نظرية كوكران

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 115 صور
الموسوعة الحرة

في علم الإحصاء ، تُعد نظرية كوكران ، التي وضعها ويليام جي. كوكران ، [ 1 ] نظرية تُستخدم لتبرير النتائج المتعلقة بتوزيعات الاحتمالات للإحصاءات المستخدمة في تحليل التباين . [ 2 ]

إفادة

يتركيو1،⋯،يوشمال{\displaystyle U_{1},\cdots ,U_{N}}أن تكون متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات توزيع طبيعي معياري ، ويو=[يو1،...،يوشمال]تي{\displaystyle U=[U_{1},...,U_{N}]^{T}}. يتركب(1)،ب(2)،...،ب(ك){\displaystyle B^{(1)},B^{(2)},\ldots ,B^{(k)}}لتكن مصفوفات متناظرة . عرّف rᵢ على أنه رتبة rᵢ .ب(أنا){\displaystyle B^{(i)}}. يُعرِّفسؤالأنا=يوتيب(أنا)يو{\displaystyle Q_{i}=U^{T}B^{(i)}U}وبالتالي فإن Q i هي أشكال تربيعية . افترض كذلك∑أناسؤالأنا=يوتييو{\displaystyle \sum _{i}Q_{i}=U^{T}U}.

تنص نظرية كوكران على أن ما يلي متكافئ:

غالباً ما يُذكر ذلك على النحو التالي∑أناأأنا=أ{\displaystyle \sum _{i}A_{i}=A}، أينأ{\displaystyle A}هو دالة متماثلة، و∑أنارأنا=شمال{\displaystyle \sum _{i}r_{i}=N}يتم استبدالها بـ∑أنارأنا=رتبة⁡(أ){\displaystyle \sum _{i}r_{i}=\operatorname {rank} (A)}لكن بعد التحويل المتعامد،أ=التشخيص⁡(أنام،0){\displaystyle A=\operatorname {diag} (I_{M},0)}وبالتالي نختزل إلى النظرية المذكورة أعلاه. هنا،التشخيص{\displaystyle \operatorname {diag} }يشير إلى التحويل القطري.

تركيبة بديلة

يُلاحظ هذا الشكل غالبًا عند دراسة الانحدار الخطي. [ 4 ] لنفترض أنY∼شمالن(0،σ2أنان){\displaystyle Y\sim N_{n}(0,\sigma ^{2}I_{n})}هو متجه عشوائي طبيعي متعدد المتغيرات قياسي (هنا)أنان{\displaystyle I_{n}}تشير إلى مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n ، وإذاأ1،...،أك{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}جميعها مصفوفات متناظرة من الرتبة n × n مع∑أنا=1كأأنا=أنان{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}A_{i}=I_{n}}ثم، عند تعريفرأنا=رتبة⁡(أأنا){\displaystyle r_{i}=\operatorname {rank} (A_{i})}أي من الشروط التالية يستلزم الشرطين الآخرين:

  • ∑أنا=1كرأنا=ن،{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}r_{i}=n,}
  • YتيأأناY∼σ2χرأنا2{\displaystyle Y^{T}A_{i}Y\sim \sigma ^{2}\chi _{r_{i}}^{2}} (وبالتاليأأنا{\displaystyle A_{i}}(موجبة شبه محددة )
  • YتيأأناY{\displaystyle Y^{T}A_{i}Y}مستقل عنYتيأجY{\displaystyle Y^{T}A_{j}Y}لأنا≠ج.{\displaystyle i\neq j.}

أمثلة

متوسط ​​العينة وتباين العينة

إذا كانت X1 ، ...، Xn متغيرات عشوائية مستقلة موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط ​​μ وانحراف معياري σ ، فإن

يوأنا=Xأنا-μσ{\displaystyle U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}

هو توزيع طبيعي معياري لكل i . لاحظ أن Q الكلي يساوي مجموع مربعات U كما هو موضح هنا:

∑أناسؤالأنا=∑جأناكيوجبجك(أنا)يوك=∑جكيوجيوك∑أنابجك(أنا)=∑جكيوجيوكدلتاجك=∑جيوج2{\displaystyle \sum _{i}Q_{i}=\sum _{jik}U_{j}B_{jk}^{(i)}U_{k}=\sum _{jk}U_{j}U_{k}\sum _{i}B_{jk}^{(i)}=\sum _{jk}U_{j}U_{k}\delta _{jk}=\sum _{j}U_{j}^{2}}

والذي ينبع من الافتراض الأصلي بأنب1+ب2...=أنا{\displaystyle B_{1}+B_{2}\ldots =I}لذا سنقوم بحساب هذه الكمية ثم نفصلها لاحقًا إلى Q <sub>i </sub>. من الممكن كتابة

∑أنا=1نيوأنا2=∑أنا=1ن(Xأنا-X¯σ)2+ن(X¯-μσ)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

(هناX¯{\displaystyle {\overline {X}}}(وهو متوسط ​​العينة ). ولإثبات هذه المتطابقة، اضرب في جميع المعادلة.σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}ولاحظ أن

∑(Xأنا-μ)2=∑(Xأنا-X¯+X¯-μ)2{\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}}+{\overline {X}}-\mu )^{2}}

والتوسع لإعطاء

∑(Xأنا-μ)2=∑(Xأنا-X¯)2+∑(X¯-μ)2+2∑(Xأنا-X¯)(X¯-μ).{\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum ({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum (X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).}

الحد الثالث يساوي صفرًا لأنه يساوي ثابتًا مضروبًا في

∑(X¯-Xأنا)=0،{\displaystyle \sum ({\overline {X}}-X_{i})=0,}

والحد الثاني يتكون من n حدًا متطابقًا مضافًا معًا.

∑(Xأنا-μ)2=∑(Xأنا-X¯)2+ن(X¯-μ)2،{\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+n({\overline {X}}-\mu )^{2},}

وبالتالي

∑(Xأنا-μσ)2=∑(Xأنا-X¯σ)2+ن(X¯-μσ)2=∑أنا(يوأنا-1ن∑جيوج)2⏞سؤال1+1ن(∑جيوج)2⏞سؤال2=سؤال1+سؤال2.{\displaystyle \sum \left({\tfrac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum \left({\tfrac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\overbrace {\sum _{i}\left(U_{i}-{\tfrac {1}{n}}\sum _{j}{U_{j}}\right)^{2}} ^{Q_{1}}+\overbrace {{\tfrac {1}{n}}\left(\sum _{j}{U_{j}}\right)^{2}} ^{Q_{2}}=Q_{1}+Q_{2}.}

الآنب(2)=جنن{\displaystyle B^{(2)}={\frac {J_{n}}{n}}}معجن{\displaystyle J_{n}}مصفوفة الواحدات التي رتبتها 1. بدورها ب(1)=أنان-جنن{\displaystyle B^{(1)}=I_{n}-{\frac {J_{n}}{n}}}بشرطأنان=ب(1)+ب(2){\displaystyle I_{n}=B^{(1)}+B^{(2)}}ويمكن الحصول على هذا التعبير أيضًا عن طريق توسيعسؤال1{\displaystyle Q_{1}}في تدوين المصفوفات. يمكن إثبات أن رتبةب(1){\displaystyle B^{(1)}}يكونن-1{\displaystyle n-1}بما أن مجموع جميع صفوفها يساوي صفرًا، فإن شروط نظرية كوكران متحققة.

تنص نظرية كوكران على أن Q1 و Q2 مستقلتان، وتخضعان لتوزيع كاي تربيع بدرجتي حرية n − 1 و1 على التوالي. وهذا يدل على أن متوسط ​​العينة وتباينها مستقلان. ويمكن إثبات ذلك أيضًا بنظرية باسو ، وفي الواقع، تُعد هذه الخاصية سمة مميزة للتوزيع الطبيعي - إذ لا يوجد توزيع آخر يكون فيه متوسط ​​العينة وتباينها مستقلين. [ 5 ]

التوزيعات

تُكتب نتيجة التوزيعات رمزياً على النحو التالي:

∑(Xأنا-X¯)2∼σ2χن-12.{\displaystyle \sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}.}
ن(X¯-μ)2∼σ2χ12،{\displaystyle n({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{1}^{2},}

يتناسب كلا المتغيرين العشوائيين مع التباين الحقيقي غير المعروف σ² . وبالتالي، فإن نسبتهما لا تعتمد على σ² ، ولأنهما مستقلان إحصائيًا، فإن توزيع نسبتهما يُعطى بالصيغة التالية :

ن(X¯-μ)21ن-1∑(Xأنا-X¯)2∼χ121ن-1χن-12∼F1،ن-1{\displaystyle {\frac {n\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}\sim {\frac {\chi _{1}^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}}}\sim F_{1,n-1}}

حيث F 1, n − 1   هو توزيع F بدرجات حرية 1 و n − 1 (انظر أيضًا توزيع t للطالب ). وتتمثل الخطوة الأخيرة هنا في تعريف متغير عشوائي يتبع توزيع F.  

تقدير التباين

لتقدير التباين σ² ، أحد المقدرات التي تُستخدم أحيانًا هو مقدر الاحتمال الأقصى لتباين التوزيع الطبيعي

σ^2=1ن∑(Xأنا-X¯)2.{\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.}

تُظهر نظرية كوكران أن

نσ^2σ2∼χن-12{\displaystyle {\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}

وتُظهر خصائص توزيع كاي تربيع أن

هـ(نσ^2σ2)=هـ(χن-12)نσ2هـ(σ^2)=(ن-1)هـ(σ^2)=σ2(ن-1)ن{\displaystyle {\begin{aligned}E\left({\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)&=E\left(\chi _{n-1}^{2}\right)\\{\frac {n}{\sigma ^{2}}}E\left({\widehat {\sigma }}^{2}\right)&=(n-1)\\E\left({\widehat {\sigma }}^{2}\right)&={\frac {\sigma ^{2}(n-1)}{n}}\end{aligned}}}

دليل

الادعاء : دعX{\displaystyle X}أن تكون دالة غاوسية قياسية فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ثم بالنسبة لأي مصفوفات متناظرةسؤال،سؤال′{\displaystyle Q,Q'}، لوXتيسؤالX{\displaystyle X^{T}QX}وXتيسؤال′X{\displaystyle X^{T}Q'X}إذا كان لهما نفس التوزيع،سؤال،سؤال′{\displaystyle Q,Q'}لها نفس القيم الذاتية (حتى التعددية).

دليل

لنفترض أن القيم الذاتية لـسؤال{\displaystyle Q}يكونλ1،...،λن{\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}ثم احسب الدالة المميزة لـXتيسؤالX{\displaystyle X^{T}QX}اتضح أنه

ϕ(ت)=(∏ج(1-2أناλجت))-1/2{\displaystyle \phi (t)=\left(\prod _{j}(1-2i\lambda _{j}t)\right)^{-1/2}}

(لحسابها، قم أولاً بتحويلها إلى مصفوفة قطرية)سؤال{\displaystyle Q}، ثم انتقل إلى ذلك الإطار، ثم استخدم حقيقة أن الدالة المميزة لمجموع المتغيرات المستقلة هي حاصل ضرب دوالها المميزة.

لXتيسؤالX{\displaystyle X^{T}QX}وXتيسؤال′X{\displaystyle X^{T}Q'X}لكي تكون متساوية، يجب أن تكون وظائفها المميزة متساوية، لذلكسؤال،سؤال′{\displaystyle Q,Q'}لها نفس القيم الذاتية (حتى التعددية).

مطالبة :أنا=∑أنابأنا{\displaystyle I=\sum _{i}B_{i}}.

دليل

يوتي(أنا-∑أنابأنا)يو=0{\displaystyle U^{T}(I-\sum _{i}B_{i})U=0}. منذ(أنا-∑أنابأنا){\displaystyle (I-\sum _{i}B_{i})}متناظر، ويوتي(أنا-∑أنابأنا)يو=ديوتي0يو{\displaystyle U^{T}(I-\sum _{i}B_{i})U=^{d}U^{T}0U}بناءً على الادعاء السابق،(أنا-∑أنابأنا){\displaystyle (I-\sum _{i}B_{i})}له نفس القيم الذاتية للصفر.

اللمة : إذا∑أنامأنا=أنا{\displaystyle \sum _{i}M_{i}=I}، الجميعمأنا{\displaystyle M_{i}}إذا كانت متناظرة، ولها قيم ذاتية 0 و1، فإنها قابلة للتقطير في آن واحد.

دليل

ثبّت قيمة i، وانظر إلى المتجهات الذاتية v لـمأنا{\displaystyle M_{i}}بحيثمأناv=v{\displaystyle M_{i}v=v}ثم لديناvتيv=vتيأناv=vتيv+∑ج≠أناvتيمجv{\displaystyle v^{T}v=v^{T}Iv=v^{T}v+\sum _{j\neq i}v^{T}M_{j}v}نلاحظ أنمج{\displaystyle M_{j}}تكون المصفوفات شبه موجبة، لأن متجهاتها الذاتية جميعها غير سالبة؛ لذلك، لكلج{\displaystyle j}كما يجب أن يكون لديناvتيمجv=0{\displaystyle v^{T}M_{j}v=0}وهكذا نحصل على انقسام لـRشمال{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}داخلV⊕V⊥{\displaystyle V\oplus V^{\perp }}بحيث يكون الفضاء الذاتي ذو البعد 1V{\displaystyle V}لمأنا{\displaystyle M_{i}}يتم احتواؤها في الفضاءات الذاتية الصفرية لـمج{\displaystyle M_{j}}لج≠أنا{\displaystyle j\neq i}والآن، ابدأ بالانتقال إلىV⊥{\displaystyle V^{\perp }}. لومأنا≠0{\displaystyle M_{i}\neq 0}للجميعأنا{\displaystyle i}s، ثم أساس يقوم بقطرية كل في آن واحدمأنا{\displaystyle M_{i}}يُعطى بواسطة(v1،1،...،vر1،1،...،v1،ك،...،vرك،ك){\displaystyle (v_{1,1},\dots ,v_{r_{1},1},\dots ,v_{1,k},\dots ,v_{r_{k},k})}، أين(v1،أنا،...،vرأنا،أنا){\displaystyle (v_{1,i},\dots ,v_{r_{i},i})}هي أساس الفضاء الذاتي 1 لـمأنا{\displaystyle M_{i}}.

والآن نثبت النظرية الأصلية. نثبت أن الحالات الثلاث متكافئة من خلال إثبات أن كل حالة تستلزم الحالة التالية في دورة (1→2→3→1{\displaystyle 1\to 2\to 3\to 1}).

دليل

الحالة : الكلسؤالأنا{\displaystyle Q_{i}}مستقلون

أصلح بعض الأشياءأنا{\displaystyle i}، يُعرِّفجأنا=أنا-بأنا=∑ج≠أنابج{\displaystyle C_{i}=I-B_{i}=\sum _{j\neq i}B_{j}}، وقطريًابأنا{\displaystyle B_{i}}بواسطة تحويل متعامديا{\displaystyle O}ثم فكرياجأناياتي=أنا-يابأناياتي{\displaystyle OC_{i}O^{T}=I-OB_{i}O^{T}}وهي مائلة أيضًا.

يتركدبليو=يايو{\displaystyle W=OU}إذن، فهو أيضاً توزيع غاوسي معياري. عندها يكون لدينا

سؤالأنا=دبليوتي(يابأناياتي)دبليو؛∑ج≠أناسؤالج=دبليوتي(أنا-يابأناياتي)دبليو{\displaystyle Q_{i}=W^{T}(OB_{i}O^{T})W;\quad \sum _{j\neq i}Q_{j}=W^{T}(I-OB_{i}O^{T})W}

افحص مداخلها القطرية، للتأكد من ذلك.سؤالأنا⊥∑ج≠أناسؤالج{\displaystyle Q_{i}\perp \sum _{j\neq i}Q_{j}}وهذا يعني أن عناصر القطر غير الصفرية منفصلة.

وبالتالي فإن جميع القيم الذاتية لـبأنا{\displaystyle B_{i}}قيمها 0 و 1، لذاسؤالأنا{\displaystyle Q_{i}}هوχ2{\displaystyle \chi ^{2}}موزع معرأنا{\displaystyle r_{i}}درجات الحرية.

الحالة : كلسؤالأنا{\displaystyle Q_{i}}هوχ2(رأنا){\displaystyle \chi ^{2}(r_{i})}توزيع.

أصلح أيأنا{\displaystyle i}قم بتحويلها قطريًا باستخدام التحويل المتعامديا{\displaystyle O}وإعادة فهرسة البيانات، بحيثيابأناياتي=دأناأز(λ1،...،λرأنا،0،...،0){\displaystyle OB_{i}O^{T}=diag(\lambda _{1},...,\lambda _{r_{i}},0,...,0)}. ثمسؤالأنا=∑جλجيو′ج2{\displaystyle Q_{i}=\sum _{j}\lambda _{j}{U'}_{j}^{2}}بالنسبة للبعضيوج′{\displaystyle U'_{j}}، دوران كروييوأنا{\displaystyle U_{i}}.

منذسؤالأنا∼χ2(رأنا){\displaystyle Q_{i}\sim \chi ^{2}(r_{i})}، نحصل على كلλج=1{\displaystyle \lambda _{j}=1}إذن كل شيءبأنا⪰0{\displaystyle B_{i}\succeq 0}ولها قيم ذاتية0،1{\displaystyle 0,1}.

لذا قم بتقسيمها قطريًا في آن واحد، واجمعها، لإيجاد∑أنارأنا=شمال{\displaystyle \sum _{i}r_{i}=N}.

قضية :ر1+⋯+رك=شمال{\displaystyle r_{1}+\cdots +r_{k}=N}.

نُبين أولاً أن المصفوفات B ( i ) يُمكن تحويلها قطريًا في آنٍ واحد بواسطة مصفوفة متعامدة، وأن قيمها الذاتية غير الصفرية جميعها تساوي +1. بعد إثبات ذلك، نأخذ هذا التحويل المتعامد إلى هذا الأساس الذاتي المتزامن ، حيث يكون المتجه العشوائي[يو1،...،يوشمال]تي{\displaystyle [U_{1},...,U_{N}]^{T}}يصبح[يو1′،...،يوشمال′]تي{\displaystyle [U'_{1},...,U'_{N}]^{T}}لكن الجميعيوأنا′{\displaystyle U_{i}'}لا تزال مستقلة وتتبع التوزيع الطبيعي القياسي. ومن ثمّ تتحقق النتيجة.

لكل مصفوفة من المصفوفات B ( i ) رتبة rᵢ ، وبالتالي rᵢ قيمة ذاتية غير صفرية . لكل i ، يكون المجموعج(أنا)≡∑ج≠أناب(ج){\displaystyle C^{(i)}\equiv \sum _{j\neq i}B^{(j)}}لديه رتبة قصوى∑ج≠أنارج=شمال-رأنا{\displaystyle \sum _{j\neq i}r_{j}=N-r_{i}}. منذب(أنا)+ج(أنا)=أناشمال×شمال{\displaystyle B^{(i)}+C^{(i)}=I_{N\times N}}وبالتالي فإن C ( i ) لها رتبة N − r i بالضبط .  

لذلك، يمكن تحويل المصفوفة B ( i ) والمصفوفة C ( i ) إلى مصفوفة قطرية في آنٍ واحد . ويمكن إثبات ذلك بتحويل المصفوفة B ( i ) إلى مصفوفة قطرية أولًا ، باستخدام نظرية الطيف . وفي هذا الأساس، تكون المصفوفة على الشكل التالي:

[λ100⋯⋯00λ20⋯⋯000⋱⋮⋮⋮λرأنا⋮⋮00⋮⋱00...0].{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&\cdots &\cdots &&0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\lambda _{r_{i}}&&\\\vdots &\vdots &&&0&\\0&\vdots &&&&\ddots \\0&0&\ldots &&&&0\end{bmatrix}}.}

وبالتالي فإن الأدنى(شمال-رأنا){\displaystyle (N-r_{i})}الصفوف تساوي صفرًا.ج(أنا)=أنا-ب(أنا){\displaystyle C^{(i)}=I-B^{(i)}}وبالتالي، فإن هذه الصفوف في C ( i ) في هذا الأساس تحتوي على كتلة يمنى وهي(شمال-رأنا)×(شمال-رأنا){\displaystyle (N-r_{i})\times (N-r_{i})}مصفوفة الوحدة، مع أصفار في بقية هذه الصفوف. ولكن بما أن رتبة C ( i ) هي N − r i ، فلا بد أن تكون صفرًا في أي مكان آخر. وبالتالي فهي قطرية في هذا الأساس أيضًا. ويترتب على ذلك أن جميع القيم الذاتية غير الصفرية لكل من B ( i ) و C ( i ) هي +1. تنطبق هذه الحجة على جميع قيم i ، وبالتالي فإن جميع قيم B ( i ) موجبة شبه محددة.  

علاوة على ذلك، يمكن تكرار التحليل المذكور أعلاه في الأساس القطري لـج(1)=ب(2)+∑ج>2ب(ج){\displaystyle C^{(1)}=B^{(2)}+\sum _{j>2}B^{(j)}}على هذا الأساسج(1){\displaystyle C^{(1)}}هوية(شمال-ر1)×(شمال-ر1){\displaystyle (N-r_{1})\times (N-r_{1})}فضاء متجهي، وبالتالي فإن كلاً من B (2) و∑ج>2ب(ج){\displaystyle \sum _{j>2}B^{(j)}}يمكن تحويل جميع عناصر B إلى عناصر قطرية في هذا الفضاء المتجهي (وبالتالي يمكن تحويلها أيضًا إلى عناصر قطرية مع B (1) ). وبالتكرار، يتبين أن جميع عناصر B قابلة للتحويل إلى عناصر قطرية في آن واحد.

وبالتالي توجد مصفوفة متعامدةS{\displaystyle S}بحيث يكون ذلك لجميعأنا{\displaystyle i}،Sتيب(أنا)S≡ب(أنا)′{\displaystyle S^{\mathrm {T} }B^{(i)}S\equiv B^{(i)\prime }}يكون قطريًا، حيث يكون أي مدخلبx،y(أنا)′{\displaystyle B_{x,y}^{(i)\prime }}مع المؤشراتx=y{\displaystyle x=y}،∑ج=1أنا-1رج<x=y≤∑ج=1أنارج{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}r_{j}<x=y\leq \sum _{j=1}^{i}r_{j}}، يساوي 1، بينما أي إدخال بمؤشرات أخرى يساوي 0.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 كوكران، دبليو جي (أبريل 1934). "توزيع الأشكال التربيعية في نظام طبيعي، مع تطبيقات على تحليل التغاير". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 30 (2): 178-191 . Bibcode : 1934PCPS...30..178C . doi : 10.1017/S0305004100016595 .
  2. ↑ بات، آر بي (2000). الجبر الخطي والنماذج الخطية ( الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN  978-0-387-98871-9.
  3. ↑ أبتون، غراهام؛ كوك، إيان (2008-01-01)، "نظرية كوكران" ، قاموس الإحصاء ، مطبعة جامعة أكسفورد، doi : 10.1093/acref/9780199541454.001.0001 ، ISBN 978-0-19-954145-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 مايو 2022
  4. ↑ "نظرية كوكران (شرح سريع)" (ملف PDF) .
  5. ↑ جيري، آر سي (1936). "توزيع نسبة "الطالب" للعينات غير الطبيعية". ملحق لمجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 3 (2): 178-184 . doi : 10.2307/2983669 . JFM 63.1090.03 . JSTOR 2983669 .