تجربة كافنديش

كانت تجربة كافنديش ، التي أجراها العالم الإنجليزي هنري كافنديش في الفترة ما بين عامي 1797 و1798 ، أول تجربة لقياس قوة الجاذبية بين الكتل في المختبر ^{[ 1 ]} ، وأول تجربة تُعطي قيمًا دقيقة لثابت الجاذبية . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ونظرًا لأنظمة الوحدات المستخدمة آنذاك، لم يظهر ثابت الجاذبية صراحةً في عمل كافنديش. بدلًا من ذلك، عُبِّر عن النتيجة في الأصل على أنها الكثافة النسبية للأرض ، ^{[ 5 ]} أو ما يُعادلها كتلة الأرض . وقد أعطت تجربته أولى القيم الدقيقة لهذه الثوابت الجيوفيزيائية .

ابتكر الجيولوجي الإنجليزي جون ميتشل هذه التجربة قبل عام 1783 ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} حيث بنى جهاز ميزان الالتواء خصيصًا لها. إلا أن ميتشل توفي عام 1793 دون إتمام العمل. بعد وفاته، انتقل الجهاز إلى فرانسيس جون هايد ولاستون ، ثم إلى كافنديش الذي أعاد بناءه مع الحفاظ على تصميم ميتشل الأصلي قدر الإمكان. بعد ذلك، أجرى كافنديش سلسلة من القياسات باستخدام الجهاز ونشر نتائجه في مجلة المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية عام 1798. ^{[ 8 ]}

تألف الجهاز من ميزان التواء مصنوع من قضيب خشبي طوله 1.8 متر (ستة أقدام) معلق أفقيًا بسلك، مع كرتين من الرصاص قطرهما 51 ملم (بوصتان) ووزنهما 0.73 كيلوغرام (1.61 رطل) ، مثبتتين في كل طرف. ويمكن وضع كرتين ضخمتين من الرصاص ، قطرهما 300 ملم (12 بوصة) ووزنهما 158 كيلوغرام (348 رطل) ، معلقتين بشكل منفصل، بعيدًا عن الكرتين الصغيرتين أو على جانبيهما، على بُعد 225 ملم (8.85 بوصة ) . ^{[ 9 ]} قاس الجهاز قوة التجاذب الثقالي الضعيفة بين الكرتين، مما أدى إلى انحراف قضيب ميزان الالتواء بمقدار 0.16 بوصة تقريبًا (أو 0.03 بوصة فقط باستخدام سلك تعليق أكثر صلابة).      

يمكن وضع الكرتين الكبيرتين إما بعيدًا عن قضيب ميزان الالتواء أو على جانبيه. يتسبب انجذابهما المتبادل للكرات الصغيرة في دوران الذراع، مما يؤدي إلى التواء سلك التعليق. يدور الذراع حتى يصل إلى زاوية تتوازن عندها قوة التواء السلك مع قوة الجاذبية الكلية بين الكرتين الرصاصيتين الكبيرة والصغيرة. من خلال قياس زاوية القضيب ومعرفة قوة التواء السلك ( العزم ) عند زاوية معينة، تمكن كافنديش من تحديد القوة بين أزواج الكتل. وبما أنه يمكن قياس قوة جاذبية الأرض على الكرة الصغيرة مباشرةً عن طريق وزنها، فإن نسبة القوتين تسمح بحساب الكثافة النسبية للأرض، باستخدام قانون نيوتن للجاذبية .

وجد كافنديش أن كثافة الأرض كانت5.448 ± 0.033 ضعف قيمة الماء (على الرغم من أن القيمة الخاطئة ناتجة عن خطأ حسابي بسيط ، اكتشفه فرانسيس بيلي عام 1821).5.480 ± 0.038 تظهر في بحثه). ^{[ 10 ] [ 11 ]} القيمة المقبولة حاليًا هي 5.514 جم/سم ³ .

لإيجاد معامل التواء السلك ، أي عزم الدوران الذي يُؤثر به السلك عند زاوية التواء مُحددة، قام كافنديش بقياس زمن التذبذب الطبيعي لقضيب الميزان أثناء دورانه ببطء في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة في مواجهة التواء السلك. في التجارب الثلاث الأولى، كان زمن التذبذب حوالي 15 دقيقة، وفي التجارب الأربع عشرة التالية، انخفض إلى النصف، أي حوالي 7.5 دقيقة. وقد تغير زمن التذبذب بعد التجربة الثالثة لأن كافنديش استخدم سلكًا أكثر صلابة. ويمكن حساب معامل الالتواء من خلال هذا القياس، بالإضافة إلى كتلة الميزان وأبعاده. في الواقع، لم يكن القضيب ساكنًا أبدًا؛ إذ كان على كافنديش قياس زاوية انحراف القضيب أثناء تذبذبه. ^{[ 12 ]}

كانت معدات كافنديش حساسة بشكل ملحوظ بالنسبة لعصرها. ^{[ 10 ]} كانت القوة اللازمة لتدوير ميزان الالتواء صغيرة جدًا،1.74 × 10⁻⁷ نيوتن  ، ^{[ 13 ]} (وزن 0.0177 ملليغرام فقط) أو حوالي 1 / 50,000,000 من وزن الكرات الصغيرة. ^{[ 14 ] ولمنع تيارات الهواء وتغيرات درجة الحرارة من التأثير على القياسات، وضع كافنديش الجهاز بأكمله في صندوق من} خشب الماهوجني يبلغ عرضه حوالي 1.98 متر، وارتفاعه 1.27 متر، وسمكه 14  سم.أجرى كافنديش جميع تجاربه في سقيفة مغلقة ضمن ممتلكاته. ومن خلال فتحتين في جدران السقيفة، استخدم تلسكوبات لمراقبة حركة القضيب الأفقي لميزان الالتواء. وكان المقياس الرئيسي هو انحراف قضيب ميزان الالتواء، والذي قاسه كافنديش بحوالي 0.16 بوصة (أو 0.03 بوصة فقط للسلك الأكثر صلابة المستخدم في الغالب). ^{[ 15 ]} تمكن كافنديش من قياس هذا الانحراف الصغير بدقة أفضل من 0.01 بوصة (0.25 مم) باستخدام مقاييس الورنية على طرفي القضيب. ^{[ 16 ]} لم تتجاوز دقة نتائج كافنديش أي دقة أخرى حتى تجربة سي. في. بويز عام 1895. وبمرور الوقت، أصبح ميزان الالتواء الخاص بميشيل التقنية السائدة لقياس ثابت الجاذبية ( G )، ولا تزال معظم القياسات المعاصرة تستخدم صيغًا مختلفة منه. ^{[ 17 ]} 

قدمت نتائج كافنديش دليلاً إضافياً على وجود لب كوكبي مصنوع من المعدن، وهي فكرة طرحها تشارلز هاتون لأول مرة استناداً إلى تحليله لتجربة شيهاليون عام 1774. ^{[ 18 ]} بلغت كثافة اللب 5.4 غ/سم³ لكافنديش ^{، أي أكبر} بنسبة 23% من كثافة هاتون، وهي قريبة من 80% من كثافة الحديد السائل، وأعلى بنسبة 80% من كثافة القشرة الخارجية للأرض ، مما يشير إلى وجود لب حديدي كثيف. ^{[ 19 ]}

لم يصبح صياغة الجاذبية النيوتونية بدلالة ثابت الجاذبية معيارًا إلا بعد فترة طويلة من زمن كافنديش. في الواقع، يعود أحد أوائل الإشارات إلى G إلى عام 1873، أي بعد 75 عامًا من عمل كافنديش. ^{[ 20 ]}

عبّر كافنديش عن نتائجه بدلالة كثافة الأرض. وأشار إلى تجربته في مراسلاته بأنها "وزن العالم". وقد أعاد مؤلفون لاحقون صياغة نتائجه بمصطلحات حديثة. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,}$

بعد التحويل إلى وحدات النظام الدولي للوحدات ، تعطي قيمة كافنديش لكثافة الأرض، 5.448  جم  /سم³ ^،

G =6.74 × 10 ⁻¹¹  م ³  كجم ^–1  ث ⁻² ، ^{[ 24 ]}

وهو ما يختلف بنسبة 1% فقط عن قيمة CODATA لعام 2014.6.67408 × 10⁻¹¹ م³ ^{كجم⁻¹ ث⁻² .    [ 25} ] يستخدم الفيزيائيون اليوم وحداتٍ يكون فيها ثابت الجاذبية مختلفًا. يُعد ثابت الجاذبية الغاوسي المستخدم ^{في ديناميكا} الفضاء ثابتًا مُحددًا، ويمكن اعتبار تجربة كافنديش قياسًا لهذا الثابت. في زمن كافنديش، استخدم الفيزيائيون نفس وحدات الكتلة والوزن، معتبرين g تسارعًا معياريًا. حينها، ولأن نصف _{قطر الأرض} (R_earth) كان معروفًا، لعبت كثافة _الأرض (ρ _earth) دور مقلوب ثابت الجاذبية. لذا، كانت كثافة الأرض كميةً مطلوبةً بشدة في ذلك الوقت، وقد بُذلت محاولات سابقة لقياسها، مثل تجربة شيهاليون عام 1774.

لا تُعدّ الطريقة التالية هي الطريقة التي استخدمها كافنديش، ولكنها تصف كيف سيحسب الفيزيائيون المعاصرون نتائج تجربته. ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} وبحسب قانون هوك ، فإن عزم الدوران على سلك الالتواء يتناسب طرديًا مع زاوية الانحراف.${\displaystyle \theta }$من التوازن. عزم الدوران هو${\displaystyle \kappa \theta }$أين${\displaystyle \kappa }$يمثل معامل الالتواء للسلك. مع ذلك، يتولد عزم دوران في الاتجاه المعاكس بفعل قوة الجذب بين الكتلتين. يمكن كتابة هذا العزم كحاصل ضرب قوة التجاذب بين الكرة الكبيرة والكرة الصغيرة في المسافة L/2 من سلك التعليق. بما أن هناك كرتين، تتعرض كل منهما لقوة F على مسافة L / 2 من محور الميزان، فإن عزم الدوران الناتج عن قوة الجاذبية هو LF . عند الاتزان (عندما يستقر الميزان عند زاوية معينة) .${\displaystyle \theta }$يجب أن يكون إجمالي عزم الدوران صفرًا لأن مصدري عزم الدوران هذين يتوازنان. وبالتالي، يمكننا مساواة مقداريهما باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، مما يعطينا النتيجة التالية:

${\displaystyle \kappa \theta \ =LF\,}$

بالنسبة لـ F ، يُستخدم قانون نيوتن للجاذبية الكونية للتعبير عن قوة التجاذب بين كرة كبيرة وكرة صغيرة:

${\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}$

بتعويض قيمة F في المعادلة الأولى أعلاه نحصل على

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

لإيجاد معامل الالتواء (${\displaystyle \kappa }$) من السلك، قام كافنديش بقياس فترة التذبذب الرنيني الطبيعي T لميزان الالتواء:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}$

بافتراض أن كتلة عارضة الالتواء نفسها مهملة، فإن عزم القصور الذاتي للميزان ناتج فقط عن الكرات الصغيرة. وباعتبارها كتلًا نقطية، كل منها على بُعد L/2 من المحور، نحصل على:

${\displaystyle I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,}$،

وهكذا:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

حل هذه المشكلة لـ${\displaystyle \kappa }$وباستبدالها في (1)، وإعادة ترتيبها لإيجاد قيمة G ، تكون النتيجة كالتالي:

${\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,}$.

بمجرد إيجاد قيمة G ، يمكن استخدام جاذبية جسم ما على سطح الأرض للأرض نفسها لحساب كتلة الأرض وكثافتها:

${\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {earth}}}{R_{\rm {earth}}^{2}}}\,}$

${\displaystyle M_{\rm {earth}}={\frac {gR_{\rm {earth}}^{2}}{G}}\,}$

${\displaystyle \rho _{\rm {earth}}={\frac {M_{\rm {earth}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {earth}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {earth}}G}}\,}$

تعريفات المصطلحات

رمز	وحدة	تعريف
${\displaystyle \theta }$	الراديان	انحراف ذراع التوازن الالتوائي عن وضع سكونه
F	شمال	قوة الجاذبية بين الكتلتين M و m
جي	m 3 kg −1 s −2	ثابت الجاذبية
م	كيلوغرام	كتلة من كرات الرصاص الصغيرة
م	كيلوغرام	كتلة من كرة رصاص كبيرة
ر	م	المسافة بين مركزي الكرتين الكبيرة والصغيرة عند انحراف الميزان
ل	م	طول عارضة التوازن الالتوائية بين مركزي الكرات الصغيرة
${\displaystyle \kappa }$	نيوتن متر راديان −1	معامل الالتواء لسلك التعليق
أنا	كجم م 2	عزم القصور الذاتي لعارضة التوازن الالتوائية
تي	s	فترة تذبذب ميزان الالتواء
ز	ms −2	تسارع الجاذبية على سطح الأرض
الأرض M	كيلوغرام	كتلة الأرض
الأرض R	م	نصف قطر الأرض
${\displaystyle \rho }$أرض	كجم م −3	كثافة الأرض

• تجربة كافنديش في محاضرات فاينمان في الفيزياء
• الجاذبية الجانبية في الطابق السفلي، العالم المواطن ، 1 يوليو 2005. تجربة كافنديش محلية الصنع، توضح حساب النتائج والاحتياطات اللازمة للتخلص من أخطاء الرياح والكهرباء الساكنة.
• "Big 'G'"، Physics Central ، تم الاطلاع عليه في 8 ديسمبر 2013. تجربة في جامعة واشنطن لقياس ثابت الجاذبية باستخدام تعديل لطريقة كافنديش.
• مجموعة إيوت-واش، جامعة واشنطن. "الجدل حول ثابت نيوتن للجاذبية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 ديسمبر 2013 .يناقش الوضع الحالي لقياسات G.
• نموذج لجهاز التوازن الالتوائي الجاذبي لهنري كافنديش، 1798 ، تم استرجاعه في 10 فبراير 2026، مجموعة متحف العلوم .