توزيع بنيني

في مجالات الاحتمالات والإحصاء والاقتصاد والعلوم الاكتوارية ، يُعد توزيع بينيني توزيعًا احتماليًا متصلًا، وهو توزيع إحصائي يُستخدم غالبًا لنمذجة الدخول، وشدة المطالبات أو الخسائر في التطبيقات الاكتوارية، وغيرها من البيانات الاقتصادية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يتلاشى ذيل هذا التوزيع أسرع من قانون القوة، ولكنه ليس بنفس سرعة التوزيع الأسي. وقد قدم رودولفو بينيني هذا التوزيع عام 1905. ^{[ 3 ]} وبعد فترة وجيزة من عمل بينيني الأصلي، اكتشف عدد من المؤلفين هذا التوزيع أو ناقشوه بشكل مستقل. ^{[ 4 ]}

توزيع بينيني${\displaystyle \operatorname {Benini} (\alpha ,\beta ,\sigma )}$هو توزيع ذو ثلاثة معلمات، وله دالة توزيع تراكمية (CDF).

${\displaystyle F(x)=1-\exp {\big \{}-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}},}$

أين${\displaystyle x\geq \sigma }$ومعلمات الشكل α و β > 0 و σ > 0 هي معلمة مقياس.

من أجل التبسيط، لم يأخذ بنيني ^{[ 3 ]} في الاعتبار سوى النموذج ذي المعلمتين (مع α = 0)، مع دالة التوزيع التراكمي

${\displaystyle F(x)=1-\exp {\big \{}-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.}$

كثافة نموذج بنيني ذي المعلمتين هي

${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\quad x\geq \sigma >0.}$

يمكن توليد متغير بنيني ذي معلَمَتين باستخدام طريقة التحويل الاحتمالي العكسي . بالنسبة للنموذج ذي المعلمتين، تكون دالة الكمية (دالة التوزيع التراكمي العكسي) هي

${\displaystyle F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.}$

• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Benini} (\alpha ,0,\sigma )}$إذاً، فإن X يتبع توزيع باريتو مع${\displaystyle x_{\text{m}}=\sigma .}$
• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}},1)}$، ثم ${\displaystyle X\sim e^{U}}$، أين ${\displaystyle U\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma ).}$

تم تنفيذ دالة كثافة توزيع بينيني ذات المعلمتين، وتوزيع الاحتمال، ودالة الكمية، ومولد الأرقام العشوائية في حزمة VGAM للغة R ، والتي توفر أيضًا تقدير الاحتمال الأقصى لمعامل الشكل. ^{[ 5 ]}

• توزيع الاحتمال الشرطي
• التوزيع الاحتمالي المشترك
• توزيع شبه الاحتمال
• التوزيع الاحتمالي التجريبي
• الرسم البياني
• تطبيق تكامل ريمان-ستيلتيس على نظرية الاحتمالات

• توزيع بينيني في برنامج Wolfram Mathematica (تعريف ورسم بياني لدالة الكثافة الاحتمالية)