مناهضة التماثل

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف التشاكل العكسي (أو التشاكل المضاد ) بين مجموعتين منظمتين A و B بأنه تشاكل من A إلى معكوس B (أو بصورة مكافئة من معكوس A إلى B ). ^{[ 1 ]} إذا وُجد تشاكل عكسي بين بنيتين، يُقال إنهما متشاكلتان عكسيًا.

بشكل بديهي، القول بأن بنيتين رياضيتين متماثلتان عكسياً يعني القول بأنهما متناقضتان بشكل أساسي مع بعضهما البعض.

يُعد هذا المفهوم مفيدًا بشكل خاص في السياق الجبري، كما هو الحال عند تطبيقه على الحلقات .

ليكن A العلاقة الثنائية (أو الرسم البياني الموجه ) التي تتكون من العناصر {1، 2، 3} والعلاقة الثنائية${\displaystyle \rightarrow }$تم تعريفها على النحو التالي:

• ${\displaystyle 1\rightarrow 2,}$
• ${\displaystyle 1\rightarrow 3,}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow 1.}$

ليكن B مجموعة العلاقات الثنائية التي تتكون من العناصر { a , b , c } والعلاقة الثنائية${\displaystyle \Rightarrow }$تم تعريفها على النحو التالي:

• ${\displaystyle b\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Rightarrow b.}$

لاحظ أن معكوس المجموعة B (يرمز له بـ B ^op ) هو نفس مجموعة العناصر ذات العلاقة الثنائية المعاكسة.${\displaystyle \Leftarrow }$(أي عكس جميع أقواس الرسم البياني الموجه):

• ${\displaystyle b\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Leftarrow b.}$

إذا استبدلنا a و b و c بالأرقام 1 و 2 و 3 على التوالي، فسنجد أن كل قاعدة في B ^op هي نفسها قاعدة ما في A. أي أنه يمكننا تعريف تماثل.${\displaystyle \phi }$من أ إلى ب ^بواسطة​${\displaystyle \phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c}$.${\displaystyle \phi }$إذن ، يكون ذلك تماثلاً عكسياً بين A و B.

بتخصيص لغة نظرية الفئات العامة لموضوع الحلقات الجبري، لدينا: لتكن R و S حلقتين، وليكن f : R → S تقابلًا . عندئذٍ يكون f تقابلًا عكسيًا للحلقات ^{[ 2 ]} إذا

${\displaystyle f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{و}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{لكل }}x,y\in R.}$

إذا كان R = S فإن f هو مضاد ذاتي للحلقة .

يُعطى مثال على التماثل العكسي للحلقة من خلال التعيين المترافق للأعداد الرباعية : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .}$

• باير، راينهولد (2005) [1952]، الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية ، دوفر، ISBN 0-486-44565-8
• جاكوبسون، ناثان (1948)، نظرية الحلقات ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-1502-4{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• باريجيس، بودو (1970)، التصنيفات والدوال ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-545150-4