توزيع بوريل

يُعد توزيع بوريل توزيعًا احتماليًا منفصلاً ، يظهر في سياقات تشمل عمليات التفرع ونظرية الطوابير . وقد سُمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي إميل بوريل .

إذا كان عدد النسل الذي ينجبه الكائن الحي يتبع توزيع بواسون ، وكان متوسط ​​عدد النسل لكل كائن حي لا يتجاوز  1، فإن نسل كل فرد سينقرض في نهاية المطاف. ويُعدّ عدد النسل الذي ينجبه الفرد في هذه الحالة متغيرًا عشوائيًا يتبع توزيع بوريل.

يُقال إن المتغير العشوائي المتقطع X يتبع توزيع بوريل  ^{[ 1 ] [ 2 ]} بمعامل μ  ∈  [0,1] إذا كانت دالة الكتلة الاحتمالية لـ X معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle P_{\mu}(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$

بالنسبة لـ n  =  1،  2،  3  ....

إذا كانت عملية التفرع لغالتون-واتسون لها توزيع بواسون للنسل المشترك بمتوسط ​​μ ، فإن العدد الإجمالي للأفراد في عملية التفرع له توزيع بوريل بمعامل μ . 

ليكن X  هو العدد الإجمالي للأفراد في عملية تفرع غالتون-واتسون. عندئذٍ، تُعطي العلاقة بين الحجم الإجمالي لعملية التفرع ووقت الوصول للمسار العشوائي المرتبط بها ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)}$

حيث S _{_n}  = Y _₁ + … + Y _{_n} ، و Y _₁ … Y _{_n} متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، وتوزيعها المشترك هو توزيع النسل لعملية التفرع. في حالة كون هذا التوزيع المشترك توزيع بواسون بمتوسط ​​μ ، فإن المتغير العشوائي S_{_n} يتبع توزيع بواسون بمتوسط ​​μ_n، مما يؤدي إلى دالة الكتلة لتوزيع بوريل المذكورة أعلاه.       

بما أن متوسط ​​حجم الجيل m من عملية التفرع هو μ ^{m  −  1} ، فإن متوسط ​​X  هو

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

في طابور M/D/1 بمعدل وصول μ ووقت خدمة مشترك 1، يكون توزيع فترة الانشغال النموذجية للطابور هو توزيع بوريل مع المعامل μ . ^{[ 6 ]}

إذا كانت _Pμ ( n ) هي دالة الكتلة الاحتمالية لمتغير عشوائي من نوع Borel( μ )، فإن دالة الكتلة P ^* _μ ( n ) لعينة متحيزة الحجم من التوزيع (أي دالة الكتلة المتناسبة مع nPμ ( n ) ) تُعطى بالصيغة التالية _: 

${\displaystyle P_{\mu}^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n-1)!}}.}$

يُبين ألدوس وبيتمان ^{[ 7 ] أن}

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\lambda .}$

بعبارة أخرى، هذا يعني أن المتغير العشوائي Borel( μ ) له نفس التوزيع مثل المتغير العشوائي Borel( μU ) المتحيز بالحجم، حيث يكون U له التوزيع المنتظم على  [0,1].

تؤدي هذه العلاقة إلى العديد من الصيغ المفيدة، بما في ذلك

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.}$

يُعمم توزيع بوريل -تانر توزيع بوريل. ليكن k عددًا صحيحًا موجبًا. إذا كانت المتغيرات _{العشوائية} X1، X2، _... ، Xk مستقلة _، ولكل _منها توزيع بوريل بمعامل μ ، فإن مجموعها W = X1 + X2 ₊ ... + Xk يُقال إنه يتبع توزيع بوريل-تانر بمعاملين μ و k . ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 8} _] يُعطي هذا التوزيع العدد الإجمالي للأفراد في عملية بواسون-غالتون-واتسون التي تبدأ بـ k فردًا في الجيل الأول، أو الوقت اللازم لتفريغ طابور M/D/1 بدءًا من ^k مهمة في الطابور. الحالة k = 1 هي ببساطة توزيع بوريل المذكور أعلاه.             

بتعميم تطابق المشي العشوائي المذكور أعلاه لـ k  =  1، ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)}$

حيث يتبع المتغير العشوائي S _{_n} توزيع بواسون بمتوسط ​​nμ . ونتيجة لذلك، تُعطى دالة الكتلة الاحتمالية بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}}{(n-k)!}}}$

لـ n  = k ، k + 1، ... .      

• توزيع بوريل-تانر في برنامج Mathematica.