شجرة براونيان

يُعطي هذا التعريف القوانين ذات الأبعاد المحدودة للأشجار الفرعية الناتجة عن عدد محدود من الأوراق.

لنفترض أننا ننظر في فضاء جميع الأشجار الثنائية التي${\displaystyle k}$الأوراق مرقمة من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle k}$هذه الأشجار${\displaystyle 2k-1}$حواف بأطوال${\displaystyle (\ell _{1},\dots ,\ell _{2k-1})\in \mathbb {R} _{+}^{2k-1}}$ثم يتم تعريف الشجرة من خلال شكلها${\displaystyle \tau }$(أي ترتيب العقد) وأطوال الحواف. نُعرّف قانون احتمالي${\displaystyle \mathbb {P} }$لمتغير عشوائي${\displaystyle (T,(L_{i})_{1\leq i\leq 2k-1})}$في هذا المكان بواسطة:

${\displaystyle \mathbb {P} (T=\tau \,,\,L_{i}\in [\ell _{i},\ell _{i}+d\ell _{i}],\forall 1\leq i\leq 2k-1)=s\exp(-s^{2}/2)\,d\ell _{1}\ldots d\ell _{2k-1}}$

أين${\displaystyle \textstyle s=\sum \ell _{i}}$.

بعبارة أخرى،${\displaystyle \mathbb {P} }$لا يعتمد ذلك على شكل الشجرة، بل على المجموع الكلي لأطوال جميع الحواف.

بمعنى آخر، يتم تعريف شجرة براون من قوانين جميع الأشجار الفرعية المحدودة التي يمكن توليدها منها.

الشجرة البراونية هي شجرة حقيقية معرفة من خلال رحلة براونية (انظر التوصيف 4 في الشجرة الحقيقية ).

يترك${\displaystyle e=(e(x),0\leq x\leq 1)}$ليكن انحرافًا براونيًا. عرّف شبه متري${\displaystyle d}$على${\displaystyle [0,1]}$مع

${\displaystyle d(x,y):=e(x)+e(y)-2\min {\big \{}e(z)\,;z\in [x,y]{\big \}},}$لأي${\displaystyle x,y\in [0,1]}$

ثم نُعرّف علاقة تكافؤ ، يُشار إليها بـ${\displaystyle \sim _{e}}$على${\displaystyle [0,1]}$وهذا يربط جميع النقاط${\displaystyle x,y}$بحيث${\displaystyle d(x,y)=0}$.

${\displaystyle x\sim _{e}y\Leftrightarrow d(x,y)=0.}$

${\displaystyle d}$إذن، هي مسافة على فضاء القسمة${\displaystyle [0,1]\,/\!\sim _{e}}$.

من المعتاد اعتبار الرحلة${\displaystyle e/2}$بدلاً من${\displaystyle e}$.

ويطلق على هذا أيضاً اسم البناء بكسر العصي .

لنفترض عملية بواسون نقطية غير متجانسة N ذات كثافة${\displaystyle r(t)=t}$بمعنى آخر، لأي${\displaystyle t>0}$،${\displaystyle N_{t}}$هو متغير بواسون ذو معامل${\displaystyle t^{2}}$. يترك${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots }$كن نقاط${\displaystyle N}$ثم أطوال الفترات${\displaystyle [C_{i},C_{i+1}]}$هي متغيرات أسية ذات متوسطات متناقصة. ثم نقوم بالبناء التالي:

• ( التهيئة ) الخطوة الأولى هي اختيار نقطة عشوائية${\displaystyle u}$بشكل منتظم على الفترة${\displaystyle [0,C_{1}]}$ثم نقوم بلصق القطعة${\displaystyle ]C_{1},C_{2}]}$ل${\displaystyle u}$(رياضياً، نُعرّف مسافة جديدة). نحصل على شجرة${\displaystyle T_{1}}$بجذر (النقطة 0)، وورقتين (${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$)، بالإضافة إلى نقطة تفرع ثنائية واحدة (النقطة${\displaystyle u}$).
• ( التكرار ) في الخطوة k ، القطعة${\displaystyle ]C_{ك},C_{ك+1}]}$ملتصق بالشجرة بنفس الطريقة${\displaystyle T_{k-1}}$، على نقطة عشوائية منتظمة من${\displaystyle T_{k-1}}$.

يمكن استخدام هذه الخوارزمية لمحاكاة الأشجار البراونية عدديًا.

لنفترض شجرة غالتون-واتسون التي يكون لقانون تكاثرها تباين محدود غير صفري، بشرط أن يكون${\displaystyle n}$العقد. دع${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$لتكن هذه الشجرة، مع تقسيم أطوال حوافها على${\displaystyle {\sqrt {n}}}$بمعنى آخر، لكل ضلع طول${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}}$يمكن صياغة البناء بشكل رسمي من خلال اعتبار شجرة جالتون-واتسون كمساحة مترية أو باستخدام عمليات الكفاف المعاد تطبيعها .

هنا، الحد المستخدم هو التقارب في توزيع العمليات العشوائية في فضاء Skorokhod (إذا أخذنا في الاعتبار عمليات الكفاف) أو التقارب في التوزيع المحدد من مسافة Hausdorff (إذا أخذنا في الاعتبار الفضاءات المترية).