مرشح سببي

في معالجة الإشارات ، يُعدّ المرشح السببي نظامًا سببيًا خطيًا ثابتًا مع الزمن . تشير كلمة "سببي" إلى أن خرج المرشح يعتمد فقط على المدخلات الماضية والحالية. أما المرشح الذي يعتمد خرجه جزئيًا أو كليًا على المدخلات المستقبلية فهو غير سببي (أو لا سببي )، بينما المرشح الذي يعتمد خرجه فقط على المدخلات المستقبلية فهو مضاد للسببية . يجب أن تكون الأنظمة (بما فيها المرشحات) القابلة للتحقيق (أي التي تعمل في الزمن الحقيقي ) سببية، لأن هذه الأنظمة لا يمكنها التأثير على مدخلات مستقبلية. وهذا يعني عمليًا أن عينة الخرج هي التي تُمثل المدخلات في الزمن الحالي على أفضل وجه.${\displaystyle t,}$يصدر بعد ذلك بقليل.

تتمثل إحدى الممارسات الشائعة في تصميم المرشحات الرقمية في إنشاء مرشح قابل للتنفيذ عن طريق تقصير و/أو تغيير زمن استجابة نبضية غير سببية. وإذا لزم التقصير، فغالبًا ما يتم ذلك بتعريف الاستجابة النبضية المختصرة على أنها حاصل ضرب الاستجابة النبضية غير السببية في دالة نافذة .

ومن الأمثلة على المرشح المضاد للسببية مرشح الطور الأقصى ، والذي يمكن تعريفه بأنه مرشح مستقر ومضاد للسببية، ويكون معكوسه مستقرًا ومضادًا للسببية أيضًا.

التعريف التالي هو متوسط ​​متحرك أو منزلق لبيانات الإدخال${\displaystyle s(x)\,}$تم حذف عامل ثابت مقداره 1/2 للتبسيط :

${\displaystyle f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

أين${\displaystyle x}$قد يُمثل إحداثية مكانية، كما هو الحال في معالجة الصور. ولكن إذا${\displaystyle x}$يمثل الزمن${\displaystyle (t)\,}$إذاً، فإن المتوسط ​​المتحرك المعرّف بهذه الطريقة يكون غير سببي (ويسمى أيضاً غير قابل للتحقيق )، لأنه${\displaystyle f(t)\,}$يعتمد ذلك على المدخلات المستقبلية، مثل${\displaystyle s(t+1)\,}$الناتج القابل للتحقيق هو

${\displaystyle f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

وهو نسخة متأخرة من الناتج غير القابل للتحقيق.

يمكن وصف أي مرشح خطي (مثل المتوسط ​​المتحرك) بدالة h ( t ) تسمى استجابته النبضية . ويكون خرجها هو عملية الالتفاف.

${\displaystyle f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,}$

وبهذا المعنى، تتطلب السببية

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau }$

والمساواة العامة لهذين التعبيرين تتطلب أن يكون h ( t ) = 0 لجميع قيم t  <  0.

ليكن h ( t ) مرشحًا سببيًا مع تحويل فورييه المناظر H (ω). عرّف الدالة

${\displaystyle g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}}$

وهو غير سببي. من ناحية أخرى، فإن g ( t ) هيرميتية ، وبالتالي فإن تحويل فورييه الخاص بها G (ω) ذو قيم حقيقية. لدينا الآن العلاقة التالية

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

حيث Θ( t ) هي دالة الخطوة الوحدية لهيفسايد .

هذا يعني أن تحويلات فورييه للدالتين h ( t ) و g ( t ) مرتبطة على النحو التالي

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

أين${\displaystyle {\widehat {G}}(\أوميغا )\,}$هو تحويل هيلبرت يتم إجراؤه في مجال التردد (بدلاً من مجال الزمن). إشارة${\displaystyle {\widehat {G}}(\أوميغا )\,}$قد يعتمد ذلك على تعريف تحويل فورييه.

بإجراء تحويل هيلبرت للمعادلة أعلاه، نحصل على هذه العلاقة بين "H" وتحويل هيلبرت الخاص بها:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )}$

• بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (سبتمبر 2007)، وصفات عددية (  الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج، ص  767، ISBN 9780521880688
• رويل (يناير 2009)، تحديد السببية في النظام من خلال استجابته الترددية (ملف PDF) ، MIT OpenCourseWare