الموجة الشعرية

${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \nabla \phi }$

${\displaystyle \nabla \phi '}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$

${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$

تتضمن الطاقة ثلاثة عوامل: الطاقة الكامنة${\displaystyle V_{g}}$بسبب الجاذبية ، طاقة الوضع${\displaystyle V_{st}}$بسبب التوتر السطحي والطاقة الحركية${\displaystyle T}$جزء من التدفق.${\displaystyle V_{g}}$إن أبسط طريقة هي حساب كثافة الطاقة الكامنة الناتجة عن الجاذبية: وهي تكامل كثافة الطاقة الكامنة الناتجة عن الجاذبية.${\displaystyle \rho gz}$(أو${\displaystyle \rho 'gz}$) من ارتفاع مرجعي إلى موضع السطح،${\displaystyle z=\eta (x,y,t)}$[ ^{6 ]​}

${\displaystyle V_{\mathrm {g} }=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},}$

بافتراض أن متوسط ​​موضع الواجهة هو عند${\displaystyle z=0}$.

تؤدي الزيادة في مساحة السطح إلى زيادة متناسبة في الطاقة بسبب التوتر السطحي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],}$

حيث أن المساواة الأولى هي المساحة في هذا التمثيل ( مونج )، والثانية تنطبق على القيم الصغيرة للمشتقات (الأسطح غير الخشنة للغاية).

أما المساهمة الأخيرة فتتعلق بالطاقة الحركية للسائل: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].}$

يُستفاد من كون السائل غير قابل للانضغاط وأن تدفقه غير دوراني (وهي تقريبات معقولة في كثير من الأحيان). ونتيجة لذلك، فإن كليهما${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$و${\displaystyle \phi '(x,y,z,t)}$يجب أن تحقق معادلة لابلاس : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$ و ${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi '=0.}$

يمكن حل هذه المعادلات باستخدام الشروط الحدية المناسبة:${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \phi '}$يجب أن يختفي بعيدًا عن السطح (في حالة "المياه العميقة"، وهي الحالة التي نأخذها في الاعتبار).

باستخدام متطابقة غرين ، وبافتراض أن انحرافات ارتفاع السطح صغيرة (بحيث يمكن تقريب عمليات التكامل على المحور z عن طريق التكامل حتى${\displaystyle z=0}$بدلاً من${\displaystyle z=\eta }$)، يمكن كتابة الطاقة الحركية على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.}$

لإيجاد علاقة التشتت، يكفي النظر في موجة جيبية على السطح البيني، تنتشر في اتجاه x : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,}$

بسعة${\displaystyle a}$وطور الموجة${\displaystyle \theta =kx-\omega t}$. الشرط الحركي الحدودي عند الواجهة، الذي يربط الإمكانات بحركة الواجهة، هو أن مكونات السرعة الرأسية يجب أن تتطابق مع حركة السطح: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$ و ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}}$ في${\displaystyle z=0}$.

لمعالجة مشكلة إيجاد الكمونات، يمكن للمرء أن يحاول فصل المتغيرات ، عندما يمكن التعبير عن كلا المجالين على النحو التالي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{+|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{-|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}}$

ثم المساهمات في طاقة الموجة، المتكاملة أفقيًا على طول موجة واحدة${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$في اتجاه x ، وعلى عرض وحدة واحدة في اتجاه y ، تصبح: ^{[ 7 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}}$

يمكن الآن الحصول على علاقة التشتت من لاغرانجيان${\displaystyle L=T-V}$، مع${\displaystyle V}$مجموع طاقات الوضع الناتجة عن الجاذبية${\displaystyle V_{g}}$والتوتر السطحي${\displaystyle V_{st}}$[ ^{11 ]​}

${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .}$

بالنسبة للموجات الجيبية ونظرية الموجات الخطية، يكون لاغرانجيان متوسط ​​الطور دائمًا على الشكل التالي${\displaystyle L=D(\omega ,k)a^{2}}$بحيث يكون التغير بالنسبة للمعامل الحر الوحيد،${\displaystyle a}$، مما يعطي علاقة التشتت ${\displaystyle D(\omega ,k)=0}$[ ^{11 ] في} حالتنا${\displaystyle D(\omega ,k)}$هو ببساطة التعبير الموجود بين قوسين مربعين، وبالتالي فإن علاقة التشتت هي:

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),}$

كما هو مذكور أعلاه.

ونتيجة لذلك، فإن متوسط ​​طاقة الموجة لكل وحدة مساحة أفقية،${\displaystyle (T+V)/\lambda }$، يكون:

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.}$

وكما هو معتاد في حركات الموجات الخطية، تتساوى طاقة الوضع والطاقة الحركية ( يتحقق مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة ):${\displaystyle T=V}$[ ^{12 ]​}