدام تدفق ذي سرعة أعلى، فقد يكون من المفيد استخدام سائل ذي كثافة أعلى أو لزوجة أقل. ^{[ 5 ]}