القوات المركزية

في الميكانيكا الكلاسيكية ، القوة المركزية المؤثرة على جسم ما هي قوة موجهة نحو أو بعيدًا عن نقطة تسمى مركز القوة . $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}$$ حيث F متجه قوة، وF دالة قوة عددية (تعطي قيمتها المطلقة مقدار القوة وتكون موجبة إذا كانت القوة متجهة للخارج وسالبة إذا كانت القوة متجهة للداخل)، و r متجه الموضع ، و|| r || طوله، و${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$هو متجه الوحدة المقابل . ^{[ 1 ] : 93}

ليست جميع مجالات القوى المركزية محافظة أو متناظرة كرويًا . مع ذلك، تكون القوة المركزية محافظة إذا وفقط إذا كانت متناظرة كرويًا أو ثابتة دورانيًا. ^{[ 1 ] : 133-138.} من أمثلة القوى المركزية المتناظرة كرويًا قوة كولوم وقوة الجاذبية.

يمكن دائمًا التعبير عن القوى المركزية المحافظة على أنها تدرج سلبي لطاقة كامنة : $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )\;{\text{, where }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r}$$ (الحد الأعلى للتكامل تعسفي، حيث يتم تعريف الجهد حتى ثابت إضافي).

في المجال المحافظ، يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة الميكانيكية ( الحركية والكامنة): $${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$$ (أين${\dot {r}}$يشير إلى مشتقة$ر$بالنسبة للزمن، أي السرعة ،$أنا$يشير إلى عزم القصور الذاتي لذلك الجسم و$ω$يشير إلى السرعة الزاوية )، وفي مجال قوة مركزي، كذلك الزخم الزاوي : $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}}$$ لأن عزم الدوران الناتج عن القوة يساوي صفرًا. ونتيجة لذلك، يتحرك الجسم في المستوى العمودي على متجه الزخم الزاوي والذي يحتوي على نقطة الأصل، ويخضع لقانون كبلر الثاني . (إذا كان الزخم الزاوي يساوي صفرًا، فإن الجسم يتحرك على طول الخط الواصل بينه وبين نقطة الأصل).

يمكن أيضاً إثبات أن أي جسم يتحرك تحت تأثير أي قوة مركزية يخضع لقانون كبلر الثاني. مع ذلك، يعتمد القانونان الأول والثالث على خاصية التربيع العكسي لقانون نيوتن للجاذبية الكونية، ولا ينطبقان عموماً على القوى المركزية الأخرى.

ونتيجة لكونها محافظة، فإن مجالات القوة المركزية المحددة هذه غير دورانية، أي أن دورانها يساوي صفرًا، باستثناء نقطة الأصل : $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} .}$$

تُعدّ قوة الجاذبية وقوة كولوم مثالين مألوفين على ذلك.${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$يتناسب مع 1/ r² ^فقط . جسم في مجال قوة كهذا ذو قيمة سالبة${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$(المقابل لقوة جاذبة) يخضع لقوانين كبلر لحركة الكواكب .

يُعد مجال القوة للمذبذب التوافقي المكاني مركزيًا مع${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$يتناسب مع r فقط وسالب.

بحسب نظرية برتراند ، هذان الاثنان،${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}}$و${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-kr}$تُعدّ هذه الحقول القوة المركزية الوحيدة الممكنة التي تكون فيها جميع المدارات المحدودة مدارات مغلقة مستقرة. ومع ذلك، توجد حقول قوة أخرى تحتوي على بعض المدارات المغلقة.

• مسألة القوة المركزية الكلاسيكية
• جسيم في جهد متناظر كرويًا